精品解析：上海市三林中学北校2024-2025学年下学期八年级数学学科期中考试卷

数学（八） 2025.4 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数关系中，是的一次函数的是（ ） A. （、是常数） B. C. D. 2. 下列方程中，是二项方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，且，则一次函数的大致图像是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列关于的方程中，一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在周长为cm的平行四边形中，相交于点O，交于E， 则的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. cm 6. 一汽船在顺流中航行48千米和逆流中航行32千米，共用去的时间正好等于它在静水中航行85千米用去的时间，已知水流速度是3千米/时．若设该汽船在静水中的航行速度为千米/时，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线在轴上的截距是_____． 8. 已知：点、在函数的图象上，则a ________ b（在横线上填写“”或“”或“”）． 9. 一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是________． 10. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 11. 方程根是_____． 12. 关于的方程（其中）的解是_____． 13. 方程的根是______． 14. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______ 15. 关于x的方程有增根，则m的值为_____ 16. 定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，若点在的“逆反函数”的图象上，则_____． 17. 在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是________． 18. 如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______． 三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程： 20. 解方程： 21. 解方程组： 22. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地距离； （2）求线段对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题7分，第25、26题每题10分，满分34分） 23. 修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． （1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； （2）为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 24. 如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F． （1）求证：FB=AD （2）若∠DAF=70°，求∠EBC的度数． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，，．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）设面积为S，求S与t之间函数关系式； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 26. 如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线翻折点落在边上的处，、分别在、上，且点的坐标是． （1）求点坐标； （2）求直线解析式； （3）点在直线上，轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学（八） 2025.4 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列函数关系中，是的一次函数的是（ ） A. （、是常数） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是理解一次函数的定义． 根据一次函数的定义（形如，其中）逐一判断选项。 【详解】解：（、是常数），当时，不是一次函数，故A不符合； 分母含，不是一次函数，故B不符合； ，即，它是一次函数，故C符合； 中的次数为2，不是一次函数，故D不符合， 故选：C． 2. 下列方程中，是二项方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二项方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据二项方程的定义，形如（，为正整数）的方程称为二项方程，需逐一验证选项是否符合该形式． 【详解】解：选项A：，含两个未知数和，属于二元一次方程，不符合二项方程的单变量要求，排除，故A不符合题意； 选项B：，可整理为，符合的形式（，，），是二项方程，故B符合题意； 选项C：，等价于，虽为单变量方程，但仅含一项，不符合二项方程必须有两项的要求，排除，故C不符合题意； 选项D：，含和两个不同次数的项，无法整理为的形式，排除，故D不符合题意； 故选：B． 3. 如图，若，且，则一次函数的大致图像是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，即可求解． 【详解】解：∵， ∴k，b同号， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 4. 下列关于的方程中，一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解答选项中的各个方程，即可判断那个选项中的方程一定有实数解，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴无解，故选项A错误； ∵，得， ∴， 则Δ＝，故此方程无解，故选项B错误； ∵，∴Δ＝， ∴一定有两个不相等的实数根，故选项C正确； ∵，解得，x＝1，而x＝1时，x−1＝0，故此分式方程无解，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查无理方程、根的判别式、分式方程的解，解题的关键是明确无理方程根号里面的数或式子大于等于0，根的判别式△0时，方程有实数根，分式方程的解要使得原分式方程有意义． 5. 如图，在周长为cm的平行四边形中，相交于点O，交于E， 则的周长为（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，由题意推出垂直平分，得，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：点O为的中点，cm ∴ cm ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴周长 cm 故选D 6. 一汽船在顺流中航行48千米和逆流中航行32千米，共用去的时间正好等于它在静水中航行85千米用去的时间，已知水流速度是3千米/时．若设该汽船在静水中的航行速度为千米/时，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设汽船在静水中的速度为千米/时，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设汽船在静水中的速度为千米/时，依题意可得： ， 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 直线在轴上的截距是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质．代入求出与之对应的值，即可得解． 【详解】解：当时，， 直线的截距为， 故答案为：． 8. 已知：点、在函数的图象上，则a ________ b（在横线上填写“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y将随x的增大而减小，即可得出a，b的大小关系即可． 【详解】解；， 将随x的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数的增减性，比较简单．解答此题的关键是熟知一次函数的增减性，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 9. 一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】m<3 【解析】 【分析】由一次函数的函数值y随x的增大而减小可得m-3为负，从而可求得m的取值范围． 【详解】解：由题意知，m-3<0， 则m<3， 故答案为：m<3． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 10. 一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的函数图象，可以直接写出当时，的取值范围． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 函数图象在上方时，， 即当时，， 故答案：． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11. 方程的根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，先移项，再把未知数的系数化为1，然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 12. 关于的方程（其中）的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据去括号、移项合并，系数化为1即可求解． 【详解】解：， 去括号得， 移项合并得， 解得， 故答案为：． 13. 方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案． 【详解】由题意可得，方程两边同时平方得：， ∴x+3=0或1-x+0， 解得x=-3或x=1， 经检验，x=-3或x=1都是原方程解， 则原方程根为，． 【点睛】本题考查了解无理方程，利用两边平方将无理方程化为有理方程是解题的关键． 14. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______ 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角和与外角和，先由每个外角都是，三角形外角和为求出正多边形的边上，再用多边形的内角和公式求解即可. 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为， ∴正多边形的边数为， ∴这个多边形的内角和为， 故答案为： 15. 关于x的方程有增根，则m的值为_____ 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，然后把代入整式方程中进行计算即可解； 【详解】解：， 解得： ， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值，再代入整式方程中进行计算是解题的关键． 16. 定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，若点在的“逆反函数”的图象上，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式．先求得的“逆反函数”为，再将点代入，即可求解． 【详解】解：根据题意，的“逆反函数”为， 将点代入， 得， 解得， 故答案为：． 17. 在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是________． 【答案】30或18 【解析】 【分析】首先根据题意作图，由AE平分∠BAD交直线BC于点E，可知点E在边BC上或者在其延长线上；分别求解即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝6， 如图1，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30； 如图2，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18； ∴这个四边形的周长是：30或18． 故答案为：30或18． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的有关性质，熟练掌握平行四边形的有关性质是解题的关键，易错点是容易忽略E在边BC延长线这种情况． 18. 如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形的面积，再利用建立含a的方程，把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A(，0)，B(0，1)，AB==2， ， 连接OP， 当点在第二象限时， ， ， 解得或（舍）； 当点在第一象限且在直线左侧时， ， 解得（舍）或（舍）； 当点在第一象限且在直线右侧时， ， 解得或（舍）； 故答案为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形的面积用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标之间就建立了联系；把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键． 三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 解得，， 经检验，，是原方程的解， 所以，分式方程的解为，． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理方程，方程两边同时平方，整理得，解得，，再结合算术平方根是非负数得出，从而可确定原方程的解． 【详解】解：， 方程两边平方得，， 整理得：， 解得，， 经检验，，是原方程的解， 又， ∴， ∴． 21. 解方程组： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组．先利用因式分解，由①得到或，再分别与②组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组，即可求得原方程组的解． 【详解】解：， 由①得， ∴或， 把这两个方程与②组成方程组得：，， 解得，， 故原方程组的解为，． 22. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（时）之间的函数关系，请根据图像解答下列问题： （1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离； （2）求线段对应的函数表达式； （3）在轿车行进过程中，货车行驶多少时间，两车相距15千米 【答案】（1）270千米 （2） （3）2.1小时或2.7小时 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）由图象易得货车的速度为60千米/小时，然后问题可求解； （2）设线段对应的函数表达式是，然后把点，点代入求解即可； （3）由题意易得当时，两车之间距离为70千米，由图象可得，线段对应的函数解析式为，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：由图象可得， 货车的速度为（千米/小时）， 则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是（千米）， 即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米； 【小问2详解】 解：设线段对应的函数表达式是， ∵点，点， ∴， 解得， 即线段对应的函数表达式是； 【小问3详解】 解：当时，两车之间的距离为：， ∵， ∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在之间， 由图象可得，线段对应的函数解析式为， 则， 解得或， ∵轿车比货车晚出发1.5小时，（小时），（小时）， ∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米， 答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米． 四、解答题（本大题共4题，第23、24题每题7分，第25、26题每题10分，满分34分） 23. 修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为万元． （1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米； （2）为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由． 【答案】（1）甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米 （2）甲工程队所花费用较少；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确计算． （1）设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个工程队完成任务需要的时间和费用，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：设甲工程队每天修建x米，则乙工程队每天修建米，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， （天）， 答：甲工程队每天修建12米，则乙工程队每天修建18米． 【小问2详解】 解：甲工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， 乙工程队修建时间为：（天），需要花费： （万元）， ∵， ∴两个工程队都能在天内完成， ∵， ∴甲工程队所花费用较少． 24. 如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F． （1）求证：FB=AD. （2）若∠DAF=70°，求∠EBC的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）35° 【解析】 【分析】（1）先证明AB=AF，需要找第三个量过渡，由平行四边形的性质可知：AB=CD，再证明AF=CD即可，所以证明△DEC≌△AEF后可得答案； （2）利用平行四边形的性质求，再证明可得答案． 【详解】证明（1）∵E为AD的中点 ∴DE=AE ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，DC=AB ∵ ∴△DEC≌△AEF ∴DC=FA ∵AD=2AB ∴AB=DE=EA=FA ∴FB=AD （2） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA∥CB ∴∠CBF=∠DAF= 70° ∴∠AEB=∠EBC 又∵AE=AB ∴∠AEB=∠ABE ∴∠EBC=∠ABE=35° 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的计算和证明． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，，．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）． （1）设面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标； （3）当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）； （2），，； （3）或时，是以为腰的等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度与时间乘积表示出，结合平行线间距离及三角形面积公式即可得到答案， （2）根据平行四边形对边平行且相等列式求解即可得到答案； （3）分和两类列等式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：运动时间为t秒，则， ∵， ∴， ∵，，动点P从点A出发，在线段上移动， ∴，P点纵坐标为， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴，； 【小问3详解】 解：①当时，过Q作， 由题意得：， 解得：， ②当时，过P作轴， 由题意得：，， ， 解得：， 或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，等腰三角形的判定，求函数解析式，解题的关键是根据题意列出等量关系式． 26. 如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线翻折点落在边上的处，、分别在、上，且点的坐标是． （1）求点坐标； （2）求直线的解析式； （3）点在直线上，轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形?若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）点N的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先根据点B，F的坐标，求出，，进而求出，根据勾股定理求出，即可得出结论； （2）求出，进而求出，得出点E坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （3）分两种情况利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程组求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ， ∵B点坐标是，F点的坐标是． ∴，，， ∴， ∵矩形沿直线翻折点A落在边上的G处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵矩形沿直线翻折点A落在边上的G处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 把点． 代入解析式中，得， ∴， ∴直线的解析式：； 【小问3详解】 解：由（1）知，直线的解析式：， 根据题意设点，， ∵以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为平行四边形的边时， Ⅰ、当和是对角线时，和互相平分， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； Ⅱ、当与是对角线时， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； ②当为对角线时，即：与互相平分， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 即：满足条件的点N的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质建立方程组求解是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$