精品解析：天津市蓟州区擂鼓台中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

擂中2024-2025学年高二第二学期第二次数学练习 一、单选题： 1. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 下列图中，相关性系数最大的是（ ） A. B. C D. 3. 设随机变量服从，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在某校举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩分为5组：，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图，已知内的频数是40，则成绩在的学生人数是（ ） A. 25 B. 20 C. 18 D. 15 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 设，且，则 B. 经验回归方程过成对样本数据的中心点 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D. 若变量和满足关系，且变量与正相关，则与负相关 6. 下列运算正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 从5名医生和2名护士中选出3人，要求医生护士都需要参加，将这3人分别分配到3个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为（ ） A. 300 B. 240 C. 180 D. 150 8. 的展开式中的系数为（ ） A. 85 B. 5 C. -5 D. -85 9. 随机变量的分布列为 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，，，使得成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 11. 在的展开式中，常数项为______. 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 13. 已知10名同学中有2名女生，若从中选取2名同学作为学生代表，则恰好选取1名女生概率为___________. 14. 设某医院仓库中有10盒同样规格X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________． 15. 若，则a4+a2+a0＝_____ 16. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 三、解答题： 17. 已知函数在处有极值 （1）求值并判断是极大值点还是极小值点； （2）求函数在区间上的最值． 18. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离. 19. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 20. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若在上恒成立，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 擂中2024-2025学年高二第二学期第二次数学练习 一、单选题： 1. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的计算公式即可求解. 【详解】，化简得：，解得：或（舍去）. 故选：B 2. 下列图中，相关性系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相关性系数的定义即可判断. 【详解】变量间的相关性越强，越接近于， 根据散点图可知，A选项是正相关，且分布比较集中，大体接近一条直线， 则线性回归模型拟合效果比较好，相关性强，故A选项的相关性系数最大. 故选：A. 3. 设随机变量服从，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布公式，计算概率. 【详解】， . 故选：A 【点睛】本题考查二项分布，属于基础题型. 4. 在某校举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩分为5组：，，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图，已知内的频数是40，则成绩在的学生人数是（ ） A. 25 B. 20 C. 18 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的相关公式计算即可. 【详解】依题意，设学生总人数为， 因为的频数是，所以，解得， 则成绩在的学生人数是. 故选：D. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 设，且，则 B. 经验回归方程过成对样本数据的中心点 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D 若变量和满足关系，且变量与正相关，则与负相关 【答案】A 【解析】 【分析】选项A根据正态曲线的对称性求解；选项B由经验回归方程可以判断；选项C根据线性相关系数的定义判断；选项D根据两个变量的相关关系进行判断. 【详解】对于A，正态曲线关于对称，则，则，则，所以A错误； 对于B，经验回归方程过成对样本数据的中心点，B正确； 对于C，越接近于1，两个随机变量线性相关性越强，C正确； 对于D，，则与负相关，所以与负相关，D正确. 故选：A. 6. 下列运算正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解. 【详解】①，所以该运算错误； ②，所以该运算错误； ③，所以该运算正确； ④，所以该运算正确. 所以正确的个数为2. 故选：B. 7. 从5名医生和2名护士中选出3人，要求医生护士都需要参加，将这3人分别分配到3个医院参加交流活动，则不同的安排方法种数为（ ） A. 300 B. 240 C. 180 D. 150 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合排列组合即可求解. 【详解】由题意，先选出三人分两种情况， 即2名医生和1名护士，有种选法， 或1名医生和2名护士，有种选法， 再将选出的三个人全排列即可， 所以，共有种安排方法. 故选：D 8. 的展开式中的系数为（ ） A. 85 B. 5 C. -5 D. -85 【答案】A 【解析】 【分析】求出的展开式的通项，再令的指数等于和，即可得解. 【详解】的展开式的通项为， 则，， 从而的展开式中的系数为． 故选：A． 9. 随机变量的分布列为 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列性质和数学期望公式可求得的值，由方差的公式可计算得到结果. 【详解】由分布列性质知：，解得：； ，； . 故选：A. 10. 已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最小值，在上的最小值，再结合已知及恒成立问题求解即得. 【详解】当时，函数，则当时，， 函数在上单调递增，， 由，，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、填空题： 11. 在的展开式中，常数项为______. 【答案】20 【解析】 【分析】由题意有，令，进而求解. 【详解】由题意有：，令得，所以常数项为. 故答案为：. 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，进而得切线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】求导得，故切线的斜率为， 故切线方程为， 即． 故答案为： 13. 已知10名同学中有2名女生，若从中选取2名同学作为学生代表，则恰好选取1名女生的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型，结合组合数公式求解即可. 【详解】从10名同学中任选2人，共有种取法，其中恰好选取1名女生的取法有种，故恰好选取1名女生的概率为. 故答案为： 14. 设某医院仓库中有10盒同样规格X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应 ）则,且两两互斥. 由题意可得：, 15. 若，则a4+a2+a0＝_____ 【答案】41 【解析】 【分析】利用特殊值法，令x＝0，1，﹣1，将所得结果进行运算可得解． 【详解】令x＝0，可得a0＝1； 令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1， 即a1+a2+a3+a4＝0 ①； 令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝81， 即﹣a1+a2﹣a3+a4＝80 ②， 将①和②相加可得，2（a2+a4）＝80， 所以a2+a4＝40， 所以a0+a2+a4＝41． 故答案为41． 【点睛】本题考查二项式展开式的系数的求解方法：赋值法，对题目中的x合理赋值是解题的关键，属于基础题． 16. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.5 【解析】 【分析】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”，然后结合条件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”， 则甲从中选 3 个. 甲选到 的概率为 ， 乙选了 活动，他再选择 活动的概率为: 故答案为: . 三、解答题： 17. 已知函数在处有极值 （1）求的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1），极小值点 （2）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处有极值可得，可求得a的值；判断函数的单调性，即可判断判断是极大值点还是极小值点； （2）根据函数在上的单调性，结合函数值即可确定最值. 【小问1详解】 因为函数，故， 由于函数在处有极值，故， 此时， 当或时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 则为的极小值点，符合题意， 故，且为的极小值点. 【小问2详解】 由（1）可知在单调递减，在单调递增， 故是函数在区间上的极小值也是最小值， 由可知函数在区间上的最大值为4. 18. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明可得平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求两平面夹角的余弦值. （3）利用空间向量可计算点到平面的距离. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，由是的中点得，且， 由是的中点得，且， ∴，即四边形是平行四边形，故， ∵平面，平面，∴平面. 【小问2详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，得，故， 设平面的法向量为，则， 令，得，故， ∴，故平面与平面的夹角余弦值为. 小问3详解】 由（2）得，， ∴点到平面的距离为. 19. “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表： 不喜爱 喜爱 合计 男性 90 120 女性 25 合计 200 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？ （2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题． ①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率； ②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）列联表见解析，性别与对活动的喜爱程度无关． （2）①概率为；②的分布列见解析；数学期望 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，与2.706比较后得到结论； （2）①利用二项分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关． 【小问2详解】 ①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． ②的可能取值为， ， ， 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望. 20. 已知函数，（且） （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：； （3），若在上恒成立，求实数取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，从而判断导数正负，即可判断函数单调性； （2）要证明，即证，由此构造函数，利用导数求解函数的最值即可证明； （3）将在上恒成立，参变分离整理即为在上恒成立，由此构造函数，利用导数求解函数的最值，即可得答案. 【小问1详解】 由题意得函数的定义域为， ， 当时，，则在上单调递增； 当时，令，则， 当时，，则，在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 证明：当时，， 要证明，即证明：，即证； 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时的极大值点，也是最大值点， 则，即， 故. 【小问3详解】 由题意得， 在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 故 【点睛】方法点睛：（1）利用导数证明不等式时，转化为函数的最值问题解决，即整理变形，构造函数，从而利用导数求解；（2）不等式恒成立问题要参变分离，构造函数，转化为函数最值问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$