专题1.4（2） 用一元二次方程解决问题（分层专项练习）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.4（2） 用一元二次方程解决问题（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是x，则十位上的数字是，根据题意列一元二次方程，解方程即可． 解：设个数上的数字是x，则十位上的数字是， 由题意得，， 整理得，， 解得，（舍去）， 个数上的数字是4，十位上的数字是， 这个两位数是84， 故选B． 2．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，找出等量关系，列出方程即可． 解：根据题意得， 故选：C． 3．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 4．（2025·云南昆明·模拟预测）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色（单位：）纸边宽度相同），则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可． 解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：B． 5．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过（　　）小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案 解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得： BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm， 因为BC2+DC2＝BD2， 则（10﹣16x）2+（12x）2＝62， 解得：x1＝x2＝0.4． 答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km． 故选A． 【点拨】此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 6．（2025·河南驻马店·二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设该小组有人，每两个同学都相互赠送一张卡片，即一个人送出张，依题意列方程，计算即可． 解：设该兴趣小组的人数为人，则每个同学需送出张卡片， 依题意，得：． 解得或（舍去）， 即该小组一共有18名成员， 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程． 解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 由题意，得，即， 故选C． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张， ∴总共送的张数应该是张 即 故选：C 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：， 去分母，方程的两边同时乘以得： 移项合并同类项得，， ∴ ∴或 解得， 检验：将代入；将代入，应舍去； ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的售价=原售价每次降价的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得： （不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为． 故答案为：． 11．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 【答案】7 【分析】本题考查了图形规律的探究和一元二次方程的解法，第1个图形中小圆的个数为；第2个图形中小圆的个数为；第3个图形中小圆的个数为；…；则知第n个图形中小圆的个数为；假设存在第x个图的小圆个数为60，列方程为，再解方程即可． 解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ∴第n个图形有小圆个， 设第x个图中小圆的个数恰好为60个，根据题意得 解得（不符题意，舍去） 所以，第7个图中小圆的个数恰好为60个． 故答案为：7． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 解：设每次打了折， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 每次打了9折． 故答案为：9． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 14．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离为1尺，将它往前水平推送10尺，即尺，此时秋千踏板离地的距离与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索长为尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程得，即可得到答案． 解：根据题意列方程得， 故答案为：． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25八年级下·上海·期末）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘以可得一个关于的一元二次方程，利用因式分解法解方程可得的值，然后进行检验即可得． 解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 合并同类项，得，即， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，和都是分式方程的解， 所以方程的解为或． 16.（8分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 【答案】（1）；；（2）单价定为8元/千克 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1），根据单件利润等于原来利润加上提价得出代数式，再根据每天卖出的质量减去少卖出的质量得出代数式即可； （2），结合（1），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解，根据题意舍去不符合题意的解，此题可解． 解：（1）解：该水果每千克的利润是（元）；每天可以卖出水果（千克）. 故答案为：；； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， 让利于顾客， ， 故单价为8元． 答：单价定为8元/千克． 17.（8分）（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 18.（8分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． （1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】（1）；（2）场地的宽为8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可； （2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可 解：（1）解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【答案】B 【分析】设每件工艺品需降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 解：设每件工艺品需降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要使顾客尽量得到优惠， ， 要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价6元， 故选：B． 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（24-25八年级下·山东烟台·期中）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（   ） A．10尺 B．12尺 C．2尺或10尺 D．12尺或10尺 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，解方程，即可求解． 解：设竿长为尺，则为尺，为尺， 根据题意得：． 解得：（舍去）或 故选：A． 22．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 五、填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 24．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，在每轮传染中，平均一个人传染的人数为 ． 【答案】11 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式表示出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上表示出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得， ， 解方程，得（舍去）． 故答案为：11． 25．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动．设运动时间为t，当时，时间 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为，设运动时间为秒，用表示线段长，用勾股定理列方程求解． 解：当运动时间为t时，， 过点P作于点H， ∴四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 26．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键． 解：设降低x元，由题意得出: ， 整理得：， 解得：． ∴． 即：第二周的销售价格为9元． 故答案为：9． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，根据“2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出，根据“销售额成本利润”，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为． （2）解：设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出， ， 解得，（舍）， 答：需将“阳光玫瑰”储藏10天后一次性售出． 28.（12分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． （1）完成上面填空； （2）化简：； （3）根据以上方法化简：__________． 【答案】（1）2或0；2；（2）2；（3） 【分析】本题主要查了解一元二次方程，分式方程，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）仿照（1）解题方法解答，即可； （3）设，仿照（1）解题方法解答，即可． 解：（1）解：设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，即， ∴， ∴或0． ∵， ∴； 故答案为：2或0；2 （2）解：设 两边平方得 又， 所以，移项得， 所以， 即， ∴或， ∴或． ∵， ∴； （3）解：设， 两边同时减1，得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是方程的根， ∵， ∴． 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4（2） 用一元二次方程解决问题（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（    ） A．26 B．84 C．48 D．62 2．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·一模）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 4．（2025·云南昆明·模拟预测）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长，宽的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为（风景画四周的金色（单位：）纸边宽度相同），则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（18-19八年级下·全国·单元测试）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过（　　）小时，甲、乙两人相距6千米？ A． B． C．1.5 D． 6．（2025·河南驻马店·二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即送给一张，也送给一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 7．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解为 ． 10．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 11．（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第 个图． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 14．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，大致意思为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离为1尺，将它往前水平推送10尺，即尺，此时秋千踏板离地的距离与身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索长为尺，则可列方程为 ． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25八年级下·上海·期末）解方程： 16.（8分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）设提价x元，则该水果每千克利润是_______元，每天可以卖出水果_______千克．（用含x的代数式表示） （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，则单价应定为多少？ 17.（8分）（2021九年级·全国·专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 18.（8分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． （1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 第二卷【拓展培优】 3、 选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 21．（24-25八年级下·山东烟台·期中）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”．其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图所示，所求竿长为（   ） A．10尺 B．12尺 C．2尺或10尺 D．12尺或10尺 22．（22-23八年级下·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 4、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 24．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，在每轮传染中，平均一个人传染的人数为 ． 25．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动．设运动时间为t，当时，时间 ． 26．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 28.（12分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． （1）完成上面填空； （2）化简：； （3）根据以上方法化简：__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$