精品解析：黑龙江省绥化市第四中学校2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

绥化市第四中学校初二数学期中质量检测题 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（ ） A. 感 B. 动 C. 中 D. 国 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，判断即可． 【详解】解：选项C的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项A、B、D的美术字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、单项式的乘法等相关知识．根据合并同类项的运算法则，同底数幂的乘法运算法则、积的乘方的运算法则、单项式的乘法法则，对每一项进行计算求解运算即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：B． 4. 在钝角三角形中，为钝角，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的三边关系可知的取值范围，又因为是钝角所对的边，应为最长，故可知． 【详解】解：由三边关系可知， 又∵为钝角， ∴的对边为，应为最长边， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，同时应注意角越大，所对边越长，理解三角形的边角之间的不等关系是解题的关键． 5. 如图，在△ABC中，∠B+∠C=100°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的内角和可求∠BAC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//A可得∠ADE=∠BAD即可. 【详解】解：∵∠B+∠C=100° ∴∠BAC=80°， ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠BAC=40° ∵DE∥AB ∴∠ADE=∠BAD=40° 故答案为B. 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键. 6. 如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知，，，若的平分线BE经过点D，则的度数　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明，求出即可解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：依题意，分以下两种情况： （1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为， ， ， （2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为， 综上，顶角的度数为或 故选：C． 8. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，首先由三角形外角的性质得到，，然后得到，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴ ． 故选C． 9. 如图，点D在线段BC上，若BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，且∠ACE＝180°—∠ABC—2x°，则下列角中，大小为x°的角是 A. ∠EFC B. ∠ABC C. ∠FDC D. ∠DFC 【答案】C 【解析】 【分析】根据三组边相等，先证明△ABC≌△CED,得到∠ABC=∠E,∠ACB=∠CDE,再推出∠EFC=2x°，由此得到∠FDC= x° 【详解】∵BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC， ∴△ABC≌△CED, ∴∠ABC=∠E,∠ACB=∠CDE, ∵∠ACE+∠E+∠EFC=180°, ∴∠ACE=180°-∠E-∠EFC=180°-∠ABC-∠EFC, ∵∠ACE＝180°—∠ABC—2x°， ∴∠EFC=2x°， ∵∠EFC=∠FDC+∠ACB,且∠ACB=∠FDC, ∴∠FDC= x°, 故选:C. 【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质定理，根据全等得到对应角相等，根据等角之间的代换得到结果. 10. 如图，将长方形纸片先沿虚线向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，利用对称性与排除法求解． 【详解】解：第三个图形是三角形， 将第三个图形展开，可得，即可排除答案， 再展开可知两个短边正对着， 选择答案D，排除B与C． 故选：D． 11. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明; ②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分. 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得： ∴°，②正确； 作于，于，如图所示 则°， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分，④正确； 正确的个数有3个； 故选B． 【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 12. 在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为__________度． 【答案】18 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解． 【详解】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度． 则x+4x=90， 解得：x=18°． 故选B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余． 13. 若计算的结果中不含项，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题．正确的合并同类项是解题的关键． ，由结果不含有项，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ∵结果不含有项， ∴， 解得，， 故答案为． 14. 已知，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算，由条件可得，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故答案为：8 15. 如果一个正多边形的内角和等于它外角和的5倍，则这个正多边形的对称轴条数为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n-2），再根据内角和等于外角和的5倍可得方程180（n-2）=360×5，再解方程即可，根据轴对称图形的性质得出正多边形的对称轴条数的规律，即可得出正n边形对称轴条数． 【详解】解：设多边形有n条边，由题意得： 180（n﹣2）＝360×5， 解得：n＝12， ∵正三角形有3条对称轴， 正方形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴， 正六边形有6条对称轴， ∴正12边形有12条对称轴． 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义得出个正多边形的对称轴条数是解决问题的关键． 16. 已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2＋9x＋5的值是___． 【答案】-31 【解析】 【分析】根据题意可得x2﹣3x＝12．再代入，即可求解． 【详解】解：∵x2﹣3x﹣12＝0， ∴x2﹣3x＝12． 原式＝﹣3（x2﹣3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31． 故答案为：﹣31 【点睛】本题主要考查了求代数式的值．利用整体代入的方法可使运算简便． 17. 某校在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要________元． 【答案】 【解析】 【分析】作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 18. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是证明，利用三角形外角性质和内角和定理求解． 先证明，得到，再结合三角形外角性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ， ， ∵是的外角， ， ， ， ． 故答案为：． 19. 如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 20. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(2，4)、A(﹣4，0)，则点B的坐标是______. 【答案】(6，﹣2) 【解析】 【分析】如图，过点C作CF⊥AO，过点B作BE⊥CF，通过证明△ACF≌△CBE，可得BE＝CF＝4，CE＝AF＝6，即可求解. 【详解】如图，过点C作CF⊥AO，过点B作BE⊥CF， ∵点C(2，4)、A(﹣4，0)， ∴CF＝4，OF＝2，AO＝4，AF＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCF＝90°，且∠ACF+∠CAF＝90°， ∴∠BCF＝∠CAF，且AC＝BC，∠AFC＝∠CEB＝90°， ∴△ACF≌△CBE(AAS) ∴BE＝CF＝4，CE＝AF＝6， ∴EF＝2， ∴点B(6，﹣2)， 故答案为：(6，﹣2). 【点睛】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形． 21. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出的度数，找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中， 是的外角， 同理得， 第个三角形中以为顶点的底角度数是 第2023个三角形的底角度数是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（共7小题，共57分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）点的坐标是________，点的坐标是________； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，掌握轴对称的性质是关键； （1）依次作出点A，，关于轴对称的点，，，再依次连接即可； （2）由（1）中所作即可得两点的坐标． （3）用直角梯形的面积减去旁边两个三角形的面积，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 由（1）知，点，点的坐标分别是， ． 故答案为：， ． 【小问3详解】 ． 23. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 已知有理数a，b，c满足，求的值． 【答案】-12 【解析】 【分析】根据非负性求出a,b,c，再把原式化简即可求解． 【详解】由，得， 解得． ∵， ∴原式． 【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知非负性的应用． 25. 在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ABC是等边三角形． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】只要证明 【详解】（1）证明： , （2）证明：由（1）得： 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的判定：等角对等边，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 26. 如图，在直角，，平分交于点，平分交于点. (1)的度数为______. (2)若，求的度数. 【答案】(1)45°；(2)∠BAP=13°. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和为180°可得∠BAC+∠ABC=90°，再根据角平分线的定义可得∠PAB+∠PBA=45°，然后根据三角形的外角性质即可得解； （2）因为∠BDC是△ADP的外角，由（1）可求得∠DAP，根据角平分线的定义即可得解. 【详解】(1)∵， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∵平分，平分， ∴∠PAB+∠PBA=（∠BAC+∠ABC）=45°， ∴=∠PAB+∠PBA=； (2)∵， ∴． ∵平分， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质等，解此题的关键在于熟练掌握知识点. 27. 如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，连接，，根据线段垂直平分线的性质证明，根据角平分线的性质证明，再证即可证明． 【详解】证明：如图，连接，， ，D为的中点， 是线段的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中，， ， ． 28. 如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH代换即可得证． 【详解】证明：如图，在上取一点H，使，连接． ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 29. 在中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，过点E作，交直线于点F，连接． 【初步思考】（1）如图①，若，则按边分类：是______三角形； 【深入探究】（2）若． ①如图②，当点D在线段上移动时，判断的形状并证明； 【拓展延伸】 ②当点D在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并说明理由． 【答案】（1）等边（2）①为等腰三角形，证明见解析；②为等腰三角形，画图和证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意推出为等边三角形，结合平行线的性质得出．然后通过求证，可得出，即可推出为等边三角形； （2）①由（1）同理可证，即得出．结合等腰三角形和平行线的性质即可证，即说明为等腰三角形；②根据题意可直接画出图形，由（1）同理可证，即得出，进而得出．同理结合等腰三角形和平行线的性质即可证，即说明为等腰三角形． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边； （2）①为等腰三角形， 证明：由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②为等腰三角形，作图如下： 证明：由（1）同理可证， ∴， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第四中学校初二数学期中质量检测题 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看做是轴对称图形的是（ ） A. 感 B. 动 C. 中 D. 国 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 在钝角三角形中，为钝角，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，∠B+∠C=100°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 6. 如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知，，，若的平分线BE经过点D，则的度数　　 A. B. C. D. 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点D在线段BC上，若BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，且∠ACE＝180°—∠ABC—2x°，则下列角中，大小为x°的角是 A. ∠EFC B. ∠ABC C. ∠FDC D. ∠DFC 10. 如图，将长方形纸片先沿虚线向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的图形是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 12. 在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为__________度． 13. 若计算的结果中不含项，则a的值为________． 14. 已知，则的值是______． 15. 如果一个正多边形的内角和等于它外角和的5倍，则这个正多边形的对称轴条数为_____． 16. 已知x2﹣3x﹣12＝0，则代数式﹣3x2＋9x＋5的值是___． 17. 某校在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要________元． 18. 如图，在中，、、分别是、、上的点，且，．若．则的度数_______． 19. 如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为________． 20. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(2，4)、A(﹣4，0)，则点B的坐标是______. 21. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是________． 三、解答题（共7小题，共57分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）作出与关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点）； （2）点的坐标是________，点的坐标是________； （3）求的面积． 23. 计算： （1） （2） 24. 已知有理数a，b，c满足，求的值． 25. 在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF． （1）求证：△ADE≌△CDF； （2）求证：△ABC是等边三角形． 26. 如图，在直角，，平分交于点，平分交于点. (1)的度数为______. (2)若，求的度数. 27. 如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G，求证：． 28. 如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 29. 在中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，过点E作，交直线于点F，连接． 【初步思考】（1）如图①，若，则按边分类：是______三角形； 【深入探究】（2）若． ①如图②，当点D在线段上移动时，判断的形状并证明； 【拓展延伸】 ②当点D在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $