第03讲：一元二次方程根与系数的关系-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第03讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 · 考点一：一元二次方程的根的判断式 · 考点二: 判断式求参数问题 · 考点三：一元二次方程的根与系数的关系 · 考点四：由跟的分布求参数问题 · 考点五：根和系数与判别式的综合应用 【知识梳理】 知识点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 【题型归纳】 题型一：一元二次方程的根的判断式 1．（24-25高一上·全国）已知，是关于的方程的两个根，下面结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式以及韦达定理计算，逐项判断即可. 【详解】， 方程有两个不相等的实数根，即，故B正确； 根据韦达定理，，，故C、D错误，A不一定正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·四川宜宾·开学考试）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据判别式的符号可得正确的选项. 【详解】，故方程有两个不等的实数根， 故选：A. 3．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】根据判别式即可判断. 【详解】， 此方程无实数根， 故选：B. 题型二: 判断式求参数问题 4．（24-25高一上·全国·课前预习）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】C 【分析】分类讨论和两种情况，利用根的判别式解决一元二次方程根的问题. 【详解】当，即时，关于的方程可化为，有一个实数根，满足题意； 当时，关于的方程有实数根， ，解得，故且. 综上，的取值范围是． 故选：C. 5．（2025高一·全国·专题练习）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（   ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】D 【分析】由方程没有实数根，得到，然后分类讨论结合判别式分析方程的实数根的个数即可. 【详解】关于的方程没有实数根， 当时，方程为有解，不符合题意， 所以，整理得，解得， 则方程， 当时，，此时方程有一个实数根； 当且时， 故此时方程有两个不相等的实数根， 综上：方程的实数根的个数为1或2. 故选：D 6．（24-25高一上·湖南怀化·开学考试）已知关于的一元二次方程中，为实数，则该方程解的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】B 【分析】判断的符号，进而判断根的个数. 【详解】因为， 所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. 故选：B 题型三：一元二次方程的根与系数的关系 7．（24-25高一下·辽宁·开学考试）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 8．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知是方程的两根，求的值（  ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合韦达定理计算得解. 【详解】由是方程的两根，得， 所以. 故选：C 9．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解. 【详解】由得， 则. 故选：D 题型四：由跟的分布求参数问题 10．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的方程有两个负根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】因为关于x的方程有两个负根， 所以，即， 解得，所以实数m的取值范围是. 故选：B. 11．（24-25高一上·福建·开学考试）已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意得、为方程的两个根，得到，，将转化为，然后代入计算即可． 【详解】∵两个不等实数，满足，， ∴、为方程的两个根，∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 12．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）关于的方程有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果. 【详解】根据方程有两个根，其中一个大于1，另一个小于1， 可知，解得. 故选：A 题型五：根和系数与判别式的综合应用 13．（24-25高一上·全国·课前预习）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得?若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式大于0求解即得. （2）利用根与系数的关系，结合根的符号及已知等式求解即得. 【详解】（1）由方程有两个不相等的实数根， 得，所以. （2）存在， 由（1）知，，，则， 由，得，两边平方得，即， 因此，即， 所以． 14．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或1 【分析】(1)根据来判断一元二次方程的根的个数； (2)利用韦达定理解决问题. 【详解】（1）， . ， ， 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根为， . ，即， . 整理，得. 解得. 的值为或1. 15．（24-25高一上·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . (1)求实数的值； (2)求和的值. 【答案】(1)1； (2)3，. 【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出. （2）由（1）求出，再借助因式分解计算即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，而，所以. （2）由（1）知，， 所以； . 【专题突破】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】由判别式大于0求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得， 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】由判别式大于0即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：且， 故选：C 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求参数，再得出对称轴即可. 【详解】的两个实数根分别为， 抛物线与轴的两个交点坐标为抛物线的对称轴为直线. 故选：A. 4．（2025高一上·河北保定·专题练习）方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值是（    ） A．或3 B．3 C． D．或2 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系及判别式计算求解. 【详解】方程有两个相等的实数根， 则， 解得或①， 由韦达定理，，， 又因，则得， 解得或②， 综合① ② ，可得m的值为. 故选：C. 5．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出方程的根，再利用不等式的性质比较大小. 【详解】方程化为：，， 则， 所以. 故选：A 6．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，且，则a的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【分析】利用根与系数关系来求得正确答案. 【详解】依题意，，是一元二次方程的两个实数根， 所以或， ， 所以， 解得（舍去）或. 故选：A 7．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B．，且 C． D．且 【答案】B 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0和二次项系数不等于0，求解即得结果. 【详解】，，，一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得． 是二次项系数，不能为0， 且． 故选：B． 8．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）若实数，且，是方程的两个根，则代数式的值为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或20 【答案】A 【分析】利用韦达定理可得，代入变形后的，即可求值. 【详解】因为，是方程的两个根， 故， 则 . 故选：A. 9．（24-25高一上·湖北黄石·开学考试）若关于的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题由根与系数的关系，求出两根之和、两根之积，然后对所求式子因式分解，整体代换即可得出结果. 【详解】一元二次方程的两个实数根为和， 由根与系数的关系可得，， . 故选：B. 10．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知关于x的方程有两个不相等的正整数根，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D．2或1 【答案】B 【分析】根据题意因式分解解方程可得或，结合方程有两个不相等的正整数根列式求解即可. 【详解】因为方程是一元二次方程， 则，且，解得或， 又因为方程有两个不相等的正整数根， 则是正整数，且，所以. 故选：B． 11．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知是方程的两根，且，则的值为（    ） A． B． C．95 D． 【答案】A 【分析】设，利用韦达定理计算计算即可. 【详解】解：设， ∴，， ∵是方程的两根，， ∴， 代入后得， ， ∴． 故选：A． 二、多选题 12．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知一元二次方程，下列说法正确的有（   ） A． B．若是方程的根，则 C．若，则方程有两个不等的实数根 D．若方程有两个不等的实数根分别为，则有， 【答案】ABC 【分析】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的情况与判别式的关系，韦达定理. 【详解】选项A：根据一元二次方程的定义得，A正确； 选项B：根据一元二次方程的根的定义得，B正确； 选项C：根据一元二次方程根的情况与判别式的关系得，一元二次方程有两个不等的实数根,C正确； 选项D：根据韦达定理得，，D错误. 故选：ABC. 13．（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知，关于的方程有两个不相等的正实数根，则可取的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】BC 【分析】分情况讨论当，时，结合韦达定理与判别式可得，再根据韦达定理求解即可. 【详解】当时，显然不合题意； 当时，关于的方程有两个不等的正实根， 则，即，解得， 所以， ，， 则. 故选：BC. 14．（23-24高一上·安徽安庆·开学考试）关于的方程有两个不相等的正实数根.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据一元二次方程的根的情况列不等式，由此确定正确答案. 【详解】由于关于的方程有两个不相等的正实数根， 所以，所以，则， 所以AC选项正确，BD选项错误. 故选：AC 15．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦达定理判断AB；借助韦达定理计算判断CD即可. 【详解】由是关于x的一元二次方程的两根，得，A错误，B正确； ，C正确； ，即有， 解得或，D错误. 故选：BC 16．（23-24高一上·广东佛山·开学考试）抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．下面正确的结论有（    ） A．； B．； C．当时，若点在该抛物线上，则； D．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】BCD 【分析】根据抛物线经过的点的坐标以及可判断抛物线开口向下，代入点可得，即可知A错误；依题意可知抛物线对称轴在直线的右侧，利用顶点坐标可得，即B正确；根据抛物线性质可知距离对称轴比点较近，所以可得，即C正确；根据判别式以及可知，再由即可解得，可知D正确. 【详解】对于A，图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点， 如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的两个交点都在的左侧； 又因为交点且，所以抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧， 所以抛物线的开口一定向下，即； 把代入可得，即； 又因为，，所以可得，即A错误； 对于B，由，，，所以，即方程的两根的积大于零，即； 即可得，所以，即抛物线的对称轴在直线的右侧， 即抛物线的顶点在的右侧，所以，由可得，即B正确； 对于C，由，当时，，所以抛物线的对称轴在直线的右侧， 所以点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又，抛物线的开口向下，所以距离抛物线对称轴越近的函数值越大， 所以，即C正确； 对于D，将方程变形成， 由方程有两个相等的实数根，可得， 又在抛物线上，可得，即； 所以，即，可得； 又因为，在抛物线上，即为方程的两个根， 所以，即， 又因为，即，所以可得，即D正确. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于熟练掌握二次函数图象和性质，根据已知条件判断得出抛物线开口方向向下即，再对其他选项进行判断. 17．（23-24高一上·山东济南·开学考试）抛物线的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为，则（    ）    A． B．若都在该抛物线上，则 C．对于任意的实数m，都有 D．方程（，k为常数）所有根的和为4 【答案】AC 【分析】根据函数图象可得的符号及，再根据对称轴可求出，即可判断A；根据二次函数的性质即可判断B；将用表示，作差化简即可判断C；方程的解是函数与直线的交点的横坐标，结合函数的图象即可判断D. 【详解】因为二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为，开口向上， 所以，所以， 所以，故A正确； 当时，随的增大而减小， 因为二次函数的图象关于对称， 所以时与时所对应的函数值相等， 又因，所以，故B错误； 因为， 所以， 所以，故C正确； 方程的解是函数与直线的交点的横坐标， 作出函数的图象，如图所示：    由图可知，两函数交点的个数可能为个或个或个， 因为抛物线的图象关于对称， 当交点为个时，方程所有根之和为， 当交点为个时，方程所有根之和为， 当交点为个时，方程所有根之和为，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：熟练的掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键. 三、填空题 18．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，再整体代入到中，即可求解. 【详解】一元二次方程的两根为， ，， . 故答案为：. 19．（24-25高一上·全国·课前预习）若，且一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由题设易得，进而结合一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】由， 则，即， 即一元二次方程有实数根， 所以，解得且. 故答案为：且. 20．（24-25高一上·江西·开学考试）若一元二次方程的两根分别为，则 ． 【答案】4 【分析】利用韦达定理可得结果. 【详解】由一元二次方程的两根分别为，可得， 由韦达定理知：，， . 故答案为：4. 21．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知一元二次方程的两个实数根为α，β，则 = ． 【答案】 【分析】利用韦达定理列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 22．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知方程的两根为，则 ． 【答案】7 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】方程的两根为， 由韦达定理得，， 所以. 故答案为：7. 23．（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为 ． 【答案】或0 【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，， 当时，、均为实数，则，即， 即，解得，符合题意； 当时，、均为虚数，则，即， 即，解得，符合题意； 则实数的值为或0. 故答案为：或0. 24．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知实数、满足：． ①若，则 ； ②若、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个 【答案】 【分析】把，代入求值即可；再由题意知：，均为整数，，，，，则，再分三种情况讨论即可． 【详解】当，时，，解得：； 当，，为正整数时， ，均为整数，，，，，而， 或或， 或或， 当时，时，，；时，，， 故为，，共个； 当时，时，，；时，，，时，，， 故为，，，共个； 当时，时，，；时，，， 故为，，共个； 综上所述：共有个． 故答案为：18；7． 四、解答题 25．（24-25高一上·全国·课前预习）已知关于x的一元二次方程有两根， (1)求m的取值范围； (2)若．求m的值． 【答案】(1) (2)3． 【分析】（1）利用根的判别式求解即可； （2）根据根与系数的关系及题设求解即可. 【详解】（1）由题意知，，解得：， 即m的取值范围为. （2）由根与系数的关系得：，， ，， 解得：，由（1）知， 所以应舍去，则的值为3． 26．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根. (1)求 的值； (2)当 取到最小值时，求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)因为方程有两个实根，所以，求出的取值范围，再根据韦达定理，得出两个之和和两根之积，代入即可求值. (2)利用韦达定理， 把表示成关于的二次函数，即求出二次函数取最小值时的值. 【详解】（1）因为 有两个根， 所以 ， ， 即 ，解得 或 ， 由韦达定理，得 ， ， （2） 设抛物线方程 ，定义域为 或 ， 开口向上，抛物线的对称轴 ， 当 时，函数严格减函数，即在 上是严格减函数， 时，函数为严格增函数，即在 上是严格增函数， 当时，取最小值32即 取最小值. 27．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）材料：法国数学家弗朗索瓦韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，； 材料：如果实数满足，，且，则可利用根的定理构造一元二次方程，然后将看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，则__________，__________． ②已知实数满足：，，则__________ (2)已知实数满足：，，且，求的取值范围； (3)设实数分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)①，；② (2)； (3) 【分析】（1）结合韦达定理可直接填空. （2）先根据一元二次方程有两个不等实根，可求的取值范围，再结合韦达定理，可求的取值范围. （3）先把，转化成方程的两解，再结合韦达定理可求值. 【详解】（1）①一元二次方程的两根分别为， ，； ②实数满足：，， 是方程的解， ，， . （2）实数满足：，， 是方程的解.     ，. . ， ，， ， ， . （3）因为，. ，. 是方程的两解. ， ，， 1. 28．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； 【答案】(1)且； (2)或. 【分析】（1）由题结合二次方程判别式可得答案； （2）由题可得，由韦达定理结合为整数可得的值，即可得答案. 【详解】（1）当时，， 因方程有两个不等实根，则且； （2）当时，，因为两个整数根， 则为整数，又为整数，则. 当时，方程为，则； 当时，方程为，则. 综上：或. 29．（24-25高一上·辽宁锦州·阶段练习）法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【详解】（1）由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； （2）由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． （3）由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 · 考点一：一元二次方程的根的判断式 · 考点二: 判断式求参数问题 · 考点三：一元二次方程的根与系数的关系 · 考点四：由跟的分布求参数问题 · 考点五：根和系数与判别式的综合应用 【知识梳理】 知识点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 【题型归纳】 题型一：一元二次方程的根的判断式 1．（24-25高一上·全国）已知，是关于的方程的两个根，下面结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川宜宾·开学考试）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 题型二: 判断式求参数问题 4．（24-25高一上·全国·课前预习）关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 5．（2025高一·全国·专题练习）如果关于的方程没有实数根，那么，关于的方程的实数根的个数为（   ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 6．（24-25高一上·湖南怀化·开学考试）已知关于的一元二次方程中，为实数，则该方程解的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 题型三：一元二次方程的根与系数的关系 7．（24-25高一下·辽宁·开学考试）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）已知是方程的两根，求的值（  ） A． B． C．0 D． 9．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根为，则（    ） A． B． C． D． 题型四：由跟的分布求参数问题 10．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的方程有两个负根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·福建·开学考试）已知两个不等实数，满足，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 12．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）关于的方程有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 题型五：根和系数与判别式的综合应用 13．（24-25高一上·全国·课前预习）关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得?若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 14．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知关于的一元二次方程. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值. 15．（24-25高一上·上海松江·期末）已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . (1)求实数的值； (2)求和的值. 【专题突破】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 3．（2025高一上·河北保定·专题练习）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一上·河北保定·专题练习）方程有两个相等的实数根，且满足，则m的值是（    ） A．或3 B．3 C． D．或2 5．（2025高一上·河北保定·专题练习）已知，关于x的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，且，则a的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 7．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B．，且 C． D．且 8．（24-25高一上·广西钦州·开学考试）若实数，且，是方程的两个根，则代数式的值为（    ） A． B．2 C．2或 D．2或20 9．（24-25高一上·湖北黄石·开学考试）若关于的一元二次方程的两个实数根为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知关于x的方程有两个不相等的正整数根，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D．2或1 11．（24-25高一上·浙江·开学考试）已知是方程的两根，且，则的值为（    ） A． B． C．95 D． 二、多选题 12．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知一元二次方程，下列说法正确的有（   ） A． B．若是方程的根，则 C．若，则方程有两个不等的实数根 D．若方程有两个不等的实数根分别为，则有， 13．（24-25高一上·四川内江·开学考试）已知，关于的方程有两个不相等的正实数根，则可取的值为（    ） A．2 B． C． D．4 14．（23-24高一上·安徽安庆·开学考试）关于的方程有两个不相等的正实数根.则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·广东佛山·开学考试）抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．下面正确的结论有（    ） A．； B．； C．当时，若点在该抛物线上，则； D．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 17．（23-24高一上·山东济南·开学考试）抛物线的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为，则（    ）    A． B．若都在该抛物线上，则 C．对于任意的实数m，都有 D．方程（，k为常数）所有根的和为4 三、填空题 18．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． 19．（24-25高一上·全国·课前预习）若，且一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 20．（24-25高一上·江西·开学考试）若一元二次方程的两根分别为，则 ． 21．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知一元二次方程的两个实数根为α，β，则 = ． 22．（24-25高一上·河南南阳·期末）已知方程的两根为，则 ． 23．（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为 ． 24．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知实数、满足：． ①若，则 ； ②若、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个 四、解答题 25．（24-25高一上·全国·课前预习）已知关于x的一元二次方程有两根， (1)求m的取值范围； (2)若．求m的值． 26．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根. (1)求 的值； (2)当 取到最小值时，求 的值. 27．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）材料：法国数学家弗朗索瓦韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：，； 材料：如果实数满足，，且，则可利用根的定理构造一元二次方程，然后将看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，则__________，__________． ②已知实数满足：，，则__________ (2)已知实数满足：，，且，求的取值范围； (3)设实数分别满足，，且，求的值． 28．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根． (1)若，求的取值范围； (2)若为两个整数根，为整数，且，求； 29．（24-25高一上·辽宁锦州·阶段练习）法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$