专题2.4（1） 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版）

专题2.4（1） 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识储备梳理归纳与题型目录】 一、【目标要点】 （1）识记有理数乘方的定义及相关概念； （2）掌握有理数乘方的符号规律； （3）掌握科学记数法； （4）难点与易错点：底数是负数和分数，底数要加括号；对于有理数乘方的逆运算，不能灵活运用. 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【题型一】有理数幂的概念理解（题型：底数、指数、幂的识识；幂的书写规则） 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习） （1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【变式1】（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【变式2】（21-22七年级上·河北承德·期末）表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【题型二】有理数的乘方运算（易错点：乘方中的符号问题与乘方意义的理解） 【例题2】（24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）在，，，，，中，负数有 个． 【题型三】有理数乘方逆运算（易错点：忽视分类讨论） 【例题3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【变式1】（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【知识储备2】有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 【题型四】乘方运算的符号规律（符号规律问题+探究循环规律问题） 【例题4】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式2】（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． （1）计算的值； （2）计算的值； （3）猜想与的关系． 【题型五】乘方的应用（探究我国古代数学问题） 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，…，文中的鸟巢共有（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第10天截取后木棍剩余的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 【知识储备3】科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例题6】（24-25七年级上·吉林长春·期中）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截至2024年1月的参数量已经超过200亿．将200亿用科学记数法表示为 ． 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有 个零． 【变式2】（2025·河北邢台·三模）一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考 【例题1】（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义） 【例题1】（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【例题2】（2023七年级上·全国·专题练习）已知，，则 的3次方等于2924207（填写正整数）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4（1） 有理数的乘方（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识储备梳理归纳与题型目录】 一、【目标要点】 （1）识记有理数乘方的定义及相关概念； （2）掌握有理数乘方的符号规律； （3）掌握科学记数法； （4）难点与易错点：底数是负数和分数，底数要加括号；对于有理数乘方的逆运算，不能灵活运用. 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【题型一】有理数幂的概念理解（题型：底数、指数、幂的识识；幂的书写规则） 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习） （1）在中，底数是 ，指数是 ； （2）在中，底数是 ，指数是 ，意义是 ． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 【变式1】（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 解：∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 【变式2】（21-22七年级上·河北承德·期末）表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【答案】B 【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可． 解：根据有理数幂的概念可得， 表示4个的积． 故选：B． 【点拨】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念． 【题型二】有理数的乘方运算（易错点：乘方中的符号问题与乘方意义的理解） 【例题2】（24-25六年级上·上海·期中）请先写出、、的相反数，并在数轴上表示出这些数及其相反数．（规定：以为一个单位） 【答案】相反数为，相反数为，的相反数为，数轴见分析 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，相反数定义，用数轴上的点表示相反数，先求出各个数，然后写出相反数，再把各个数表示在数轴上即可． 解：，相反数为， ，相反数为， 的相反数为， 把各个数表示在数轴上，如图所示： 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查的是非负数的性质，先依据非负数的性质求得a、b的值，然后再代入求解即可． 解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）在，，，，，中，负数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负的定义，有理数的乘方运算，化简绝对值等知识，先计算有理数的乘方运算，化简绝对值，然后再根据正负数的定义判定即可． 解：，；，；， 在，，，，，中，负数有，，，一共3个， 故答案为：3． 【题型三】有理数乘方逆运算（易错点：忽视分类讨论） 【例题3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，利用有理数的乘方的运算法则是解题的关键．将写成的形式进行计算即可． 解：原式 ． 故选：D． 【变式1】（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识储备，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 解：∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 【知识储备2】有理数乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 【题型四】乘方运算的符号规律（符号规律问题+探究循环规律问题） 【例题4】（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点拨】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【变式2】（22-23七年级上·山东济南·期末）记：，，，…，． （1）计算的值； （2）计算的值； （3）猜想与的关系． 【答案】（1）；（2）0；（3）互为相反数 【分析】（1）根据已知算式即可求解； （2）观察已知算式发现规律即可求值； （3）分两种情况讨论，当为奇数和偶数时，为偶数和奇数，进而可以说明． 解：（1）解：（1）， ， ， ， 的值为：； （2）的值为： ； （3）与的关系：互为相反数的关系．理由如下： ， ， 当为奇数时，为偶数， 与互为相反数； 当为偶数时，为奇数， 与互为相反数； 所以与的关系：互为相反数的关系． 【点拨】本题考查了规律型数字的变化类，解决本题的关键是观察已知条件寻找规律并运用规律． 【题型五】乘方的应用（探究我国古代数学问题） 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢…”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，…，文中的鸟巢共有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方．由题意得出算式，求解即可． 解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第10天截取后木棍剩余的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，按照此规律进行解答即可． 解：由题意可知：第一天截取后木棍剩余长度为：； 第二天截取后木棍剩余长度为：； 第三天截取后木棍剩余长度为：； …， n天截取后木棍剩余长度为：， ∴第10天截取后木棍剩余长度为：， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·江西赣州·期末）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制数转化为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据二进制数转化为十进制数的方法，可以将表中“坎”用十进制数表示． 解：由题意可得， ， 故答案为： 2． 【知识储备3】科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数 【题型六】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例题6】（24-25七年级上·吉林长春·期中）钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将4400000写成其中，n为整数的形式即可． 解：． 故选C． 【变式1】（2025·江西新余·三模）据商务部消息，年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至月日，今年全国 电动自行车售旧、换新各万辆，超过年总和．数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 解：万， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）是一种基于深度学习的自然语言处理模型，它的参数量巨大．截至2024年1月的参数量已经超过200亿．将200亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答． 解：200亿， ∴200亿用科学记数法表示为， 故答案为：． 【题型七】将用科学记数法表示的数变回原数 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为平方米，则原数为 万平方米． 【答案】792 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为为正整数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据科学记数法表示形式解答即可． 解： 平方米，则原数为792万平方米． 故答案为：792． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）是人工智能研究实验室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达个模型参数．用科学记数法表示为时的原数的1后面有 个零． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法把数据还原，然后可得答案． 解：∵， ∴原数的后面有个， 故答案为： 【变式2】（2025·河北邢台·三模）一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型八】直通中考 【例题1】（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 【例题2】（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可完成作答． 解：957.2亿， 故答案为：． 【题型九】拓展延伸（有理数加减运算中的新定义、规律问题、绝对值几何意义） 【例题1】（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 【例题2】（2023七年级上·全国·专题练习）已知，，则 的3次方等于2924207（填写正整数）． 【答案】143 【分析】先确定是奇数，再确定这个数的个位数是3，再根据，，得：，从而得结论． 解：∵偶数的正整数次方都是偶数， ∴这个数是奇数． 又，，，，， ∴满足3次方等于2924207的数的个位数字为3， ，， ，， ， ∴这个数比140大，比150小， ∴这个数是143， 即的3次方等于2 924 207． 故答案为：143． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$