4.1一元二次函数（题型专练）数学北师大版2019必修第一册

4.1一元二次函数 题型一：求一元二次函数解析式 1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是，且过点； (2)已知抛物线过三点：，，. 2．已知二次函数的图象过点，，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的解析式． 3．已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 题型一：一元二次函数的值域 1．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 2．如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ） A．10 B．－10 C．－1 D．19 3．若函数的定义域为，则的值域为（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象过点，. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域. 题型三：二次函数的图像 1．已知二次函数，下列结论正确的是（ ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 2．已知，下列有关函数的说法错误的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数取最小值时 C．函数的最大值为 D．函数的图象的对称轴为直线 3．已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 题型四：二次函数的图像判断不等式 1．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）二次函数的图象如下图所示，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 题型五：利用函数的单调性判断不等式 1．已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（ ） A． B． C． D． 2．设函数，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（ ） A． B． C． D． 题型一：已知二次函数最值求参 1．已知二次函数，且函数的最小值为. (1)求解析式； (2)若函数在上的最小值为求实数的值. 2．已知二次函数的最小值为，并且图象经过点和， (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，，求t的取值范围． 3．已知二次函数的图象过点，且最小值为． (1)求函数的解析式； (2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值． 4．已知函数，的图象关于直线对称， (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求的值. 5．已知二次函数满足关于轴对称，且，且. (1)求； (2)当时，函数的最小值是，最大值是0，求、的值. 题型二：二次函数恒成立问题 1．已知函数在上的最大值为3，最小值为-1. (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 2．若二次函数，满足图像关于直线对称，过原点，且函数最小值为. (1)求二次函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 3．已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数a的取值范围； (3)在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围． 1．已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 2．已知是二次函数，且，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值. 3．已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 4．二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1一元二次函数 题型一：求一元二次函数解析式 1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是，且过点； (2)已知抛物线过三点：，，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的顶点式即可求解； （2）设所求二次函数关系为，将三个点的坐标代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线顶点，∴可设所求二次函数关系式为， 把代入上式，得，∴， ∴所求二次函数关系式为，即. （2）设所求二次函数关系为， 把，，分别代入， 得，解得：， ∴此抛物线的函数解析式为：. 2．已知二次函数的图象过点，，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的解析式． 【答案】或． 【分析】根据二次函数过的点设为，求出顶点的坐标，利用顶点到x轴的距离等于2列式求得，即可得解. 【详解】因为二次函数的图象过点，， 所以可设二次函数的解析式为，整理得， 所以顶点的纵坐标为． 因为二次函数的图象的顶点到轴的距离为2，所以，解得． 所以二次函数的解析式为或． 3．已知是二次函数，且． (1)求的解析式； (2)若，求函数的最小值和最大值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值. 【详解】（1）解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． （2）解：函数，开口向下，对称轴方程为， 即函数在单调递增，在单调递减， 所以，． 题型一：一元二次函数的值域 1．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法可求出原函数的值域. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：D. 2．如果一元二次函数的对称轴是，则当时，（ ） A．10 B．－10 C．－1 D．19 【答案】C 【分析】由对称轴方程求出的值，把代入函数解析式，可求函数值. 【详解】对称轴为，解得，则， 所以当时，. 故选：C 3．若函数的定义域为，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数在上的单调性，即可得出该函数的值域. 【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，所以函数在上的值域为. 故选：B. 4．（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 故选：ABC. 5．已知二次函数的图象过点，. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）图象过点，，可知函数的对称轴为，可设二次函数的顶点式，代入数据解方程组可得； （2）根据二次函数的对称轴与定义域之间的关系，可找到最高点和最低点，进而求出值域. 【详解】（1）由题意可设，代入点坐标得，解得， 故函数解析式为. （2）由第一问得上单调递增，在上单调递减而， 故函数在上的值域为. 题型三：二次函数的图像 1．已知二次函数，下列结论正确的是（ ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 【答案】C 【分析】求得二次函数图像的开口方向判断选项A；求得二次函数图像的对称轴判断选项B；求得二次函数当时的单调性判断选项C；求得3为函数最大值否定选项D. 【详解】选项A：二次函数开口向下.判断错误； 选项B：二次函数图像的对称轴为直线.判断错误； 选项C：二次函数当时，随的增大而减小.判断正确； 选项D：当时，函数有最大值3，该函数无最小值.判断错误. 故选：C 2．已知，下列有关函数的说法错误的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数取最小值时 C．函数的最大值为 D．函数的图象的对称轴为直线 【答案】B 【分析】对二次函数配方，得到函数图象的对称轴，结合，得到函数的最值，判断出B错误. 【详解】AB选项，当时，函数， 当时，，即函数的最小值为，故A正确，B错误； C选项，当时，，即函数的最大值为，故C正确； 二次函数的图象的对称轴为直线，故D正确． 故选：B 3．已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 【答案】D 【分析】举反例求与判别式可判断AB，求函数的最小值，再判断范围，即可判断CD. 【详解】A.当时，， 所以的图象不恒过点，故A错误； B.当时，， 此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误； CD.， 则的最小值为， 所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确. 故选：D. 题型四：二次函数的图像判断不等式 1．抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、函数值、零点个数逐项判断即可. 【详解】抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴为，，， 抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误； 抛物线的对称轴为，，，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点，，，故D错误. 故选：C. 2．（多选）二次函数的图象如下图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数的图象，可判断出结果. 【详解】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误； 对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确； 对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以， 当时，，所以，故D正确； 故选：ACD. 3．已知函数，若，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断出的符号后可得正确的选项. 【详解】因为，故即， 而，故， BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾， 故选：D. 题型五：利用函数的单调性判断不等式 1．已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图象，数形结合即可求解. 【详解】二次函数与轴的交点横坐标为、， 将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象， 如图所示观察图象，可知:. 故选:B. 2．设函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合可得出，可知，，再结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为二次函数的对称轴为直线，， 则函数的减区间为，增区间为， 所以的大致图象如图所示． 由，得，所以，所以． 故选：C. 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出对称轴，确定单调性，然后判断各选项即可． 【详解】对称轴为， 则在上单调递减，在上是单调递增， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确. 故选：D. 4．已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定和函数的单调性，计算，B正确，，D错误，举反例得到AC错误，得到答案. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增. ，故，解得； ，，B正确； ，，D错误； 取，，，满足条件， ，A错误；，C错误； 故选：B 题型一：已知二次函数最值求参 1．已知二次函数，且函数的最小值为. (1)求解析式； (2)若函数在上的最小值为求实数的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由已知条件和二次函数的性质直接算出即可； （2）配方，找到对称轴，分和两种情况，结合函数的单调性讨论. 【详解】（1）为二次函数，且最小值为， 令， 又，，即. （2），对称轴为， 当时，在单调递增， 所以， 解得与矛盾，故； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以，解得，又， 所以， 综上，. 2．已知二次函数的最小值为，并且图象经过点和， (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最值得到，再利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的图象和性质即可求解. 【详解】（1）因为二次函数的最小值为， 所以，则①， 又因为图象经过点和，所以②， ①②联立可得，， 所以二次函数的解析式为； （2）由（1）知：二次函数的解析式为， 所以，顶点坐标为 因为时，，解得或， 所以当时，则， 结合二次函数的图象和性质可知，. 3．已知二次函数的图象过点，且最小值为． (1)求函数的解析式； (2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值． 【答案】(1) (2)1或3 【分析】（1）先根据题意设出二次函数的两点式形式，再由条件得到其顶点坐标，代入即可得解； （2）根据二次函数的图象性质，分类讨论、与三种情况下在的单调情况，从而得到关于的方程，解之即可. 【详解】（1）由题意设函数的解析式为， 由已知可得二次函数的顶点坐标为， 代入得，解得， 所以二次函数解析式为，即． （2）由（1）知， 则其图象的开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以，解得或（舍去），所以； 当，即时，在对称轴处取得最小值，不满足题意； 当时，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以，解得或（舍去）． 综上所述：t的值为1或3． 4．已知函数，的图象关于直线对称， (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件求出的值得到解析式； （2）讨论区间与对称轴的关系，根据最小值为求的值. 【详解】（1）的对称轴是直线，即①， 由，得②， 联立①②解得 所以. （2）画出函数的图象，抛物线对称轴为直线 当区间在对称轴左侧时，即时，， 解得或（舍去） 当区间在对称轴右侧时，即时，， 解得或（舍去）， 当对称轴在区间内时，即时，，不符合题意， 综上所述，或 5．已知二次函数满足关于轴对称，且，且. (1)求； (2)当时，函数的最小值是，最大值是0，求、的值. 【答案】(1)f(x)； (2)或． 【分析】(1)设，根据f(x)关于y轴对称求出b，根据求出a，根据求出c，从而求得f(x)； (2)根据g(x)对称轴的位置讨论其最值，从而求得m、n的值． 【详解】（1）设二次函数， ∵关于轴对称，∴b＝0， 由得，， 又由f(1)=0得，，∴， ∴f(x)； （2）g(x)，其对称轴为， ，，， ①当，即时，， 解得符合题意； ②当，即时，， 解得或，不符题意，舍去； ③当，即时，， 解得或，不符题意，舍去； ④当，即时，， 解得符合题意； 综上所述，或． 题型二：二次函数恒成立问题 1．已知函数在上的最大值为3，最小值为-1. (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据二次函数的最大值、最小值求出函数的解析式； （2）分离参数，根据存在性转化为求出函数的最小值，利用对勾函数单调性得解. 【详解】（1）依题意得， ， ， ， ， ，即， . （2），使得， 令， 由对勾函数的单调性知，在上单调递增， ， 当时，， 的取值范围为. 2．若二次函数，满足图像关于直线对称，过原点，且函数最小值为. (1)求二次函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数性质即可列出等式求解， （2）根据恒成立，分离参数，利用二次函数的性质求解最值. 【详解】（1）由过原点，故， 又关于对称，且最小值为，所以，解得， 所以 （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立， 进而可得在上恒成立， 令，故为开口向上，且对称轴为的二次函数， 当时，单调递增，所以， 故 3．已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数a的取值范围； (3)在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意，设，结合，求得，即可求解； （2）根据二次函数的性质，结合题意，得到不等式，即可求解； （3）根据题意，转化为在区间上恒成立，设，结合二次函数的性质，求得的最小值为，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为， 因为函数的最小值为，可设， 又因为，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）解：由函数，其对称轴为， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 解得，即实数a的取值范围为. （3）解：由函数， 若在区间上，的图象恒在的图象上方， 则由在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 设，其对称轴为，则在上单调递减， 所以函数的最小值为，则有， 所以实数m的取值范围为． 1．已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意结合二次函数性质列出等式求解即可； （2）由题知，最大值在或取得，讨论与大小即可. 【详解】（1）设，， ∵，∴① 又， ∴对称轴为， ② 由①②，，， ∴； （2）由题知，最大值在或取得， ，， 当，即，解得； 当，即； 综上，. 2．已知是二次函数，且，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，由，求得，再由，列出方程组，求得，即可求得函数的解析式； （2）由（1）知，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，设， 因为，可得，即， 又由， 且， 又因为，即， 所以， 可得，解得，所以. （2）解：由（1）知， 可得函数的图象开口向上，且对称轴为，所以， 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，根据二次函数的对称性，可得， 所以函数在区间上的最大值为， 综上可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 3．已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：函数满足，则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 4．二次函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)当时，求函数的最小值的解析式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用题设条件中、，结合待定系数法，运算即可得解. （2）利用二次函数的图象与性质分析运算即可得解. （3）利用二次函数的图象与性质，分类讨论，运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，∵，∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，解得：，则，. （2）解：由题意，关于的方程在上有解， 即在上有解，则， ∵，∴，则， 解得：，即实数的取值范围为. （3）解： 如上图，函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线， 当时，函数在上单调递增，则； 当即时，函数在上单调递减，则； 当即时，； 综上，. 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$