专题01 勾股定理中的的最短路径模型（几何模型讲义）数学北师大版2024八年级上册

专题01 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆柱中的最短路径模型 4 模型2.长方体中的最短路径模型 5 模型3.阶梯中的最短路径模型 7 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 8 9 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 图1 图2 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．   图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（23-24八年级上·江苏苏州·期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．      例2（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 例3（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，有一圆柱，它的高为，底面周长为．则蚂蚁沿圆柱侧面从点爬到点的最短路程是 ．      例4（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（    ）米． A． B．20 C．15 D． 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 例2（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米． 例3（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 例4（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ． 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 例2（23-24八年级上·江苏镇江·期中）在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 例3（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 例4（2024·江苏南京·二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C． D． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 例2（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 例3（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 3．（2024·江苏·八年级专题练习）已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 5．（2024八年级·广东·培优）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，是长方形地面，长，宽，中间刚好有一堵墙，墙高，一只蜗牛从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（    ）    A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 10．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面的周长为，点位于盒外底面的边缘．如果处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm．    11．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是 m． 12．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm． 14．（2024·四川乐山·八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 cm． 14．（2023八年级下·上海·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 15．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ． 16．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    17．（2023秋·山东八年级课时练习）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径为 米．    18．（2024·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 19．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 20．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.圆柱中的最短路径模型 5 模型2.长方体中的最短路径模型 7 模型3.阶梯中的最短路径模型 10 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 13 15 蚂蚁的烦恼 说到蚂蚁，大家对它们的第一印象就是他们每天都是很忙碌的样子，十足的工作狂。想象一下，小蚂蚁今天有任务，它得运送一块糖到它的家。可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。小蚂蚁希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。谁不想走得快点儿呢？ 数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。通过学习和应用这些理论，咱们不仅能更好地规划日常生活，还能享受到成功的喜悦。 （2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蚂蚁相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 1.在圆柱表面运动中的最短路径模型 条件：如图1，圆柱底面周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 图1 图2 2.在长方体表面运动中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，；，则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，；，则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在顶点时讨论方法跟第一类相同。 3.在台阶或阶梯表面运动中的最短路径模型 条件：如图3，一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是．      图3 图4 4.将军饮马与空间最短路径模型 条件：如图4，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 模型1.圆柱中的最短路径模型 例1（23-24八年级上·江苏苏州·期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在苏州园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．      【答案】 【详解】由题意可得，展开图中，    在中，．∴这段枝蔓的长是，故答案为：30． 例2（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（    ）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） A．17 B． C． D． 【答案】B 【详解】将半圆面展开可得： 米，米， 在中，米，即滑行的最短距离为米，故选∶B． 例3（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，有一圆柱，它的高为，底面周长为．则蚂蚁沿圆柱侧面从点爬到点的最短路程是 ．      【答案】 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，    ∵圆柱高为，底面圆的周长为，， 由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程为的长， 在中，．故答案为：25． 例4（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从点到点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（    ）米． A． B．20 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：展开图：（米，（米，（米，故选：C． 模型2.长方体中的最短路径模型 例1（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分三种情况：（1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． 比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为．故选：C 例2（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是 米． 【答案】 【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接， 在中，米，米，米， 在中，米，米，（米）． 故这只蚂蚁的最短行程应该是米．故答案为：． 例3（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：； ②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：； ③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：； 蚂蚁爬行的最短距离是．故选A． 例4（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长是，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为 ． 【答案】26 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短彩条长， ，， ，，， 答：所用彩条最短长度是．故答案为:26 模型3.阶梯中的最短路径模型 例1（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ，．故选C． 例2（23-24八年级上·江苏镇江·期中）在一个长12米，宽为8米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长3米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【详解】如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为8米，∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米，故答案为：17． 例3（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 【答案】B 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求，则（米，米， 最短路径为：（米．故选：B． 例4（2024·江苏南京·二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，，所以最短路径是．故选：A． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 例1（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】10 【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴，，∴， 在中，，故答案为：10． 例2（2024·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C． 例3（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短．在直角中，， ∴∴最短路线长为cm.故答案为：． 1．（23-24七年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，， 由勾股定理得：，，蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得，故爬行的最短路程为．故选：D 3．（2024·江苏·八年级专题练习）已知长方体的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁沿着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图1所示将长方体展开，则； 如图2所示将长方体展开，则； 如图3所示将长方体展开，则； ∵，∴蚂蚁爬行的最短路径长为，故选：C． 4．（2024·浙江绍兴·一模）如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（   ） A．6 厘米 B．7 厘米 C．8 厘米 D．10 厘米 【答案】D 【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接，最短距离为的长度， 厘米，最短路程为厘米．故选：D． 5．（2024八年级·广东·培优）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点（长的四等分点）处有一只壁虎．在点（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分类讨论：①将正面和右面展开，过点B作向底面的垂线，垂足为C， ∴为直角三角形，且，， ∴，∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为； ②将正面和上面展开，如图，∴A到B的水平距离为6，A到B的垂直距离为， ∴，∴此时壁虎爬到蚊子处的最短路程为． ∵，∴壁虎爬到蚊子处的最短路程为．故选A． 6．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：底面周长为，半圆弧长为，画展开图形如下： 由题意得：，根据勾股定理得：．故选D． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将棱柱展开如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴，∴，故选：． 8．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，是长方形地面，长，宽，中间刚好有一堵墙，墙高，一只蜗牛从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：将图展开，图形长度增加，原图长度增加，则，连接，    ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蜗牛从点爬到点，它至少要走的路程．故选：C． 9．（23-24八年级上·山西太原·期中）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 【答案】50 【详解】解：如图，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长， 由图可知：，， 在中，， 则它爬行的最短距离为，故答案为：． 10．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面的周长为，点位于盒外底面的边缘．如果处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm．    【答案】10 【详解】把圆柱侧面展开，在中，根据题意得，    根据勾股定理，得，故答案为：10． 11．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上，若，点到的距离是，有一只蚂蚁要从点爬行到点，则它的最短行程是 m． 【答案】 【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面， 过P作于G，连接，∵，，∴， ∴，∴． 故这只蚂蚁的最短行程应该是．故答案为：． 12．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm． 【答案】13 【详解】解：如图所示，将三棱柱沿展开，其展开图如图： ∴，∴这图金属丝的长度至少为，故答案为：13． 14．（2024·四川乐山·八年级统考期末）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 cm． 【答案】 【详解】解：如图所示： ， 从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，展开后，， 由勾股定理得：，故答案为：． 14．（2023八年级下·上海·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 【答案】 ； ． 【详解】（）解：如图所示，      在中，，，∴（尺）故答案为：； （）解：在中，，， ∴（尺），故答案为：． 15．（23-24八年级下·广西河池·阶段练习）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵点位于圆周顶面处，∴，， ∴小虫爬行的最短路程．故选：． 16．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    【答案】20 【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径，    ∴，， 由勾股定理得，．∴滑行的最短距离约为，故答案为：20． 17．（2023秋·山东八年级课时练习）攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点攀爬到点的最短路径为 米．    【答案】10 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平面展开图为：    （米），故答案为：10． 18．（2024·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长；(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 【答案】(1)底面矩形的对角线的长为(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是 (3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径 【详解】（1）解：∵、，，∴对角线的长为：； 答：底面矩形的对角线的长为． （2）解：连接、，如图所示： 在中，∵、，，∴， 在中， ．答：这个盒子最长能放的棍子． （3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：； 将前面的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：； 将左边的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为：； ∵，∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径． 19．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵，∴，∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为，∴，∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为．故答案为：17． 20．（23-24八年级上·江西九江·阶段练习）课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$