专题1.5（3） 一元二次方程（专项练习）（拓展延伸篇）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.5（3） 一元二次方程（专项练习）（拓展延伸篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（　　） A．或1 B． C．1 D．3 5．（2025·河北石家庄·二模）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 6．（2025·江苏无锡·二模）定义：若，满足，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）电影哪吒于年月日上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 10．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 14．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数满足方程，则的值是 ． 15．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是： ． 16．（2025·江苏苏州·二模）设是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为 ． 18．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·全国·假期作业）选用适当方法求下列方程的精确解． （1） （2） 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21．（本小题满分10分）（2023·浙江杭州·三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作，，再以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根． （1）写出与表示的数 （2）求出的值 （3）你认为琮琮说的对吗？为什么？ 22．（本小题满分10分）（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. （1）求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） （2）若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 23．（本小题满分10分）（2023·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上有三点A、B、C，点A表示的数，点A向左平移两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C． （1）直接写出点B、C对应的数b、c的值； （2）计算：的值； （3）已知m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值为． 24．（本小题满分12分）（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5（3） 一元二次方程（专项练习）（拓展延伸篇） 【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分. 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 解：， ， ， ． 故选：A． 2．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）我们规定一种新运算“★”，其意义为．若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可． 解：由题意得 （x−2）★（1−x）=（x−2）2-（x−2）（1−x）=28 整理，得2x2-7x-22=0 （x+2）（2x-11）=0 x1=-2，x2= 故选：D ． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（　　） A．或1 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键． 设，而，可得，再解一元二次方程即可． 解：设， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不符合题意舍去）； ∴， 故选：C 5．（2025·河北石家庄·二模）关于的一元二次方程中，，则该方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意可得，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系得到两根之积为，两根之和为，据此可得答案． 解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴两根之积为，两根之和为， ∴方程的两个实数根为一正一负， ∵， ∴， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 6．（2025·江苏无锡·二模）定义：若，满足，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式，先根据题意得出，联立得出，由一元二次方程根的判别式计算得出，结合反比例函数的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：， 由可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 联立可得：， ∴， ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：D． 7．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）电影哪吒于年月日上映，第一天票房约亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约亿，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，即可得出关于的一元二次方程．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：根据题意得：， 故选：B． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我们知道，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得，从而求出该方程的解为．若方程的解为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握平方根定义，算术平方根定义，二次根式的性质，是解题的关键． 先将一个二次根式移到等号右边，两边同时平方去根号，移项，再平方，直至根号完全去掉，最后解整式方程，注意由于未知数的取值范围扩大，要检验根． 解：∵， ∴， 两边平方，得， ∴， ∴， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴原方程的解为：，． A. ，∴A正确； B. ，∴B不正确； C. ，∴C不正确； D. ，∴D不正确． 故选：A． 9．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． 10．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C、D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长（含），挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A、D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，则绳子最低点I到挡板的距离． 下列选项中正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据旋转与菱形的性质、勾股定理可以求出的长度；如图（3）：过J作于M，连接，然后证明四边形是平行四边形可得长度，求出，再利用三角形面积公式列一元二次方程即可得的长度． 解：如图（2）：设，则， ， ∵挡板长为，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合， ， ∴， ∵四边形为菱形， ， 在中，， ∴，解得：或（舍去） ； 如图（3）：过J作于M，连接， ∵， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， 整理得：，解得：， ， ； ． 故选B． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、利用三角形面积公式得出一元二次方程等知识点，熟练掌握并运用这些性质和添加适当的辅助线是解此题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查配方法的应用，把代入代数式，利用配方法，进行求解即可． 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值等于2； 故答案为：2． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程，它的实数解是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 解：， ， 或， 当， ． 当， 此时方程无解； 故答案为：或． 14．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数满足方程，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，令，则原式为，解方程即可解答，注意方程无实数根的情况是解题的关键． 解：令， 则原式为， 解得， 当时，，方程有实数根， 当时，，方程没有实数根， ， 故答案为：3． 15．（24-25九年级上·广东肇庆·阶段练习）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是： ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点，学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线经过第一、三、四象限，求得，，再利用根的判别式得到，即可得出结论． 解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 16．（2025·江苏苏州·二模）设是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，某中学建立了一个长方形菜园，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为，另外三边用长为的栅栏围成．若要使菜园的面积达到，则的长为 ． 【答案】/10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长应是，则的长为，根据饲养室的面积达到．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：设的长应是，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故答案为：． 18．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 【答案】或1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 解：①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·全国·假期作业）选用适当方法求下列方程的精确解． （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用求根公式法解，，，，则，然后代入公式计算即可； （2）方程两边开方，化为两个一元一次方程． 解：（1）解：（1），，， ， ， ，； （2）方程两边开方，得， 即或， 解得，． 【点拨】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为：；用求根公式求解时，先要把方程化为一般式，确定，，的值，计算出△，然后代入公式．也考查了用直接开平方法解一元二次方程． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 解：（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； 由（1）可知：， ∴． 21．（本小题满分10分）（2023·浙江杭州·三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作，，再以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示和，我发现是一元二次方程的一个根，琮琮说一定不是此方程的根． （1）写出与表示的数 （2）求出的值 （3）你认为琮琮说的对吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）琮琮说的不对，理由见详解 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，再根据，利用点的平移即可得出结果； （2）把代入一元二次方程，即可得出结果； （3），求出一元二次方程的解，即可得出结论． 解：（1） 解：， 在中，， 以A为圆心，为半径画圆，交数轴于D、E两点， ， ； （2）解：是一元二次方程的一个根， ， 解得：； （3）解：琮琮说的不对，理由如下： ，则一元二次方程为， 解这个方程得： 而，即一定是此方程的根， 故琮琮说的不对． 【点拨】本题考查了一元二次方程的定义及解法，勾股定理，点的平移与点的坐标之间的关系，本题的关键是理解一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解法． 22．（本小题满分10分）（2025·辽宁铁岭·二模）某公司推出一款日用产品，成本为8元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克）是关于销售单价x（单位：元）的一次函数，销售单价为15 元时，日销量为190千克，销售单价为20元时，日销量为140 千克. （1）求y关于x的函数表达式．（不要求写出自变量x的取值范围） （2）若要每天盈利1200元，且销售单价不得高于22元，则销售单价应为多少元? 【答案】（1）y关于x的函数表达式为；（2）销售单价应为14元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一元二次方程的应用，解题的关键是理清题中的数量关系． （1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出函数表达式； （2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出一元二次方程，求解即可． 解：（1）解：设y关于x的函数表达式为， 把代入得， ， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设销售单价应为x元,根据题意得： ， 解得，，， ∵销售单价不得高于22元，即， ∴， ∴销售单价应为14元． 23．（本小题满分10分）（2023·河北沧州·模拟预测）如图，数轴上有三点A、B、C，点A表示的数，点A向左平移两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C． （1）直接写出点B、C对应的数b、c的值； （2）计算：的值； （3）已知m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值为． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据数轴直接写出b、c的值即可； （2）将a、b、c的值代入求出结果即可； （3）把，，代入方程得：，把代入方程，得，求出，把变形，整体代入求出结果即可． 解：（1）解：∵点A表示的数，点A向左平移两个单位长度到达点B，向右平移3个单位到达点C， ∴，． （2）解： ； （3）解：把，，代入方程得：， 把代入方程，得， 即， ∴， ∴ ． 【点拨】本题主要考查了代数式求值，方程解的定义，数轴上点的特点，解题的关键是根据数轴求出，，． 24．（本小题满分12分）（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． （1）求的值； （2）若，求点坐标； （3）双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可； （2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可； （3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案. 解：（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 将代入正比例函数中， 得， 解得：； （2）解：∵在直线上， 设， ∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点． ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； （3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为， ∴， 如图， 由旋转可得：，， 过作轴于，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴在的图象上； 由反比例函数是中心对称图形可得：， ∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或. 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$