第09讲：函数的概念及其表示【十二大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第09讲：函数的概念及其表示 【知识梳理】 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【例题详解】 题型一、函数的定义 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 【答案】AC 【详解】A正确，函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应；B错误，函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数的定义域为，值域为；C正确，根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应；D错误，当x的值不同时，y的值可能相同，如函数，当或时，． 3．（25-26高一上·全国）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义． 题型二、求函数的定义域 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据这两个部分对的限制条件列出不等式组，求解不等式组即可得到函数的定义域. 【详解】函数，定义域满足不等式组. 解不等式，可得. 解不等式，可得. 所以不等式组的解为且. 用区间表示函数的定义域为. 函数的定义域是. 故选：D 5．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）求下列函数的定义域 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解析式有意义可知，，联立求解即可； （2）由解析式有意义可知，，联立求解即可； 【详解】（1）解：由得且 所以函数的定义域为 （2）由，得， 即且 所以函数的定义域是. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 题型三、函数值域 7．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解； （2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为. （2）由函数，因为，可得， 所以函数的值域为． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 题型四、同一个函数的判定 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；B选项中，与的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；C选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以C错误；D选项中，的定义域为的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误． 11．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为同一函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D. 12．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 13．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 14．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 15．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式. 【详解】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 命题角度2　配凑法 16．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合配凑法即可求解函数解析式. 【详解】由，可得. 故选：D. 17．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用配凑法，求得，再结合条件，即可求解. 【详解】易知， 又，所以， 则，解得， 故选：A. 18．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由配凑法和即可得解. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 命题角度3　待定系数法 19．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 20．（22-23高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 21．（22-23高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可. 【详解】设一次函数， 则， 即，所以解得， 所以， 故选:C. 命题角度4　构造方程组法 22．（24-25高一上·山东）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程组法求解析式即可. 【详解】由①， 可得②， ①②得：，即. 故选：A. 23．（24-25高一上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．13 D．14 【答案】C 【分析】由构造方程法可先求出解析式，再求出的值. 【详解】由题意得，因为， 所以对于任意，， 联立消去可得， ， 所以， 故选：C. 24．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 题型六、函数的表示方法 25．（24-25高一上·全国）某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件进行分析，结合图象来确定正确答案. 【详解】设公交车行驶速度为，开车的速度为， 则该同学出门后到他妈妈发现他忘带文具盒这段时间两人之间的距离以的速度增大， 从妈妈出发到追上他这段时间两人之间的距离以的速度减小； 分别后两人之间的距离以的速度增大，C正确． 故选：C 26．（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题可先根据表格求出的值，再求出的值. 【详解】由表格可知，当时，. 所以. 故选：B. 27．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 题型七、分段函数求值 28．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：D 29．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【答案】B 【分析】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【详解】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B 30．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的概念直接代入解析式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 题型八、解分段函数不等式 31．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，然后分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】由题意可得：， 当时，，解得或，所以. 当时，，解得，所以. 综上所述：不等式的解集为：. 故选：A 32．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（   ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】C 【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，故A正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D正确； 故选：C 33．（24-25高一上·天津·期中）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，再分段解不等式求出解集. 【详解】函数，则， 不等式，当时，，解得，因此； 当时，，即，解得或，因此或， 所以不等式的解集是. 故选：B 题型九、函数的概念与表示综合问题 34．（24-25高一上·全国）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 35．（25-26高一上·全国）（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）①②；（2）；（3）． 【详解】解：（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为． ②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是． （2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是． （3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为． 36．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由，结合函数解析式解方程即可； （2）可得或，解之即可求解. 【详解】（1）由可得： （i）（舍去）； （ii）. 综上，或； （2）由可得： （i）； （ii）. 综上可得． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国）下列表示函数图象的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得且，所以定义域为． 5．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】代入计算，得到. 【详解】. 故选：B 6．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【详解】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C 7．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数的值域为，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】因为函数，则由题意得，进而可求得答案. 【详解】因为函数， 又函数的值域为， 则，解得或. 故选：A. 8．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 【答案】C 【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值， 所以由得（舍去）或， 即当时，函数有最大值，无最小值. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对； 对于C选项，函数、的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对； 对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，有，解得或，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错. 故选：BC. 10．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．的定义域为 B．函数与是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若不等式的解集为或，则 【答案】ACD 【分析】根据分母不为且偶次方根的被开方数非负求函数的定义域，即可判断A；由定义域即可判断B；由题意可得，进而求定义域，即可判断C；利用韦达定理求出、，即可判断D. 【详解】对于A，对于，令，解得且， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，由于的定义域为， 所以中令，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D，依题意，关于的方程的两个解是或，并且， 由韦达定理：，解得，所以，故D正确； 故选：ACD 11．（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【分析】根据函数图像的意义逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，充电结束时，由图像可知，电量是，A选项正确； B选项，由图像，5h时刻，电量剩余为，B选项错误； C选项，由图像，内电量下降的速度平均为， 内下降的速度平均为，前者更快，C选项正确； D选项，由于期间电量上涨，可知进行了充电操作，D选项正确. 故选：ACD 12．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【分析】对于A求抽象函数的定义域，由得即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由得，即即可判断，对于D消元法求函数解析式可判断. 【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为， 所以, 故答案为：2 14．（25-26高一上·全国）若函数的定义域为，则其值域为 ． 【答案】 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，．所以值域为． 15．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 16．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，求方程的解，结合图象确定的范围. 【详解】因为， 又，， 所以函数的图象为开口向下，对称轴为，过点的抛物线， 作函数的图象如下： 结合对称性可得， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 【详解】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据已知设，结合已知得到多项式相等求参数，即可得解析式； （2）利用函数关系，列方程组求解析式即可； （3）根据解析式，讨论的取值，进而写出的分段函数形式. 【详解】（1）令，又， 所以， 所以，故； （2）由题设，联立， 所以，则，故； （3）由题设，时，时，时， 所以. 19．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）求出函数的定义域，再结合抽象函数定义域求出的定义域. （2）配方，借助二次函数性质求出值域. （3）利用换元法求出解析式. 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为，则， 函数中，，解得， 所以函数的定义域. （2），当且仅当时取等号， 所以的值域是. （3）令，则， 由，得， 所以的解析式是. 20．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3). 【分析】（1）根据的范围，分别将代入对应解析式即可求解. （2）对参数进行分类讨论，解方程求解即可. （3）对参数进行分类讨论，解不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，，而, 所以. （2）当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. （3）由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲：函数的概念及其表示 【知识梳理】 知识点一　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 知识点二　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 知识点三　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 知识点四　函数的表示方法 知识点五　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【例题详解】 题型一、函数的定义 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2．（25-26高一上·全国）下列说法正确的是（   ） A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 D．对于任何一个函数，如果x的值不同，那么y的值也不同 3．（25-26高一上·全国）下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二、求函数的定义域 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）求下列函数的定义域 (1) (2) 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 题型三、函数值域 7．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 题型四、同一个函数的判定 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 12．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 题型五、求函数解析式 命题角度1　换元法 13．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 14．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 命题角度2　配凑法 16．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 命题角度3　待定系数法 19．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 命题角度4　构造方程组法 22．（24-25高一上·山东）已知函数的定义域为，对任意均满足：，则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，则的值为（    ） A．7 B．8 C．13 D．14 24．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 题型六、函数的表示方法 25．（24-25高一上·全国）某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·广东江门·期中）若函数为 x 0 1 2 3 f(x) 3 2 1 0 则（     ） A．0 B．1 C． D．3 27．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 题型七、分段函数求值 28．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 29．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 30．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八、解分段函数不等式 31．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（   ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 33．（24-25高一上·天津·期中）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型九、函数的概念与表示综合问题 34．（24-25高一上·全国）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 35．（25-26高一上·全国）（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 36．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国）下列表示函数图象的是（   ） A．  B．  C．   D．   2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 6．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数的值域为，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或2 8．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．的定义域为 B．函数与是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若不等式的解集为或，则 11．（24-25高一上·广西柳州·期末）对某智能手机进行游戏续航能力测试（测试6小时结束），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ） A．测试结束时，该手机剩余电量为 B．该手机在时电量为0 C．该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D．该手机在进行了充电操作 12．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 三、填空题 13．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则 . 14．（25-26高一上·全国）若函数的定义域为，则其值域为 ． 15．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，若，则 ． 16．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 四、解答题 17．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 18． （24-25高一上·浙江杭州·期中） （1）已知是一次函数，且满足，求； （2）已知，求； （3）已知函数，求； 19．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 20．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$