专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 7 11 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．     （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上取点，使，点在上，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的度数． 例3（24-25·山东·八年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 例4（24-25·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点．(1)求证：≌；(2)若，，则的长________． 例2（24-25·山东·九年级期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 例3（24-25·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明； （3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．          1．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 5．（24-25·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 7．（24-25七年级上·山东·期末）如图把一块等腰直角三角形零件（）放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，，测得，则该零件中为 ． 8．（24-25·江苏·八年级期中）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____． 9．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明． 10．（24-25·广西·七年级期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25·江苏·八年级期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 12．（24-25八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 13．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：． 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积． 14．（24-25·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型变式】（2）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 15．（24-25·江苏·八年级月考）如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 16．（24-25·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 17．（23-24八年级上·北京·期中）在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F．(1)求证：；(2)当时，求证：平分． 18．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考：（1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 19．（2024八年级上·山东·专题练习）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 20．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）（1）如图（1），已知：在中，，，直线m经过点A，直线，直线m，垂足分别为点D、E．猜测、、三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问第（1）题中、、之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断线段、的数量关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 4 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 7 11 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． “一线三等角”的应用四种情况： ①图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”利用模型解题； ④.图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构全等。 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 模型1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 例1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为等腰直角三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵每本书长，厚度为，∴，∴．故选：A． 例2（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，在上取点，使，点在上，连接，且，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴， 设，则， ∴∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 例3（24-25·山东·八年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解 【详解】（1）证明：直线，直线，， ，，，， 在和中，，； 解：（2）成立，理由如下：， ，， 在和中，，； （3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴， ∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴， ∴，∴，∴，∵， ∴，∴（SAS），∴， ∴，∴△DFE是等边三角形． 例4（24-25·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案为：7； （2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，如图： ∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝8； （3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，如图： ∵△ACD面积为12且CD的长为6，∴×6•AE＝12，∴AE＝4， ∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2， ∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CD•BF＝6． 模型2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 例1（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，，垂足分别为点，，交于点．(1)求证：≌；(2)若，，则的长________． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明: ∵, ∴，,∴, 在和中,，∴； （2）∵,∴, ∵,∴,∴, ∴．故答案为: ． 例2（24-25·山东·九年级期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又∴△ABE≌△CAF，∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同则=5 故与的面积之和为5故答案为：5． 例3（24-25·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线．（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明； （3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．          【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3) 【详解】（1），证明： 四边形是正方形， 又， ∴ 在和中 ， （2），理由是：四边形是正方形 ， 又， ∴ 在和中 ， ∴EF=AF-AE=BE-DF （3），理由是： 四边形是正方形， 又， ∴ 在和中 ， EF=AE-AF=DF-BE 1．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，正方形ABCD的面积为169，G是BC上的一点，于点E，，且交AG于点F，若，则EF的长是（   ） A． B．13 C．8 D．7 【答案】D 【详解】解：∵正方形的面积为， ∵于点， ， ∵于点， ，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故选：D． 3．（23-24八年级上·浙江台州·开学考试）如图所示框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（        ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：点，运动的速度之比为，设，则， ，与全等， 可分两种情况：情况一：当，时， ，，，，解得：， ； 情况二：当，时，，，，解得：， ，综上所述，或， 故选：C． 4．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，点是等腰的边上的一点，过点作于点，连接，若，则的值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．16 【答案】C 【详解】解：如图，过作于， ∵是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴．故选：C． 5．（24-25·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED， 在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE， ∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故选：A． 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：且 由外角定理可得，又，∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ．，， ，， ，的面积为，， ， ，∴的面积是 故答案为：， ． 7．（24-25七年级上·山东·期末）如图把一块等腰直角三角形零件（）放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，，测得，则该零件中为 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰直角三角形，，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴故答案为：． 8．（24-25·江苏·八年级期中）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____． 【答案】 【详解】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H， ∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°， ∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ， 在△ACP和△CBQ中，，∴△ACP≌△CBQ（AAS）， ∴AP＝CQ，PC＝BQ，∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝， ∵AP∥BQ，∴∠OAP＝∠OBH，∵点O是斜边AB的中点，∴AO＝BO， 在△APO和△BHO中，，∴△APO≌△BHO（AAS）， ∴AP＝BH，OP＝OH，∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，∴PQ＝QH＝， ∵∠PQH＝90°，∴PH＝PQ＝12，∵OP＝OH，∠PQH＝90°，∴OQ＝PH＝6．故答案为：6 9．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明． 【答案】，证明见解析 【详解】证明：如图， ∵，，∴ 在和中∴ ∴，∴ 10．（24-25·广西·七年级期末）已知，在中，，三点都在直线m上，且． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：； （2），由（1）同理可得， ∴，∴； （3）存在，当时，∴，∴，此时； 当时，∴ ∴，，综上：或． 11．（24-25·江苏·八年级期中）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． (1)当时，_____，_____，_____；点D从B向C运动时，逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25，25，65，小 (2)当时，，理由见解析； (3)当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴； ∵点D从B向C运动时，逐渐增大，而不变化，， ∴点D从B向C运动时，逐渐变小，故答案为：25，25，65，小； （2）解：当时，， 理由：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （3）解：当的度数为110°或80°时，的形状是等腰三角形， 理由：∵，，∴， ∴当时等腰三角形，只存在或两种情况， 当时，∴， ∵，∴，∴； 当时，∴，∴， 综上所述，当的度数为或时，的形状是等腰三角形． 12．（24-25八年级上·四川广元·期末）已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N． (1)如图1，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：； (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由； (3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵，E为AB中点 ∴CE⊥AB，∴，∴，∴ ∵，∴∴又∵∴． （2）解：，理由如下：如图2，在AM截取AH，使得，连接EH， 由（1）知， 在与中：∴∴， ∴ ∴在与中：∵，， ∴∴∴即．   （3）解：猜得∶ MN = AM + CN，理由如下∶如图3，在CB_上截取CH = AM，连接EH， ∵在△AEM和△CEH中，∴ (SAS)，∴EM=EH，∠AEM=∠CEH， ∵AM = CH，∠MEN=45°，∠AEC=90°∴∠AEM+∠CEN=45 ∴∠CEH + ∠CEN =∠HEN = 45°∴∠MEN =∠HEN，   在△EM N和△EHN中， ∴ (SAS)， ∴MN = HN，∴MN=CH+CN，∴MN=AM+CN． 13．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】（1）如图1，，，于点，于点．求证：． 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．①求证；②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【详解】解：（1）证明：，， ，，，，， 在和中，，． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，，，， ，， 在和中，，． ②由①可知，，，， ，，， 由①得，， ，，． 14．（24-25·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型变式】（2）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）2cm 【详解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜ ∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜ ∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD 在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜ ∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF 在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD； ③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜ ∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF 在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS) ∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3； （2）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜ ∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS) ∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm) 15．（24-25·江苏·八年级月考）如图1，，垂足分别为D，E． (1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)0.8cm(2)，证明见解析(3)结论成立，证明见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （2）．证明：∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴； （3）结论成立， 证明：，∴， 在和中，，∴， ∴，∴；即结论成立； 16．（24-25·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE 【解析】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，   证明：如图，过B作BH⊥CE于点H， ∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH， ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC． （2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE 证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G， ∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG， ∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC． 17．（23-24八年级上·北京·期中）在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F．(1)求证：；(2)当时，求证：平分． 93【【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，，∴， 在与中，，∴，∴． （2）证明：设交于点G，如图，由（1）得， ∴，．由（1）得，∵，∴．∴， ∵，∴．∵，∴， ∵，，∴． ∵，∴， 18．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考：（1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为 【详解】解：（1），理由如下： ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）结论不成立，，理由如下： ∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴； （3）结论不成立，，理由如下： ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 19．（2024八年级上·山东·专题练习）如图1，，，，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点． (1)若为的中点，点与点重合，试说明与全等； (2)如图2，若，，求，，之间的数量关系； (3)如图3，将“，”改为“（为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)不会改变，理由见解析； 【详解】（1）解：由题意可知． ∵，，∴，，∴． 又∵为的中点，∴，∴； （2）解：由（1）可知． ∵，，∴． 又∵，∴，∴，， ∴，即，，之间的数量关系为； （3）解：不会改变；  理由：∵， ，∴． 又∵，，∴，∴，， ∴，即（2）中的数量关系不会改变； 20．（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）（1）如图（1），已知：在中，，，直线m经过点A，直线，直线m，垂足分别为点D、E．猜测、、三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问第（1）题中、、之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试判断线段、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）．理由：如图1， 直线，直线，， ，，，， 在和中，，， ，，； （2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，， ，， 在和中，，， ，，； （3）结论：，理由如下：如图3，由（2）可知，，，， 和均为等边三角形，，， ，即， 在和中，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$