2.1圆的标准方程，2.2圆的一般方程（题型专练，6基础3提升+培优）高二数学北师大版选择性必修第一册

2.1圆的标准方程，2.2圆的一般方程 题型一：由标准方程确定圆心和半径 1．圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 2．圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 3．“”是“圆：的直径为4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由圆的方程和充分不必要条件的定义即可分析求解. 【详解】时，圆：，直径为4，充分性成立； 当圆：的直径为4时，则的半径为2，则，则，必要性不成立， 所以“”是“圆：的直径为4”的充分不必要条件． 故选：A 题型二：由圆心（或半径）求圆的方程 1．以为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出圆心坐标和半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D 2．已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 3．已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 题型三：求过已知三点的圆的标准方程 1．过三点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出圆的一般方程，利用待定系数法求出并化成标准方程形式. 【详解】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为，所以该圆的标准方程为. 故选：A 2．已知的三个顶点分别为，，.求： (1)的面积； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）结合点的坐标先求出，直线的方程，进而可得到直线的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可； （2）设的外接圆的方程为，将三个点的坐标代入得到方程组，进而求解即可. 【详解】（1）由，，则， 且直线的方程为，即， 则到直线的距离为， 所以的面积为. （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 则的外接圆的方程为. 3．在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 题型四：圆的一般方程和标准方程互化 1．设圆的圆心为M，半径为r，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 2．圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 2．圆的半径为______. 【答案】 【分析】将圆的一般方程配方成标准方程即得. 【详解】由配方得，故该圆的半径为. 故答案为：. 3．若圆的面积为，则实数的值为__________. 【答案】2 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再根据圆的面积推出半径，列出方程即可得解. 【详解】由题意得圆的方程可以化为， 又因为圆的面积为，所以圆的半径为3， 可得，解得. 故答案为：2. 题型五：圆的对称关系 1．已知直线平分圆的面积，则（ ） A．0 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先依据圆的一般方程求出圆心坐标，进而代入直线方程求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心为， 因为直线平分圆的面积， 所以直线必过圆心， 则，即，故A正确. 故选：A 2．若圆关于点对称的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点关于点对称得出，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设关于点对称点， 则，所以，所以，圆的半径为， 所以圆关于点对称的圆的方程为. 故选：A. 3．若圆关于直线对称的圆的方程是，则的值等于____________． 【答案】 【分析】求出两圆圆心的坐标，利用两圆圆心关于直线对称可得出关于实数的等式组，解之即可. 【详解】由于圆的圆心为， 圆的圆心为，且直线的斜率为， 由题意可知，点、关于直线对称， 所以，解得， 此时圆的方程为， 其标准方程为，圆心为，半径为，符合题意. 故答案为：. 4．若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是________. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故的最小值是9， 故答案为：9. 题型六：阿波罗尼圆 1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】首先设，代入两点间的距离求和，最后整理方程. 【详解】设，由，得， 可得：，即， 整理得，故动点的轨迹方程为. 故答案为：. 2．古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若，，动点满足，则该圆的圆心坐标为_______. 【答案】 【分析】设点为,由可得,整理后即可求解. 【详解】设点为, 因为,所以, 整理可得,即, 则圆心为, 故答案为: 【点睛】本题考查两点间距离公式的应用,考查圆的几何性质,考查运算能力. 3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为______；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为______. 【答案】40 【分析】设点，用坐标表示点满足的条件得其轨迹方程，然后利用三角换元法换元代入，再由三角函数知识得最大值． 【详解】因为，点满足， 设点，则，化简得：，即； 圆的方程可化为，设， 则（） 所以的最大值为40. 故答案为：40. 题型一：二元二次方程表示圆 1．已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 2．方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程转化成圆的标准方程结构即可求解. 【详解】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 3．曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．若方程表示半径不超过2的圆，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而由半径的范围列不等式即可得的取值范围. 【详解】圆方程可化为， 由于圆的半径不超过2， 所以，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 题型二：已知点与圆的位置关系求参 1．已知点在圆内，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，将点坐标代入圆方程列出不等式，求解即可． 【详解】由题知，解得， 故选：A． 2．“”是“点在圆外部”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点在圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 3．若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心半径，由题意即可求解. 【详解】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得. 故选：C 4．已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型三：圆过定点 1．已知圆经过原点，则（ ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 2．已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出，利用二次函数求出最小值时的值，代入半径，求出半径，利用圆的面积公式求解. 【详解】由可知圆心为， 半径为， 设原点为，则， 设，对称轴为，开口向上， 则在处取得最小值，即在处的最小值， 此时圆的半径为， 圆的面积为. 故选：B. 3．对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 题型一：圆的相关最值问题 1．（多选）已知点和圆，则下列说法正确的有（ ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 2．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】整理可得点的轨迹为圆，根据为该圆圆心可知A正确；利用可求得B正确； 利用的几何意义将问题转化为点到点的距离的最大值，利用圆的几何性质可求得C错误； 采用三角换元的方式，结合辅助角公式和正弦型函数最值可求得D正确. 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 3．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．圆心坐标为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由圆的标准方程可判断AB，由圆心和的距离为，可判断C，由三角换元可判断D. 【详解】由得：，圆心为，A正确， ，即的最大值为，此时，B错误； 的几何意义为上的点到的距离， 圆心和的距离为，又圆的半径为， 所以的最大值为，C正确， 设，； ， 当时，，D正确. 故选：ACD 4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程求出曲线的轨迹方程即可； （2）求出点与圆心的距离，即可求出最值； （3）根据圆心到直线的距离求最值即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxx k co m 2.1圆的标准方程，2.2圆的- 基础达标题 2.1圆的标准方 程，2.2圆的一 般方程 能力提升题 拓展培优题 A 基础达标题 题型一：由标准方程确定圆心和半径 1.圆(x-1)2+(y+3)2=10的圆心坐标为( A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3) 2.圆(x+1)+(y+1)2=2的圆心坐标和半径分别为() A.(L,1),2 B.(1,1),V2 C.(-1,-1),2 D.(-1,-1),V2 3.“m=2”是“圆C:(x+m)2+y2=m2的直径为4”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必 题型二：由圆心（或半径)求圆的方程 1.以A1,3),B(3,7)为直径的两个端点的圆的方程为() 1/6 上好每一堂课 般方程 由标准方程确定圆心和半径 由圆心（或半径）求圆的方程 求过已知三点的圆的标准方程 圆的一般方程和标准方程互化 圆的对称关系 阿波罗尼圆 二元二次方程表示圆 已知点与圆的位置关系求参 圆过定点 圆的相关最值问题 要条件 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.(x-1)2+(y-3)2=V5 B.(x-2)2+(y-5)2=V5 C.(x-1)2+(y-3)2=5 D.(x-2)2+(y-5)2=5 2.己知圆C经过原点0和点A2,2),并且圆心C在直线：2x-y+2=0上，则圆C的方程为() A.x2+(y-2)2=4 B.x2+(y+2)2=4 C.（x+1)2+(y-2)2=2 D.x2+(y+22=2 3.己知圆心为(3，-1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是() A.(x-3)2+(y+1)2=1 B.(x-3)2+(y+1)2=9 C.(x+3)2+(y-1)2=1 D.(x+3)2+(y-1)2=9 题型三：求过己知三点的圆的标准方程 1.过三点A(1,2),B(3,2),C(1,-6)的圆的标准方程为() A.(x-2)2+(y+2)2=17 B.(x+2)2+(y-2=17 C.（x-2+(y+2)2=25 D.（x+22+y-22=25 2.已知ABC的三个顶点分别为A-4,0),B(0,2),C(2,-2).求： (1)ABC的面积； (2)ABC的外接圆的方程. 3.在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为A(-1,-3)、B(1,1)、C(4,2). (1)求AC边的高线L的直线方程； (2)求AB边的垂直平分线的直线方程； (3)求ABC的外接圆方程. 题型四：圆的一般方程和标准方程互化 1.设圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心为M,半径为r,则() A.M(2,-1,r=9 B.M-2,1,r=9 2/6 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.M2,-1,r=3 D.M-2,1,r=3 2.圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标和半径分别是() A.（-1,2),5 B.（1,-2,5 C.(-1,2,V5 D.(1,-2,5 2.圆x2+y2-6x+2y=0的半径为 3.若圆C:x2+y2-2x+4y-2m=0的面积为9元，则实数m的值为 题型五：圆的对称关系 1.已知直线y=ax+b平分圆x2+y2+2x=0的面积，则b-a=（) A.0 B.-1 C.2 D.1 2.若圆C:(x+2)2+(y-3)2=4关于点(1,2)对称的圆C,的方程为() A.(x-4)2+(y-1)2=4 B.x2+(y-1)2=4 C.(x+4)2+(y+1D2=4 D.x2+(y+1)2=4 3.若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值等于 4.若直线+兰=1(a>0,b>0)是圆x2+y2-2x-2y-7=0的一条对称轴，则4a+b的最小值是 a b 题型六：阿波罗尼圆 1.古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的 点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，设A-3,0),B(3,0),动点M满足 M4=2,则动点M的轨迹方程为 MB 2.古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点 A-a,0,8a,0),动点P满足A=元（其中a和元是正常数，且元+1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之 IPBI 3/6 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为“阿波罗尼斯圆”.若A(-1,0),B(L,0),动点P满足 PA 1 P82,则该圆的圆心坐标为 3.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值入（元≠1）的点的轨迹是圆， 此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系x0y中，已知A(-4,2),B(2,2),点P满足 PA-2,设点 P P的轨迹为圆C,(1)圆C的标准方程为；(2)若P(a,b)为圆C上任意一点，则3a+4b的最大值为 B 能力提升题 题型一：二元二次方程表示圆 1.己知方程x2+y2+2x+3y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是() A.-3,+0】 3 C. D. -3,4 2.方程x2+y2-2x+4y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（) A.(5,+o∞) B.(-0,5] C.[5,+oo) D.(-0,5) 3.曲线x2+y2+2ax-4y+2a2=0表示一个圆，则实数a的取值范围为 4.若方程x2+y2-2x-6y+a=0(a∈R)表示半径不超过2的圆，则a的取值范围为 题型二：己知点与圆的位置关系求参 1.已知点A1,1)在圆x2+(y-a)2=3内，则实数a的取值范围为() A.(1-V2,1+) B.（-1-V2,-1+V2) C.(0,3) 引 2.“a<-2√2”是“点(0,1在圆x2+y2-a2+8=0外部”的() 4/6 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点都在y轴左侧，则实数a的取值范围是() A.（-2,+o0 B.(0,+o C.（2,+0) D.(0,2 4.已知点P(-1,1为圆x2+y2+2x-4y+a=0外一点，则a的取值范围为 题型三：圆过定点 1.已知圆x2+y2-2ax+2ay+2a-2=0经过原点，则a=(） A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.己知圆C:x2+y2-2mx+(2m-4)y-1=0,当圆心到原点的距离最小时，圆C的面积为() A.4元 B.3π C.2π D.刀 3.对任意实数a≠-2，动圆(a+2)x2+(a+2)y2-4x-2a=0恒过两个定点，请写出一个定点坐标. 拓展培优题 题型一：圆的相关最值问题 1.(多选)已知点D(3,-1)和圆C:(x+1)2+(y-2)2=9,则下列说法正确的有() A.圆心C(-1,2),半径为r=3 B.点D在圆C外 C.圆C关于直线2x+y-4=0对称 D.设点A是圆C上任意一点，则AD的最大值为8 2.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确的是() A.点(x,y)到点(2,0)的距离为定值 5/6 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.y的最大值为V C.Vx2+(y-1)2的最大值为5 D.x+y的最大值为2+√6 3.(多选)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确的是() A.圆心坐标为(2,0 B.y的最大值为2 C.Vx2+(y-1)2的最大值为V5+√5 D.x+y的最大值为2+√6 4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥 曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值入（入≠）的点所形成的图形是圆.后来人们将这个 以位的名字命名，称为阿波罗尼斯圆已知在平面直角坐标系x0中，A282,2.点P满足 ，设点P的轨迹为曲线E, (1)求曲线E的方程； (2)若点Q(0,3,求PQ的最小值和最大值 (3)求曲线E上的点到直线x+y+1=0的最小距离. 6/6