第08讲二次函数与一元二次方程及不等式（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第08讲二次函数与一元二次方程及不等式（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次不等式的概念及解法 典型例题二 解含参的一元二次不等式 典型例题三 一元二次方程根的分布情况 典型例题四 一元二次方程与二次函数、一元二次方程的关系 典型例题五 一元二次不等式恒成立问题 典型例题六 一元二次不等式在某些区间上有解问题 典型例题七 一元二次不等式的实际及几何应用 典型例题八 求二次函数的值域和最值 典型例题九 已知二次函数单调性求解单调区间 典型例题十 与二次函数相关的复合函数问题 知识点一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 4.二次函数的性质 ①. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． ②. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 5.二次函数解析式的表示方法 ① 一般式：（，，为常数，）；知道三点的坐标用一般式。 ② 顶点式：（，，为常数，）；知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式。 ③交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标），当函数与x轴有两个交点时，用交点式。注意中间的“-”。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 6.二次函数的图象与各项系数之间的关系 ①. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． ② 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则 ③ 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 7.二次函数与一元二次方程： ⑴. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ⑵. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； ⑶ 二次函数常用解题方法总结： ① 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ② 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ③ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ④ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 知识点二、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或. 设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为 知识点三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 要点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 知识点四、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程 开始 结束 将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0) Δ=b2-4ac 求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2 方程ax2+bx+c=0没有实数根 原不等式解集为R 原不等式解集为 原不等式解集为{x|x<x1,或x>x2}(x1<x2) Δ≥0? x1=x2? 否 是 是 否 【典型例题一 一元二次不等式的概念及解法】 【例1】．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 【例2】．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集. 【详解】令，所以或. 解得，. 所以不等式的解集是. 故选：A. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意直接解一元二次不等式即可. 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：. 4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集解出之间的关系，进而化简不等式，从而求出它的解集. 【详解】由题意知，是一元二次方程的两个实数根，且， 所以，解得， 所以， 所以不等式的解集为：， 故选：C. 5．关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况解不等式，再结合已知求解即可. 【详解】因为， 所以，当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 又不等式的解集为，所以，解得， 所以实数的值等于. 故选：D. 6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 8．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【典型例题二 解含参的一元二次不等式】 【例1】．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案. 【详解】因为方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得且. 故选：A. 【例2】．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要，解得， 故选：C 1．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意可得 ，整理求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，，即， 解不等式可得，或. 所以，m的取值范围是或. 故选：A. 2．设方程的两个不等实根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理得到，化简，计算得到答案. 【详解】，，故， . 故选：D. 3．一元二次方程的根的情况是（    ）． A．方程没有实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根是、和 【答案】C 【分析】把方程整理为一般形式，再用判别式求解即可 【详解】∵原方程可化为，∴，，， ∴，∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程有解，可得判别式大于等于零可求解. 【详解】由题意知，关于x的一元二次方程有解，则， 即，解得或. 所以的取值范围是. 故选：C. 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 6．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由不等式的解集是R，则， 【详解】A．，，开口向下，与轴有两个不同交点，不等式的解集不是R，不符合题意； B．，开口向下，与轴没有交点，不等式的解集是R，符合题意； C．，开口向上，与轴没有交点，不等式的解集为空集，不符合题意； D．，开口向上，与轴有两个不同的交点，不等式的解集不是R，不符合题意； 故选：B． 7．以下4个命题： （1）； （2）； （3）； （4）． 其中真命题的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】（1）结合二次函数分析即可； （2）取时验证即可； （3）取时验证即可； （4）解出方程的根验证即可. 【详解】（1）令， 由对称轴为， 则， 又， 且该二次函数开口朝上， 故对， 故正确； （2）因为， 所以当时，， 故不正确； （3）因为， 所以当时，， 故不正确； （4）因为， 由均为无理数，故不存在，使得， 故不正确； 故选：D. 8．不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. 【详解】不等式可化为，解得. 故选：B. 【典型例题三 一元二次方程根的分布情况】 【例1】．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式可求的取值范围. 【详解】由题设有，故， 故选：B. 【例2】．若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答. 【详解】，而当时，，当且仅当，即时取等号， 则，所以m的取值范围是. 故选：C 1．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数大于零恒成立的条件直接求解. 【详解】由二次函数大于零恒成立的条件可知，若为真命题，则有. 故选：B 2．命题“，均成立”为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据不等式恒成立，可转化为二次函数零点情况，分情况列不等式，解不等式即可. 【详解】由已知在上恒成立， 当时，不等式为，恒成立； 当时，，解得； 综上所述， 故选：B. 3．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 4．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】不等式对任意恒成立，则，成立， 而，当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得. 【详解】由方程有两个不相等的实数根，得， 即，解得，因此且， 所以实数m的取值范围是且. 故选：C 6．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解. 【详解】由题意可知，不等式在R上有解， ∴，解得， ∴实数m的取值范围是. 故选：A. 7．若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是（    ）. A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式得到不等式，求出答案. 【详解】“，”为真命题， 故，解得或. 故选：A 8．若不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答. 【详解】不等式有解，即不等式有解， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：A 【典型例题四 一元二次方程与二次函数、一元二次方程的关系】 【例1】．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况. 【详解】若关于的不等式有解, 则，解得. 故选：C. 【例2】．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可， 即，得， 所以实数a的取值范围为， 故选：D 1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由题意知在上有解，等价于，解不等式即可求实数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式在上有解， 即在上有解， 只需的图象与轴有公共点， 所以， 即，所以， 解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 2．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式即可. 【详解】∵汽车的刹车距离大于10 m, ∴ ∴ 故选：B 3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 4．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 5．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 6．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 7．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的值域，即集合，再根据集合的交并补运算即可确定选项. 【详解】当时，，即，则， 又，故. 故选：B. 8．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【答案】D 【分析】由二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得:，解得 因为二次函数图象的对称轴在轴左侧， ，即， 二次函数有最小值为. 故选：D. 【典型例题五 一元二次不等式恒成立问题】 【例1】．若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论，，确定函数单调性，确定最大值点，即可求解. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， . 由，计算出或， ， 两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数， ， . 综上可知或. 故选：C. 【例2】．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 1．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得出关于实数m的不等式，解出m的取值范围后判断. 【详解】若函数在区间上单调递增， 则，解得，可推出反之不行， 因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：B. 2．已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定和函数的单调性，计算，B正确，，D错误，举反例得到AC错误，得到答案. 【详解】，函数在上单调递减，在上单调递增. ，故，解得； ，，B正确； ，，D错误； 取，，，满足条件， ，A错误；，C错误； 故选：B 3．函数，则恒成立的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原函数表示出，化简后解不等式； 【详解】解：由题意得 故 ，解得 故选：B 4．（多选题）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，含有两个未知数，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 5．（多选题）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 6．（多选题）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 7．（多选题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的可能取值有（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】由已知判定方程为二次方程，再结合可求出的取值范围，从而可得答案. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 所以选项A、B不符合题意，C、D符合题意， 故选：CD 8．（多选题）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 【典型例题六 一元二次不等式在某些区间上有解问题】 【例1】．（多选题）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BC 【分析】结合函数的图象，即可得出的范围. 【详解】，结合函数的图象可知， 当时，既有最大值又有最小值， 故选：BC 【例2】．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 1．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 2．若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 3．若，则a的取值范围为 ，此时关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】第一空根据开口向上，与轴有两个交点即可取不等式的解集，第二空，根据第一空的范围，对不等式进行整理，比较大小得，再根据开口向上，利用法则取不等式的解集． 【详解】当，则， 不等式 可化简为， 因为，所以， 则， 故答案为：，． 4．若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，所以， 所以不等式可整理为 ， 即， 也即，解得， 故答案为: . 5．设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 . 【答案】. 【分析】一元二次方程没有实数根，即根的判别式小于0. 【详解】∵关于x的一元二次方程没有实数根 ∴ ∴ 解得：. 故答案为：. 6．已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次项系数非零及两根之积小于0，可得关于m的不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根， 得，解得. 故答案为： 7．若的函数值有正值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数图像性质即可得出结论. 【详解】由的函数值有正值可知函数的图像与轴有两个交点，所以，即或. 故答案为： 8．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 .    【答案】 【分析】根据一元二次函数的图象与的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由二次函数的图象，可得函数的图象与的交点的横坐标分别为， 即方程的两根分别为 结合函数的图象，可得不等式的解集为. 故答案为：. 【典型例题七 一元二次不等式的实际及几何应用】 【例1】．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据已知命题的否定为真命题,转化为不等式恒成立问题,即可求解. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以其否定“，”是真命题， 即在上恒成立，所以,解得. 故答案为： 【例2】．已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助根的判别式计算即可得. 【详解】由题意可得，解得． 故答案为：. 1．关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可. 【详解】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 2．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用判别式求解. 【详解】由题意知 ，解得 或 ， ∴b的取值范围是 ； 故答案为：. 3．若存在，使，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意，分别讨论，两种情况，即可得出结果. 【详解】当时，显然存在，使； 当时，需满足，得， 故. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式能成立求参数的问题，属于基础题型. 4．若关于的不等式在区间[1，2]上有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用参数分离将不等式转化为，求的最小值得到答案. 【详解】不等式在区间上有解 设，由在均为减函数 可知在单调递减 所以，即 故答案为： 【点睛】本题考查了不等式的参数问题，利用参数分离可以简化运算，学会构造函数，化繁为简，便于计算和理解，属基础题. 5．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 【答案】2 【详解】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得. 6．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ． 【答案】/4.5 【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件. 【详解】由题意△△，而，， 所以，而矩形的周长为， 则，整理得，仅当等号成立， 所以，而，可得， 则，而△的面积，故最大值为，此时. 故答案为： 7．一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解. 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 8．已知函数在时的最小值为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由对称轴求得最小值为，确定，求解即可. 【详解】由，可得对称轴为， 当时，， 也即， 解得：， 故答案为： 【典型例题八 求二次函数的值域和最值】 【例1】71．已知二次函数在时有最小值，则 . 【答案】3或 【分析】将一般式化为顶点式，求出对称轴，分和，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ①，抛物线开口向上，时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 又时有最小值， ∴时，有最小值， 解得：； 故答案为：3或. 【例2】．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式即可求解. 【详解】由题意，，得. 所以的取值范围是， 故答案为： 1．函数的单调递增区间是 . 【答案】和 【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】， 当时，，是函数的单调递增区间， 当时，，是函数的单调递增区间， 所以函数的单调递增区间是和. 故答案为：和 2．已知函数. （1）若在区间上为单调函数，则a的取值范围为 ； （2）若在区间上的最小值为，则a的值为 . 【答案】 【分析】第一空：先根据换元法求得，进而根据二次函数的单调性求解即可得答案； 第二空：分，，三种情况讨论求解即可得答案. 【详解】令，则， 所以， 所以 对于第一空，因为图像的对称轴为， 由题意知或，解得或. 故实数a的取值范围为. 对于第二空，当时，， 解得(舍去)； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得 (舍去). 综上，. 故答案为：；. 3．函数，，最大值为，则的最小值是 【答案】4 【分析】变换得到，计算，，考虑，，，四种情况，根据函数单调性分别函数最值得到答案. 【详解】， ，函数在上单调递减，在上单调递增，故， 设，，， 当，即时，函数在上单调递增，， 则， 当，即时等号成立，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. ，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则； 当，即时，函数在上单调递减，， 则； 综上可知 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，双勾函数性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论求最值是解题的关键. 4．函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案 【详解】函数的定义域为，等价于恒成立， 当时，显然成立； 当时，由，得． 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 5．解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)设，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) (5)或 (6)答案见解析 【详解】解：（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． （6）①当时，不等式可化为，原不等式的解集为． ②当时，方程的两根分别为2和．a．当时，解不等式得，故原不等式的解集为；b．当时，不等式无解，故原不等式的解集为；c．当时，解不等式得，故原不等式的解集为．综上所述，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为． 方法总结  1．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 2．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 核心笔记1．解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）． （1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；（第2，5题） （2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．（第1，7题） 2．分式不等式的解法（第6题） （1）； （2）且． 3．解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论．（第3，5，9题） （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根；（第3题） （3）关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，．（第5，13（6）题） 4．三个“二次”之间的关系（第7，8，10，13题） （1）一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定的系数．（第4，6，8，11题） 5．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在上恒成立的问题． 设，则恒成立，；恒成立，；恒成立，；恒成立，． 若未说明不等式是否为一元二次不等式，则先讨论的情况．（第3，12题） 6．求不等式的解集． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数图象性质对参数进行分类讨论即可. 【详解】不等式，可化为， 即， 令，解得，， 当时，，解集为或； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 7．解不等式： (1)； (2)若，解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）移项后把分式不等式变为一元二次不等即可，注意分母不为0； （2）先因式分解，再对参数分类讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）， 所以，解得或， 故不等式的解集为； （2）， ①当时，此时，不等式解集为； ②当时，此时，不等式解集为； ③当时，有，不等式解集为， 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 8．关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 【答案】 【分析】利用判别式大于零且两根之积小于零列不等式组求解即可. 【详解】因为关于x的方程，有一正根一负根， 所以，即，解得． 故所求实数的取值范围为． 【典型例题九 已知二次函数单调性求解单调区间】 【例1】．已知集合，，若，求m取值范围. 【答案】或 【分析】由知，再分别考虑为空集，单元素集和双元素集即可. 【详解】因为，所以， ①若，由得，解得； ②若，当A是单元素集时，由得， 此时方程为的解为，所以，不合题意； 当A含两个元素时，，和是方程的两个根， 即，节得， 综上所述的取值范围为取值范围为或. 【例2】．已知不等式的解集是，求a，c的值. 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解与二次方程的根之间关系，由韦达定理即可求解. 【详解】由于不等式的解集是，所以和是的两个根，由韦达定理可得且，解得， 1．设函数，当时，其函数值恒大于等于零.求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性求解即可. 【详解】在上单调递增， 令， 因为对恒成立， 所以，则，解得：. 故实数a的取值范围为. 2．如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 【答案】(1)当时，公园的面积最小，为 (2) 【分析】（1）设，由几何关系表示出的面积函数，结合基本不等式求最小值； （2）如图所示，三角形绿地为，过作交于，延长交于G， 设健步道宽度为x，由几何关系求得中上的高（为中上的高），即可由相似比表示出三角形绿地的面积函数不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设，矩形中，，则，∴， ∴ ， 当且仅当时，等号成立. 故当时，公园的面积最小，为； （2）由题意得，，，，，中EF上的高为， 如图所示，三角形绿地为，过作交于，延长交于G，易得. 设健步道宽度为x，则， 设中上的高h2，则， 则中上的高，h1=h-x-h2=8√5-x-3√5/5x 由S△A1E1F1/S△AEF=(h1/h2)2 得，解得. 故健步道宽度的最大值为. 3．已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）已知，把代入函数，将函数化为顶点式，因为完全平方项非负，所以能得出函数最小值，进而确定值域. （2）先把化简为，通过求判别式，根据取值不同分情况讨论.当，求出对应方程两根，得到不等式解集；当，不等式解集为；当，求出对应方程根，得到不等式解集. （3）先确定对称轴，结合范围得出值域，已知值域.根据是的子集，列出不等式组求解，再结合确定范围. 【详解】（1）当时， 所以 （2） ，得，时，对应方程的两根为 当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为          综上：当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （3）当，的对称轴方程为， 由图可知，的值域为； 当时，的值域为； 又因，使得，则， 所以，得，又，所以 4．已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）根据不等式解集与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论动区间端点与对称轴的关系可得表达式，再利用二次函数的性质计算最小值即可. 【详解】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在 递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． 5．已知函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】由解析式得到函数对称轴，讨论对称轴的位置，分别得到函数在区间上的最值，让最大值与最小值的差小于等于4，然后求得实数的取值范围. 【详解】由题意得 则，对称轴． 由题意，，都有成立． ∵， ∴只需在上恒成立即可． ①当，即时，在上单调递增， ∴ 解得，此时． ②当，即时，在上单调递减， ∴， ， 解得，此时，． ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴的最大值是与中的较大者． ⅰ）当，即时，∵，∴， ∴，解得，此时，． ⅱ）当，即时，∵，∴， ∴，即，解得， 此时． 综上，实数的取值范围是． 6．已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定为的两个根，由韦达定理即可求解； （2）将原问题转化为在上有解，换元后结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由的解集为，可知为的两个根， 故，解得； （2）方程在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则， 故实数a的取值范围为. 7．已知，函数与函数都随的增大而减小，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由反比例函数的单调性，及二次函数的单调区间即可求解. 【详解】由反比例函数的单调性易知函数在单调递减，必有， 对于，可知对称轴为，在单调递减， 所以， 综上可知实数的取值范围是. 8．已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象特点，可得； （2）讨论二次函数的对称轴和区间的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得. 【详解】（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最小值为， 综上可得，在上的最小值为 【典型例题十 与二次函数相关的复合函数问题】 【例1】．已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可； （2）求出函数的对称轴，根据函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外，进行分类讨论即可求解； （3）求出的根，然后根据根的大小关系进行分类讨论，求解不等式的解集． 【详解】（1）当，函数， 将代入得， ， 不等式的解集为：； （2）因为的对称轴为：， 为了使函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外， 或， 解得：或， 因此，实数a的取值范围为：； （3）将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为：， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 【例2】．已知是二次函数，且满足，， (1)求的解析式； (2)若，求的单调区间和值域. 【答案】(1) (2)减区间为，增区间为，值域为 【分析】（1）设，根据题中条件可得出关于、、的方程组，求出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的增区间和减区间，进而可求得该函数在上的值域. 【详解】（1）设，则， 因为， 即， 即， 所以，，解得，则. （2）因为函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 因为，，所以，， 所以，函数在上的值域为. 1．已知函数，. (1)若，求方程的根； (2)函数.求的表达式及在上的值域； (3)函数， 求在区间上的最小值. 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）列出分式方程并求解； （2）由函数图像和函数定义可直接写出函数解析式并能得到值域； （3）由定义得出解析式，找到对称轴，分类讨论的取值范围，得到对应的最小值，从而写出的解析式. 【详解】（1）当时，， 则或. （2）如图：    由函数图象可知：， 当时，，即函数的值域为； （3）， 对称轴：， ①时，，所以在上单调递减， ∴ ； ②当时，，即， ③当时，所以在上单调递增，即， ∴ 2．回答下列问题： (1)已知不等式的解集是，求，的值； (2)对于二次函数，当时，的最小值是，最大值是，求，的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）构造函数并作出其图象，得，从而分类讨论和两种情况，得到是方程的两根，利用韦达定理即可得解； （2）分类讨论在上的单调情况，结合条件得到关于的方程组，或分析得，进而得到，从而得解. 【详解】（1）令， 作出函数的图象，如图， 因为，的解集是， 若，则不等式的解集是两段区域，不合题意， 若，由可知此时恒成立， 又因为不等式的解集为， 所以是方程，即的两根， 则，解得或（舍去）， 综上，，. （2）令， 因为当时，的最小值是，最大值是， 若在上单调递减，则有， 两式相减，得，由于， 整理得，则，解得，则，不符合题意； 若在上单调递增，则，且， 又，解得，与矛盾，舍去； 若在上不单调，则由（1）中图象可知， 又，从而有， 所以满足，即，解得或（舍去）； 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第1小问解决的关键在于，将问题分析转化得是方程的两根，从而得解. 3．已知二次函数． (1)当是什么实数时，函数的值是正数； (2)若关于的方程有两个实根，且，试问：实数是否存在最大值?若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)的最大值为，理由见解析. 【分析】（1）将看作关于的一次函数，结合函数的单调性，求出的取值范围； （2）根据韦达定理得到两根之和，两根之积，结合，求出，利用基本不等式求出最大值，并满足根的判别式，从而确定最大值. 【详解】（1）可看作关于的一次函数， 当时，，满足要求， 当时，则，所以单调递增， 要想函数的值为正数，需要满足， 解得：， 综上：时，函数的值是正数 （2）由题意得：，且，解得：， 所以， 根据韦达定理得到， 又，即，与联立可得： ，， 将两式代入中，得，其中， 由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立， 故，当时，等号成立， 综上：的最大值为. 4．已知函数． (1)求函数的解析式； (2)设，若，使成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式， （2）由（1）得，然后将问题转化为，成立，换元后构造函数，利用二次函数的性质求出此函数的最小值即可 【详解】（1）令，则． 由于，所以． 代入原式有， 所以． （2）因为，所以． 因为使成立， 所以，成立． 令，由，得， 设． 则函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最小值． 所以，即k的取值范围为． 5．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； （3）设，，，求最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将原代数式变换为且，由基本不等式求最值即可； （2）由，，根据二次函数性质求最值； （3）由，，，且，应用基本不等式即可求最值. 【详解】（1）由，则，当且仅当时，等号成立. ∴的最小值为3. （2）已知，求，令， 原式，当，即时，最大值为. （3）设，，，则当且仅当时，等号成立， ∴最小值为. 【点睛】关键点点睛： （1）变换已知关系式，应用基本不等式求最值； （2）利用换元法，结合二次函数的性质求最值； （3）应用基本不等式求最值. 6．已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】（1）根据题中条件，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，求出的最大值，即可得出结果； （2）根据题中条件，讨论，，三种情况，根据二次函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1）当时，恒成立，即是在上恒成立， 等价于在上恒成立， 令，，则时，， 又函数是开口向下，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递增， 因此，即的最大值为， 所以只需； （2）当时，在上显然是增函数，满足题意； 当时，， 若，则，则，此时在上单调递增，满足题意； 若，即时，设方程的两根为，，且， 此时在和上单调递增， 若，则，解得； 若，则，解得，与不满足，舍去； 综上，或. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题，考查由二次函数的单调性求参数的问题，属于常考题型. 7．设二次函数满足下列条件：①当时，，且﹔②当时，；③在R上最小值为0. （1）求的解析式 （2）求最大的，使得存在，只要就有. 【答案】（1）；（2）9. 【解析】（1）由已知求得函数的对称轴方程，再由时，恒成立求得，结合函数的最小值联立方程组求得的值，即可求得函数解析式； （2）由在恒成立，取有，得，对固定的，取，有，即，解得，于是有，从而可得答案 【详解】解：（1）∵ ∴函数图像关于对称 ∴， 由③时，，即 由①得，，由②得， ∴，即 又 ∴，， ∴ （2）假设存在，只要，就有， 取有 即，解得 对固定的，取，有 即， 化简有， 解得， 于是有 当时，对任意的，恒有 ， 所以m的最大值为9 【点睛】此题考查了二次函数解析式的求解，考查由恒成立求参数的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 8．是一元二次不等式.( ) 【答案】错误 【分析】根据一元二次不等式概念可判断. 【详解】当时，是一元一次不等式，故错误. 故答案为：错误 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由判别式小于0可得解. 【详解】由中，，可得解集为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．若不等式 的解集为，则的值为（    ） A．5 B．-5 C．-25 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可知和3是方程 的两个根，由此利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：和3是方程 的两个根， ， 解得，， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，属于基础题． 3．与同解的不等式是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出对应的不等式的解集与不等式的解集进行一一比较即可. 【详解】对于选项:， 解得且或, 因为不等式的解集为或, 所以与不同解,故选项排除; 对于选项:, 所以与同解,故选项正确; 对于选项: ， 解得,因为不等式的解集为或, 所以与不同解,故选项排除; 对于选项:， 解得,因为不等式的解集为或, 所以与不同解,故选项排除; 故选:B 【点睛】本题考查不等式的同解问题,旨在考查不等式的解集即为未知数需满足的各个不等式的交集,属于基础题,易错题. 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：原不等式可以转化为：， 当时，可知，对应的方程的两根为1，， 根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：. 故选：A. 5．已知关于x的不等式的解集是，则错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于x的不等式的解集是，可得是方程，然后利用根与系数的关系判断. 【详解】因为关于x的不等式的解集是， 所以是方程的两根， 所以， ，故ABC正确； 设，其图象如图所示： 由图象知：，故D错误； 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集的应用，关键是三个“二次”的转化，还有根与系数的关系与函数零点，注意二次项系数的正负. 6．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，通过讨论与1的大小，求出解集，再根据解集中恰有两个整数，即可求解. 【详解】由题意，得原不等式可转化为． 当时，解得，此时解集中的整数只能为2，3，因此； 当时，解得，此时解集中的整数只能为0，-1，因此． 当时，不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是或. 故选：D． 7．已知不等式的解集是,,则不等式的解集是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据不等式的解集,判断出的符号,利用韦达定理表示出和与的关系. 设不等式的解集为,利用韦达定理建立与的关系,进而用表示出,即可得不等式的解集. 【详解】不等式的解集是 所以的两个根分别为 因为,所以,所以 由韦达定理可知, 由,可知 因为,所以可设的解集为.由于,所以 则 因为, 所以 解方程组可得 所以不等式的解集为 故选:A 【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题. 8．若，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知只有一个实数根，讨论和，由根的判别式可得答案. 【详解】∵，∴只有一个实数根. 当时，，此时； 当时，，所以，此时. ∴.故或. 故选：B. 二、多选题 9．下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】由于含有根式（）不是一元二次不等式，是分式不等式， 因此只有、是一元二次不等式，即只有A、D符合题意. 故选：AD． 10．已知，关于x的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】当时，不等式等价于，解得； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式等价于，解得或； 当时，不等式等价于，解得； 当时，不等式等价于，解得或. 故选：BCD 11．（多选）若不等式对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】因为对于任意实数x恒成立，所以原不等式可化为，然后分和两种情况讨论即可求解. 【详解】解：因为对于任意实数x恒成立， 所以不等式可化为， 即， 当时，不等式化为，不符合题意． 当时，由题意有，解得， 又，所以或2， 故选：CD． 三、填空题 12．写出解集为的一元二次不等式，这个一元二次不等式可以是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法结合条件即得. 【详解】一个一元二次不等式的解集为， 根据一元二次不等式与一元二次函数，一元二次方程之间的关系可知这样的一元二次不等式可以是， 故答案为： 13．已知函数对任意的实数恒有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得， ∵函数对任意的实数恒有零点， ∴对任意的实数恒成立， 即对任意的实数恒成立． 又， ∴． ∴实数的取值范围是． 答案： 14．不等式的解集为 . 【答案】或 【详解】①当时，得，则有，解得；②当时，得.因为，所以，且，所以恒成立.综上所述，原不等式的解集为或. 四、解答题 15．求下列不等式的解集： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. （2）根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）一元二次不等式对应一元二次方程的两个根为，所以原不等式的解集为. （2）一元二次不等式对应一元二次方程的两个根为，所以原不等式的解集为. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 16．某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400km．该热带风暴中心B以的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km．问：从此时起，经多长时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 【答案】3.75h后，时间长达2.5h 【解析】以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，求得点坐标，设后热带风暴中心B到达点，根据，用两点间的距离公式列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，由此求得市受影响的起始时间以及持续的时间. 【详解】如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，因为， 所以热带风暴中心B的坐标为．设后热带风暴中心B到达点处，由已知，A市受热带风暴影响时，有，即， 整理得，解不等式，得． A市受热带风暴影响的时间为， 故在3.75h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5h． 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法在实际生活中的应用，属于基础题. 17．求方程的解集. 【答案】 【分析】设有，解一元二次方程求出的解，进而可求出结果. 【详解】设有，则原方程可变为， 因此可知或（舍） 从而，即， 所以原方程的解集为. 18．已知函数. （1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值； （2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解 （2）把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可 【详解】（1）证明：由f（x）＜k得：k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴2+（﹣3），∴k； 所以实数k的值是； （2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值， ∀x1∈[2，4]，f（x）在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2），f（4）， 所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）； 函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m， ①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m⇒m，解得：﹣2； ②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2； ③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m，解得：m，所以m≤﹣4； 综上所述，m的取值范围：（﹣∞，]. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，2.通过对进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值 19．设函数，已知不等式的解集为. （1）求和的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用韦达定理即得解； （2）等价于，对任意恒成立，再利用基本不等式得解. 【详解】（1）有题意得是关于的方程的两个根， 所以，故； （2）由（1）得，则对任意恒成立， 即，对任意恒成立. 又因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲二次函数与一元二次方程及不等式（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元二次不等式的概念及解法 典型例题二 解含参的一元二次不等式 典型例题三 一元二次方程根的分布情况 典型例题四 一元二次方程与二次函数、一元二次方程的关系 典型例题五 一元二次不等式恒成立问题 典型例题六 一元二次不等式在某些区间上有解问题 典型例题七 一元二次不等式的实际及几何应用 典型例题八 求二次函数的值域和最值 典型例题九 已知二次函数单调性求解单调区间 典型例题十 与二次函数相关的复合函数问题 知识点一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零． 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 4.二次函数的性质 ①. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． ②. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 5.二次函数解析式的表示方法 ① 一般式：（，，为常数，）；知道三点的坐标用一般式。 ② 顶点式：（，，为常数，）；知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式。 ③交点式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标），当函数与x轴有两个交点时，用交点式。注意中间的“-”。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 6.二次函数的图象与各项系数之间的关系 ①. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． ② 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在的前提下， 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧． ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧． 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则 ③ 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 7.二次函数与一元二次方程： ⑴. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况. 图象与轴的交点个数： ① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． ② 当时，图象与轴只有一个交点； ③ 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ⑵. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； ⑶ 二次函数常用解题方法总结： ① 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ② 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ③ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ④ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 知识点二、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或. 设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为 知识点三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 要点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 知识点四、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程 开始 结束 将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0) Δ=b2-4ac 求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2 方程ax2+bx+c=0没有实数根 原不等式解集为R 原不等式解集为 原不等式解集为{x|x<x1,或x>x2}(x1<x2) Δ≥0? x1=x2? 否 是 是 否 【典型例题一 一元二次不等式的概念及解法】 【例1】．已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【例2】．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．关于的不等式的解集为，且，则实数的值等于（    ） A．或2 B．1或 C． D． 6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 7．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题二 解含参的一元二次不等式】 【例1】．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．设方程的两个不等实根分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ）． A．方程没有实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根是、和 4．已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 6．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．以下4个命题： （1）； （2）； （3）； （4）． 其中真命题的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 【典型例题三 一元二次方程根的分布情况】 【例1】．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】．若对任意的恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．命题“，均成立”为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 3．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 6．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是（    ）. A．或 B．或 C． D． 8．若不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【典型例题四 一元二次方程与二次函数、一元二次方程的关系】 【例1】．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是（    ）． A． B． C． D． 3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 5．如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 6．用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【典型例题五 一元二次不等式恒成立问题】 【例1】．若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例2】．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1．“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．函数，则恒成立的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的可能取值有（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（多选题）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【典型例题六 一元二次不等式在某些区间上有解问题】 【例1】．（多选题）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【例2】．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 1．不等式的解集为 ． 2．若，则不等式的解集为 ． 3．若，则a的取值范围为 ，此时关于x的不等式的解集是 ． 4．若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ． 5．设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 . 6．已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是 ． 7．若的函数值有正值，则的取值范围是 ． 8．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 .    【典型例题七 一元二次不等式的实际及几何应用】 【例1】．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 【例2】．已知命题“，一元二次不等式”为真命题，则a的取值范围为 ． 1．关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 2．若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 3．若存在，使，则实数的取值范围为 . 4．若关于的不等式在区间[1，2]上有解，则的取值范围是 ． 5．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 6．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ． 7．一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 8．已知函数在时的最小值为，则实数的取值范围是 ． 【典型例题八 求二次函数的值域和最值】 【例1】71．已知二次函数在时有最小值，则 . 【例2】．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 1．函数的单调递增区间是 . 2．已知函数. （1）若在区间上为单调函数，则a的取值范围为 ； （2）若在区间上的最小值为，则a的值为 . 3．函数，，最大值为，则的最小值是 4．函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 5．解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)设，解关于的不等式． 6．求不等式的解集． 7．解不等式： (1)； (2)若，解关于x的不等式. 8．关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 【典型例题九 已知二次函数单调性求解单调区间】 【例1】．已知集合，，若，求m取值范围. 【例2】．已知不等式的解集是，求a，c的值. 1． 设函数，当时，其函数值恒大于等于零.求实数a的取值范围. 2．如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 3．已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 4．已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 5． 已知函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 6．已知函数． (1)若的解集为，求a，b的值； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 6． 已知，函数与函数都随的增大而减小，求实数的取值范围． 8．已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【典型例题十 与二次函数相关的复合函数问题】 【例1】．已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 【例2】．已知是二次函数，且满足，， (1)求的解析式； (2)若，求的单调区间和值域. 1．已知函数，. (1)若，求方程的根； (2)函数.求的表达式及在上的值域； (3)函数， 求在区间上的最小值. 2．回答下列问题： (1)已知不等式的解集是，求，的值； (2)对于二次函数，当时，的最小值是，最大值是，求，的值. 3．已知二次函数． (1)当是什么实数时，函数的值是正数； (2)若关于的方程有两个实根，且，试问：实数是否存在最大值?若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由. 4．已知函数． (1)求函数的解析式； (2)设，若，使成立，求实数k的取值范围． 5．（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值； （3）设，，，求最小值. 6．已知函数． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围． 7．设二次函数满足下列条件：①当时，，且﹔②当时，；③在R上最小值为0. （1）求的解析式 （2）求最大的，使得存在，只要就有. 8．是一元二次不等式.( ) 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．若不等式 的解集为，则的值为（    ） A．5 B．-5 C．-25 D．10 3．与同解的不等式是（    ）. A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的不等式的解集是，则错误的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．已知不等式的解集是,,则不等式的解集是 A． B． C． D． 8．若，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．下列是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，关于x的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）若不等式对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 三、填空题 12．写出解集为的一元二次不等式，这个一元二次不等式可以是 ． 13．已知函数对任意的实数恒有零点，则实数的取值范围是 . 14．不等式的解集为 . 四、解答题 15．求下列不等式的解集： （1） （2） 16． 某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400km．该热带风暴中心B以的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350km．问：从此时起，经多长时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 17． 求方程的解集. 18． 已知函数. （1） 若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值； （2） 若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围. 19．设函数，已知不等式的解集为. （1）求和的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$