专题2.4（2） 有理数的乘方（分层专项练习）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.4（2） 有理数的乘方（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·吉林长春·二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）表示（   ） A．2乘以 B．2个相加 C．3个相加 D．3个相乘 3．（24-25九年级下·湖北襄阳·期中）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 6．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 7．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 8．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①没有平方得的数； ②是负数； ③是正数； ④任何一个小于的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 10．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 11．（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 12．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）计算 ； ． 13．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 14．（24-25七年级上·山东德州·期末）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2表示孩子出生后的天数是 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（23-24七年级上·广东湛江·阶段练习）已知，求和． 16.（8分）（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知下列七个数：，，，，，0，． （1）下面的大括号表示一些数的集合，把各数填入相应的大括号内； 负数集合：｛         …｝ 分数集合：｛         …｝ （2）请用“<”号把所有的数按从小到大的顺序连结起来． 17.（8分）（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． （1）填空：______； （2）计算：． 18.（8分）（21-22七年级上·辽宁大连·期末）观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． （1）第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； （2）第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·全国·期中）在，，，，，，，2.1中，非负数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 21．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A． B． C． D． 22．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（    ） A．512 B．64 C．128 D．−512 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 25．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 26．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知有理数a，b，c，d都不等于0，且的最大值是m，最小值是n，则 ． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25七年级下·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． （1）______； （2）请你计算： 28.（12分）（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： （1）第一组的第八个数是______． （2）分别写出第二组和第三组的第个数______，______． （3）取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4（2） 有理数的乘方（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·吉林长春·二模）截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 解：148亿． 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）表示（   ） A．2乘以 B．2个相加 C．3个相加 D．3个相乘 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据即可得解，掌握乘方的意义是解此题的关键． 解：，故表示3个相乘， 故选：D． 3．（24-25九年级下·湖北襄阳·期中）下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方的运算规则，需逐一计算各选项的结果，判断是否为负数，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：A、，是正数，故不符合题意； B、，是正数，故不符合题意； C、，是负数，故符合题意； D、，是正数，故不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 5．（2025·广西柳州·三模）“结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（   ） A．186 B．185 C．184 D．183 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键． 解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为， 故选：D． 6．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①没有平方得的数； ②是负数； ③是正数； ④任何一个小于的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握平方数具有非负性是解题的关键． 根据平方数逐项判断即可． 解：①（为任意有理数），所以没有平方得的数，故正确； ②若，则，既不是正数也不是负数，故错误； ③若，则，既不是正数也不是负数，故错误； ④例如，，故错误； 故说法正确的是①，有1个， 故选：A． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 解：， 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 解：； 故答案为： 12．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）计算 ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查了有理数乘方运算，多重符号化简，先化简中括号里面的，括号里面的应该当做一个整体，优先计算． 解：； ． 故答案为：，． 13．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 14．（24-25七年级上·山东德州·期末）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2表示孩子出生后的天数是 【答案】509 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，解题关键是根据图中的点列式计算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即可求解． 解：， 故答案为：． 三、解答题（4题共计30分） 15.（6分）（23-24七年级上·广东湛江·阶段练习）已知，求和． 【答案】， 【分析】先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入所给代数式计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点拨】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 16.（8分）（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知下列七个数：，，，，，0，． （1）下面的大括号表示一些数的集合，把各数填入相应的大括号内； 负数集合：｛        …｝ 分数集合：｛        …｝ （2）请用“<”号把所有的数按从小到大的顺序连结起来． 【答案】（1），，；，，；（2） 【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值，有理数的乘方运算，掌握有理数的大小比较方法，相反数定义，绝对值的性质，有理数的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据负数，分数定义解答即可； （2）根据有理数的大小比较方法解答即可． 解：（1）解：负数集合∶； 分数集合∶． 故答案为∶ ，，；，，． （2）解∶，， 则用“”号把所有的数按从小到大的顺序连结起来为： 17.（8分）（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． （1）填空：______； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 解：（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 18.（8分）（21-22七年级上·辽宁大连·期末）观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的，通过你发现的规律，解决下列问题． （1）第①行的第8个数是_________，第n个数是_________； （2）第②行的第n个数是_________，第③行的第n个数是_________； （3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】（1）；；（2）；；（3） 【分析】（1）不难看出奇数项是正数，偶数项是负数，其数字部分是，据此进行作答即可； （2）第②行的数是第一行对应的数减去2，第③行的数是第①行对应的数除以，据此即可求解； （3）根据（1）（2）的规律，写出每行的第10个数再相加即可． 解：（1）解：∵∴第①行的第8个数是， 第n个数是； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴第②行的第n个数是； ∵， ∴第③行的第n个数是； 故答案为：；； （3）解：根据题意得：第①行的第10个数是，第②行的10个数是，第③行的第10个数是， ∴这三个数的和为 【点拨】本题主要考查数字的变化规律，有理数的乘方，解答的关键是分析清楚所存在的规律． 第二卷【拓展培优】 四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 19．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的位数有关．首先把展开可得，用科学记数法表示需要把小数点向左移动位，所以的指数为． 解：， ． 故选：A． 20．（24-25七年级上·全国·期中）在，，，，，，，2.1中，非负数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，非负数，先根据有理数的乘方、相反数、绝对值化简，然后根据非负数指正数和0判断即可，熟练掌握运算法则及定义是解题的关键． 解：， ， ， ， ， ， 非负数有：，，， ，共4个， 故选：． 21．（24-25七年级上·云南文山·期中）按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 把代入程序中计算得到结果，判断大于输出即可． 解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为， 故选：． 22．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（    ） A．512 B．64 C．128 D．−512 【答案】D 【分析】根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，求出相关式子的值，代入计算即可． 解：根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得，，即， 因为， 所以四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为9，每个三角形的三个顶点上的数字之和与中间正方形四个顶点上的数字之和都为3， ，即 ， 故选：D． 【点拨】本题考查了有理数运算和等式的性质，解题关键是根据题目信息列出等式，求出相关式子的值． 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（24-25七年级上·山东济宁·期中）比较大小： （填或）． 【答案】< 【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可． 解：，， ∵， ， ． 故答案为：． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴的特点、绝对值的性质及有理数的乘方等知识点，根据题意得到点表示的数，然后代入求解即可，解答此题的关键是利用数轴的特点，数形结合判断出的取值范围. 解：点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向左直爬3个单位到达点， ∴点B所表示的数， ， 故答案为：6． 25．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 解：令， 则， 得：， ∴， 故答案为：； 26．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）已知有理数a，b，c，d都不等于0，且的最大值是m，最小值是n，则 ． 【答案】784 【分析】首先由正数大于零大于负数得到当，，，时有最大值，进而求出m，得到当，，，时有最小值，进而求出n，然后代入求解即可． 此题考查了绝对值的意义，有理数的乘法和乘方等运算，解题的关键是掌握绝对值的意义． 解：∵正数大于零大于负数 ∵ ∴当，，，时， ∴ ∴有最大值， 此时， ∴； ∴当，，，时， ∴， ∴有最小值， 此时 ∴； ∴． 故答案为：784． 六、解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25七年级下·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． （1）______； （2）请你计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可． 解：（1）解：， ， 故答案为：； （2），， ． 28.（12分）（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下列按一定规律排列的三行数： ，4，，16，，64，…； 1，7，，19，，67，…； 1，，7，，31，，…； 解答下列问题： （1）第一组的第八个数是______． （2）分别写出第二组和第三组的第个数______，______． （3）取每行数的第个数，是否存在的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出的值？若不存在，请说明理由． 【答案】（1）256；（2），；（3）不存在m的值，使这三个数的和等于514 【分析】本题考查规律型−数字变化类问题，有理数的运算等知识点， （1）根据第一组对应的数为的序数次幂的规律即可得解； （2）根据第二组的数比第一组对应的数大3，第三组的数的规律为即可得解； （3）根据规律构建方程即可解决问题； 熟练掌握探究的规律是解决此题的关键． 解：（1）观察知，第一组第一个数为， 第一组第二个数为， 第一组第三个数为， 第一组第四个数为， ∴第一组第n个数为， ∴第一组的第8个数分别是， 故答案为：256； （2）观察知，第二组第一个数为， 第二组第二个数为， 第二组第三个数为， 第二组第四个数为， ∴第二组第n个数为， 观察知，第三组第一个数为， 第三组第二个数为， 第三组第三个数为， 第三组第四个数为， ∴第三组的第n个数， 故答案为：，； （3）由题意知， ∴， ∵， ∴不存在m的值，使这三个数的和等于514． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$