第01讲：集合的概念【七大题型】-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第01讲：集合的概念 【考点梳理】 · 题型一、集合的概念 · 题型二、元素与集合 · 题型三：元素与集合的关系求参数 · 题型四、集合中元素的特性 · 题型五、集合的表示方法 · 题型六：集合相等问题 · 题型七：集合概念的综合问题 【知识梳理】 知识点一　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 知识点二　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四　列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 知识点五　描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}， 这种表示集合的方法称为描述法． 【例题详解】 题型一、集合的概念 1．（24-25高一上·全国）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 题型二、元素与集合 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·全国）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型三：元素与集合的关系求参数 7．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 8．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 9．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 题型四、列举法表示集合 10．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 题型五、描述法表示集合 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 15．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 题型六：根据集合中元素的个数求参数 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 17．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 18．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七：集合概念的综合问题 19．（24-25高一上·全国）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 20．（25-26高一上·全国）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 21．（25-26高一上·全国）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 6．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 7．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 9．（24-25高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 11．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 13（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 四、解答题 16．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 17．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知是满足下列条件的集合： ①，；②若，则；③若且，则. (1)判断，是否正确，并说明理由； (2)证明：若，且，则； (3)证明：若，则. 18．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 19．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：集合的概念 【考点梳理】 · 题型一、集合的概念 · 题型二、元素与集合 · 题型三：元素与集合的关系求参数 · 题型四、集合中元素的特性 · 题型五、集合的表示方法 · 题型六：集合相等问题 · 题型七：集合概念的综合问题 【知识梳理】 知识点一　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 知识点二　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四　列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 知识点五　描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}， 这种表示集合的方法称为描述法． 【例题详解】 题型一、集合的概念 1．（24-25高一上·全国）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据集合元素的特性之一确定性进行判断. 【详解】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 2．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 3．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 题型二、元素与集合 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【详解】，，正确， 因为是无理数，所以． 故选：C 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 6．（24-25高一上·全国）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 题型三：元素与集合的关系求参数 7．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 8．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【详解】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 9．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 题型四、列举法表示集合 10．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 12．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知集合，则用列举法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得可为、，计算即可得. 【详解】由题意可得可为、， 即可为，即. 故选：B. 题型五、描述法表示集合 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能被8整除的所有正整数组成的集合中的元素为8的整倍数，结合选项判断即可. 【详解】能被8整除的所有正整数组成的集合应为无限集，因此C，D排除， 利用描述法表示能被8整除的所有正整数组成的集合， 由于选项A中的集合包含0，因此不符合正整数的要求，故A排除， 而选项B，符合能被8整除的所有正整数组成的集合，因此B正确， 故选：B. 14．（24-25高一上·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【详解】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 15．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 题型六：根据集合中元素的个数求参数 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 17．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 18．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 题型七：集合概念的综合问题 19．（24-25高一上·全国）选择适当方法表示下列集合： (1)由小于8的所有自然数组成的集合A； (2)自然数的平方组成的集合B； (3)方程组的解组成的集合C； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D． 【答案】(1)或； (2)； (3)或； (4) 【分析】（1）（3）利用列举法、描述法表示给定集合. （2）（4）利用描述法表示给定的集合. 【详解】（1）列举法，描述法. （2）描述法. （3）列举法，描述法． （4）描述法. 20．（25-26高一上·全国）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 21．（25-26高一上·全国）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 【答案】D 【分析】根据集合的元素需要满足确定性即可判断. 【详解】根据集合的元素需要满足确定性， 对于A，B，C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合； 对于D选项，大于小于2的所有非负奇数为1．可以构成集合． 故选：D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】化简，由中元素结构即可判断. 【详解】，， 对比集合中元素的系数可得，， 故选：A 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 6．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 7．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 9．（24-25高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件得到，再利用集合的表示方法，即可求解. 【详解】由且，得到，所以集合为或. 故选：AC. 10．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．与表示同一个集合 【答案】AB 【分析】直接运用集合的含义和集合中元素的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，10以内的质数组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，方程的所有解组成的集合是，故C错误； 对于D，表示以为元素的集合，故D错误． 故选：AB． 11．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解. 【详解】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 13（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【答案】 1 2 【分析】分、两种情况讨论，确定代数式的关系，即可确定集合的元素个数. 【详解】当时，各个式子都是； 当时，因为，，， 所以不论取何值，最多只能写成两种形式， 故集合中最少含有个元素，最多含有个元素． 故答案为：； 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 四、解答题 16．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 17．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知是满足下列条件的集合： ①，；②若，则；③若且，则. (1)判断，是否正确，并说明理由； (2)证明：若，且，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据，，利用条件②可依次推出，，； （2）由，可知，再由条件③可知，，再利用条件②可得结论； （3）由并结合（2）中的结论可得，再依次证得，，即可得，再结合条件②和③即可得. 【详解】（1），正确，理由如下： 因为，，由条件②可知， 由，，可得； 由，，可得， 因此，的说法正确； （2）因为，且，又，可得； 结合条件③可知，； 再由条件②可知， 即； （3）由（2）中可得， 又由条件②知， 当或时，易知， 即可得当时，，同理可得； 又当时，，则，则， 则由可知，则， 所以，可得， 因此，所以，故， 即若，则得证. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分利用三个条件，并结合已有数据对表达式整理变形得出相应结论即可证明. 18．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 19．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，，解得，此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$