第02讲：因式分解-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第02讲：因式分解 【考点梳理】 · 题型一：提取公因式和公式法因式分解 · 题型二：分组分解法 · 题型三：十字相乘法 · 题型四：因式分解的综合 【知识梳理】 知识点一、公式法(立方和、立方差公式) 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 知识点二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 知识点三、十字相乘法 1．型的因式分解 (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. 2．一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【题型突破】 题型一：提取公因式和公式法因式分解 1．（25-26高一·上海）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）将拆成两个，凑出两个完全平方式，最后应用平方差作分解； （2）将化为，凑出完全平方式，最后应用平方差作分解； （3）（4）应用凑配、拆分法，结合提取公因式法因式分解； 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）法一：原式； 法二：原式； 法三：原式 . 法四：原式； （4）原式 2．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方和公式化简求解； （2）根据平方差公式及立方差公式求解. 【详解】（1）原式； （2）原式． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）先提取公因式，再化简即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3） 题型二：分组分解法 4．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分组提取公因式后再提取公因式得解； （2）法一分组为和，分别分解因式后，利用十字相乘法分解因式，法二分组为和，再利用十字相乘法分解为，再整体利用十字相乘法分解. 【详解】（1）． （2）法一： . 法二： ． 5．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解题： 拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下： 原式 公式：， 根据上述论法和解法， (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，结合题设中的公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，得到 . （2）解：由题意，可得 . （3）解：由题意，可得 . 6．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边，，满足，试判断的形状． 【答案】(1)①；②； (2)等腰三角形 【分析】（1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案； （2）先利用因式分解，得到，再根据三角形的三边关系，得到，推出，即可判断的形状． 【详解】（1）① ； ② ； （2）等腰三角形，理由如下： ， ∴ 是的三边， ， ， ∴， ∴， 的形状是等腰三角形． 题型三：十字相乘法 7．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据十字相乘法，对一元二次式进行因式分解. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 8．（24-25高一上·全国·课前预习）把下列各式因式分解. (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用十字相乘法分解因式. （3）利用十字相乘法及公式法分解因式即得. 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）原式. 9．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）直接利用十字相乘法即可因式分解. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 题型四：因式分解的综合 10．（25-26高一·上海·假期作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用分组分解法分解因式； （2）利用分组分解法分解因式； （3）先分组，再利用十字相乘法分解因式； （4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （5）利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （6）利用分组分解法分解因式. 【详解】（1） （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 11．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据分解因式的方法，结合十字相乘法和提取公因式法，逐个化简计算，即可求解. 【详解】（1）解：由方程，解得或， 所以. （2）解：由十字相乘法，可得. （3）解：由提取公因式法，可得. （4）解：由提取公因式法，可得. （5）解：由提取公因式法，可得. 12．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由十字相乘法法进行因式分解即可. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【专题突破】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式因式分解，可判断AB的真假；利用提公因式法，结合平方差公式因式分解可判断C的真假；利用完全平方公式因式分解可判断D的真假. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由完全平方公式、立方和公式、立方差公式、两数差立方公式逐项分析即可. 【详解】因为完全平方公式． 立方和公式； 立方差公式； 两数差立方公式．故C正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）不能用十字相乘法分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由十字相乘法逐项判断可得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C ，不能用十字相乘法分解，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：C. 4．（2025高一·全国·专题练习）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合完全平方和平方差公式进行因式分解. 【详解】， 故选：A. 5．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）给出下列等式，其中因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式，立方和差公式进行因式分解即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：C. 6．（24-25高一上·四川内江·开学考试）把分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式并提取公因式即可得出结果. 【详解】易知, 故选：A 7．（24-25高一上·湖北黄石·开学考试）下列因式分解的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可得出结果. 【详解】对选项A，平方差公式，错； 对选项B，完全平方公式，错； 对选项C，提取公因式，错； 对选项D，十字相乘，对. 故选：D. 8．（24-25高一上·全国·假期作业）由可得，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用立方差与立方和公式逐个分析判断即可. 【详解】对于A．，因此选项A不符合题意； 对于B．，因此选项B不符合题意； 对于C．，因此选项C不符合题意； 对于D．因为，所以选项变形不正确，因此选项D符合题意； 故选：D． 二、多选题 9．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】运用平方差公式和十字相乘法、完全平方公式即可逐一判断. 【详解】对于A，利用平方差公式易得，故A正确； 对于B，运用十字相乘法可得，故B错误； 对于C，因，故C错误； 对于D，运用十字相乘法可得，故D正确. 故选：BC. 10．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）由，可得：即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给的公式，判断选项. 【详解】根据公式， A. ，故A正确； B.，故B正确； C.应改为，故C错误； D. ，故D正确. 故选：ABD 11．（23-24高一上·广西玉林·开学考试）下列因式分解中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据因式分解化简逐个选项判断即可. 【详解】对A，正确； 对B，正确； 对C，，故C错误； 对D，正确. 故选：ABD 12．（23-24高一上·广西钦州·开学考试）将下列多项式因式分解，结果中含因式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用十字相乘法、配凑法等，逐一对各个选项分析判断即可求出结果. 【详解】对于选项A，因为，正确； 对于选项B，因为，不正确； 对于选项C，因为，正确； 对于选项D，因为，正确. 故选：ACD. 13．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）给出下列等式，其中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用平方差公式，立方和差公式进行因式分解即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 14．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据因式分解的方法求解. 【详解】对A， ，A错误； 对B，，B错误； 对C，，C正确； 对D，，D正确； 故选：CD. 三、填空题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）若将多项式因式分解为，则的值为 . 【答案】1 【分析】根据给定分解结果求出，再代入求值. 【详解】依题意，，即，则， 所以. 故答案为：1 16．（24-25高一上·全国·课前预习）在实数范围内分解因式 . 【答案】 【分析】先对原多项式合理变形，再利用完全平方公式和平方差公式求解即可. 【详解】由题意得 . 故答案为： 17．（2025高一·全国·专题练习）分解下列因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】应用十字相乘法将各式分解成两个单项式的乘积形式. 【详解】根据十字相乘法有， ， ； 故答案为：，，. 18．（2025高一·全国·专题练习）分解下列因式： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】利用完全平方和平方差公式因式分解即可. 【详解】（1） （2） （3） 四、解答题 19．（25-26高一·上海·假期作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：利用提公因式可因式分解；方法二：利用配凑法利用公式法可进行因式分解； （2）方法一：变形为，利用十字相乘法进行因式分解；法二：变形为，利用十字相乘法进行因式分解； （3）利用提公因式与公因式法可因式分解. 【详解】（1）方法一：原式 ． 方法二：原式 （2）方法一：原式 . 方法二：原式 （3）原式 20．（25-26高一·上海·假期作业）分解因式： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：设，利用十字相乘法可因式分解；法二：设，利用十字相乘法可因式分解； （2）配方得，令，利用公式法可因式分解. 【详解】（1）方法一：设， 原式 方法二：设， 原式 （2）原式 ． 令 ， 原式 21．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将式子中的看成是，符合立方和公式，进行化简计算； （2）将式子中的按a的降幂调整顺序，然后把与分别看成是与的平方，运用立方差公式计算； （3）将与25分别看成是与5的平方，然后按照x的升幂调整的顺序，运用立方差公式计算． 【详解】（1）． （2） ． （3） ． 22．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用十字相乘法或者提取公因式法进行因式分解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） 23．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）运用十字相乘法进行因式分解即可；（2）运用十字相乘法进行因式分解即可；（3）运用分组分解法进行因式分解即可；（4）运用分组分解法进行因式分解即可；（5）运用拆项法进行因式分解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 24．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【分析】（1）运用分组分解法进行因式分解即可；（2）运用分组分解法进行因式分解即可；（3）运用提公因式法进行因式分解即可；（4）运用添项法进行因式分解即可；（5）运用拆项法进行因式分解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） . 25．（24-25高一上·全国·课前预习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_________，共应用了_________次． (2)若分解，则需应用上述方法_________次，结果是_________． (3)分解因式：（n为正整数）． 【答案】(1)提公因式，两次 (2)2025次； (3) 【分析】根据所给因式分解过程，分别求解即可. 【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次． （2）， ， 故分解，则需应用上述方法2025次，结果是：． （3）分解因式：（n为正整数）的结果是：． 26．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）由求根公式求得两根，即可求解； （2）由求根公式求得两根，即可求解； （3）十字相乘法分解即可； （4）由分解即可； （5）由，再提取公因式即可求解. 【详解】（1）令，由求根公式可得：， 所以 （2）由，由求根公式可得：， 所以 （3） （4） （5） 27．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用分解因式即可求解； （2）利用分解因式即可求解； （3）直接提取公因式，利用分解因式即可求解； （4）利用分解因式即可求解； （5）利用分解因式即可求解； 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 28．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：根据多项式的乘法法则，可知.那么，反过来，也有这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式.例如，因式分解.这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这样，我们也可以得到.利用上面的方法，因式分解以下题目： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两次利用材料中的方法将原式分解即可； （2）原式利用分组分解法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 29．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； (1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； (2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； (3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （2）先提“2” ，再用十字相乘的方法即可求解； （3）用十字相乘的方法即可求解； 【详解】（1）二次三项式中的常数项10分成两个整数的积，且这两个整数的和等于7才可以， 即， ，则口算就可以得到，或，， 然后在将与的值代入式子中即可得到， 故答案为：. （2） ， ； （3） . 【点睛】关键点点睛：此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 30．（2022高一·全国·专题练习）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程. 解：设 原式第一步 第二步 第三步 第四步 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____； A．提取公因式法      B．平方差公式法     C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解. 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行因式分解. 【详解】（1）根据完全平方公式进行分解因式，可知选C. （2），设， 原式； （3），设， 原式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：因式分解 【考点梳理】 · 题型一：提取公因式和公式法因式分解 · 题型二：分组分解法 · 题型三：十字相乘法 · 题型四：因式分解的综合 【知识梳理】 知识点一、公式法(立方和、立方差公式) 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 知识点二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 知识点三、十字相乘法 1．型的因式分解 (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. 2．一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【题型突破】 题型一：提取公因式和公式法因式分解 1．（25-26高一·上海）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型二：分组分解法 4．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解题： 拆项法是因式分解中一种技巧较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数为零，本题既没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成，再利用立方和与平方差先分解，解法如下： 原式 公式：， 根据上述论法和解法， (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 6．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边，，满足，试判断的形状． 题型三：十字相乘法 7．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 8．（24-25高一上·全国·课前预习）把下列各式因式分解. (1)； (2)； (3)； 9．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 题型四：因式分解的综合 10．（25-26高一·上海·假期作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 11．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 12．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 【专题突破】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列因式分解中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）不能用十字相乘法分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）给出下列等式，其中因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川内江·开学考试）把分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖北黄石·开学考试）下列因式分解的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·假期作业）由可得，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式．下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·云南保山·阶段练习）下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·云南昆明·开学考试）由，可得：即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广西玉林·开学考试）下列因式分解中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·广西钦州·开学考试）将下列多项式因式分解，结果中含因式的有（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）给出下列等式，其中因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（24-25高一上·全国·课前预习）若将多项式因式分解为，则的值为 . 16．（24-25高一上·全国·课前预习）在实数范围内分解因式 . 17．（2025高一·全国·专题练习）分解下列因式： （1） ； （2） ； （3） ． 18．（2025高一·全国·专题练习）分解下列因式： （1） ； （2） ； （3） ． 四、解答题 19．（25-26高一·上海·假期作业）分解因式： (1) ； (2) ； (3) ． 20．（25-26高一·上海·假期作业）分解因式： (1) ； (2) ． 21．（24-25高一上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 22．（24-25高一上·全国·课前预习）分解因式： (1)； (2)； (3). 23．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 24．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 25．（24-25高一上·全国·课前预习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_________，共应用了_________次． (2)若分解，则需应用上述方法_________次，结果是_________． (3)分解因式：（n为正整数）． 26．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 27．（2025高一·全国·专题练习）因式分解练习 (1) (2) (3) (4) (5) 28．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：根据多项式的乘法法则，可知.那么，反过来，也有这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式.例如，因式分解.这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.这样，我们也可以得到.利用上面的方法，因式分解以下题目： (1)； (2). 29．（24-25高一上·全国·假期作业）阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； (1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； (2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； (3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 30．（2022高一·全国·专题练习）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替即换元，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程. 解：设 原式第一步第二步第三步第四步 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的____； A．提取公因式法      B．平方差公式法     C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$