精品解析：2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一）

2025年浙江省强基计划优质模拟卷（一） 考生须知： 1．整卷共4页，有3个大题，共11个题，满分75分；考试时间为45分钟． 2．答题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 3．请将姓名、就读初中、中考报名序号填写在规定位置上． 一、选择题（每小题5分，共25分） 1. 在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（　　） A. B. C. 1或 D. 7或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，先由已知条件得的长，再根据绝对值的含义得关于a的方程，解得a即可． 【详解】解：∵B表示数2， ∴， ∵将点A向右平移3个单位长度，得到点C． ∴， ∴， ∴或， ∵点A、B在原点O的两侧， ∴， 故选：B． 2. 从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数y＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能的结果，其中使判别式Δ＝16﹣4ac＞0，即ac＜4的有4种结果，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图得： 一共有12种等可能的结果，其中使判别式Δ＝16﹣4ac＞0，即ac＜4的有4种结果， ∴二次函数y＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，二次函数与x轴的交点问题，根据题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 3. 从到连续自然数的平方和的个位数是（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究；计算连续自然数平方和的个位数，只需关注每个数平方后的个位数之和的个位． 【详解】解：每个数的平方个位数仅由其个位数字决定．的平方个位依次为，，，，，，，，，，每个数的平方个位数之和为，个位为． 个数包含个完整周期（个数），余下个数为、、，其个位分别为、、． 个周期的个位和为，个位为． 余下数的平方个位为，个位为． 总和的个位为． 故选：C． 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将绝对值函数分段讨论，求出各区间内的表达式，通过二次函数顶点公式或区间端点分析最小值． 【详解】解：当时，，，则．此时，随趋近于负无穷而增大，最小值趋近于． 当时，，，则．此时． 当时，，，则．此时，随增大而增大，最小值趋近于． 对于二次函数，其顶点横坐标为， 当时，最小值为： ∴中间区间的最小值为，其他区间的最小值均大于此值． 因此，的最小值为， 故选：B． 5. 如图，的外接的半径为5，，点P为的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为（　　） A. 3 B. 3.5 C. 2或8 D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相切两圆的性质，分两种情况，由相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当在的内部时，两圆相切于M，如图（1）， ∴， ∴此时的半径为2， 当在的外部时，两圆相切于N，如图（2）， ∴， ∴此时的半径为8， ∴的半径为8或2． 故选：C． 二、填空题（每小题5分，共20分） 6. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，先把整理得，再把通分整理得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 7. 已知，则x的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，先结合二次根式的性质得，再整理原式为，根据完全平方公式进行变形化简得，再求出x的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把整理得， 则， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， 故答案为： 8. 如图，中，，，，则外接圆的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，在截取一点，连接使得，证明是等腰直角三角形，结合三角形的外角性质以及角的和差关系得，即，设，则，得， 根据，得，整理得，运用圆周角定理以及勾股定理，得再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，在截取一点，连接使得， 如图所示： ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵，， ∴， 即， ∴， 设， 则， ∴， 过作， ∴， 同理证明是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， 整理得， 过作， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 即， ∴， ∴， 则 即 ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， 则外接圆的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点分别是边的中点，连接交于点，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分的性质，过作于，证明可得，进而可证明，得到，即得，，得到，再证明可得，，得到，最后根据线段垂直平分线的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共30分） 10. 如图，矩形四个顶点E、F、G、H分别在平行四边形的四条边、、、上． （1）求证：； （2）若四边形为菱形，E为的中点，，求． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得，，则，由四边形是矩形，得，，则，，即可推导出，，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）延长、交于点，作于点，先证明，设，，则，，所以，，再证明，得，可推导出，则，得，由勾股定理得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长、交于点，作于点，则， ， ， 四边形是菱形， ， 为的中点， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， 设，，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 11. 阅读下列材料： 我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：． 例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得． 解答下列问题： 如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点． （1）求点到直线的距离． （2）抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）读懂题意，得直线可化为结合，代入距离公式进行计算，即可作答． （2）先设点的坐标为，故点到直线的距离，结合在中，，则中函数值恒大于0，因为当时，最小，得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，直线可化为 ， 点到直线的距离． 【小问2详解】 解：存在．设点的坐标为， 则点到直线的距离， 在中，， 中函数值恒大于0， ． 当时，最小， 则为， ， 此时点的坐标为． 在中，令，得，令，得 ， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，一次函数的图象性质，一元二次方程的判别式的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省强基计划优质模拟卷（一） 考生须知： 1．整卷共4页，有3个大题，共11个题，满分75分；考试时间为45分钟． 2．答题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效． 3．请将姓名、就读初中、中考报名序号填写在规定位置上． 一、选择题（每小题5分，共25分） 1. 在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（　　） A. B. C. 1或 D. 7或 2. 从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数y＝ax2+4x+c与x轴有两个不同交点的概率为( ) A. B. C. D. 3. 从到连续自然数的平方和的个位数是（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 9 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，的外接的半径为5，，点P为的中点，以点P为圆心作，若与相切，则的半径为（　　） A. 3 B. 3.5 C. 2或8 D. 2或4 二、填空题（每小题5分，共20分） 6. 若，则____________． 7. 已知，则x的值为________________． 8. 如图，中，，，，则外接圆的面积为_______________． 9. 如图，在正方形中，点分别是边的中点，连接交于点，连接．若，则______． 三、解答题（共30分） 10. 如图，矩形四个顶点E、F、G、H分别在平行四边形的四条边、、、上． （1）求证：； （2）若四边形为菱形，E为的中点，，求． 11. 阅读下列材料： 我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：． 例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得． 解答下列问题： 如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点． （1）求点到直线的距离． （2）抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $