专题02 绝对值的压轴问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

**基本信息** 以“几何意义+非负性质”为双核心，通过“通法-题型-挑战”三阶体系，构建“翻译-转化-验证”闭环解题逻辑，强化数形结合与非负性应用的能力迁移，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心方法论|三大核心（几何距离/非负性质/数形转化）+两条底线原则|从概念本质到解题准则，奠定思维基础| |题型一（几何意义）|典例1+3变式|四步解题法（翻译距离/数形转化/几何求解/验证结果）+易错提醒|以数轴距离为模型，实现代数符号与几何直观的转化| |题型二（非负性应用）|典例2+3变式|四步解题法（识别非负项/构建等式/求解验证/分类讨论）+底线原则|紧扣非负本质，建立“非负项和为0则各项为0”的推理链条| |压轴挑战|18道综合题|综合应用与思维突破|整合核心方法，提升复杂情境下的问题解决能力|

专题02 绝对值的压轴问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的几何意义 题型二、绝对值的非负性的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值压轴问题是初中数学七年级代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“几何距离、非负性质、数形转化”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是几何意义翻译必须精准对应数轴距离，二是非负性应用必须验证取等条件与隐含约束。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的几何意义 典例1 已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故 题型模版 一、 题型特征 题干涉及数轴上点与点之间的距离、绝对值表达式的几何含义、动点距离问题或最值求解。核心特征为“数形结合、距离转化、直观求解”，需将代数符号转化为数轴上的线段长度，利用几何直观突破代数运算的繁琐，严禁脱离数轴纯代数硬算。 二、 解题方法 -   翻译距离：将|x-a|准确翻译为数轴上点x与点a之间的距离，明确定点与动点，标注数轴上的对应位置。 -   数形转化：将多个绝对值之和/差转化为数轴上动点到多个定点的距离之和/差，画出数轴示意图，直观呈现距离关系。 -   几何求解：利用“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等几何性质确定最值或取值范围，避免复杂分类讨论。 -   验证结果：将求得的结果代入原式或数轴验证，确保距离关系与代数结果一致，避免几何直观导致的误差。 三、 易错提醒 -   翻译错误：将|x-a|误认为点a到原点的距离，翻译时必须明确“动点x到定点a”的距离关系。 -   忽略数轴：纯代数运算导致分类讨论遗漏或计算错误，必须画出数轴辅助分析，数形结合是核心解题手段。 -   几何性质误用：混淆“距离之和”与“距离之差”的几何意义，如将|x-a|+|x-b|的最小值误用三角形两边之差，需准确对应几何模型。 -   验证缺失：几何直观求解后未代数验证，如最值点是否在定义域内、距离关系是否成立，验证是确保结果正确的必要步骤。 变式1-1我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 变式1-2的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【点睛】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 变式1-3【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【分析】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【详解】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 类型二、绝对值的非负性的应用 典例2 若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，熟知绝对值的几何意义是解题的关键．根据所给等式，对x和y的部分分别求出最小值即可解决问题． 【详解】解： ， 则含x的部分为， 由, ,得，， ， 当时，取得最小值，最小值为2； 含y的部分为， 由, , 得，， ， 当时，取得最小值，最小值为， 则， M的最小值为． 故答案为：． 题型模版 一、 题型特征 题干呈现多个绝对值、平方或算术平方根的和/差等于0的形式，或要求利用非负性求字母取值、化简代数式、判断结论正误。核心特征为“非负项之和为0则各项均为0”“|a|≥0恒成立”，解题需紧扣非负性本质，将抽象符号转化为具体等式或不等式，严禁脱离非负性直接去绝对值符号或忽略隐含条件。 二、 解题方法 识别非负项：准确找出题干中所有绝对值、平方、算术平方根等非负项，明确其非负性前提，标注变量与常数。 构建等式/不等式：若多个非负项之和为0，则每个非负项均为0，列出对应等式组；若利用非负性求取值范围，则根据|a|≥0或|a|+|b|≥|a+b|等性质构建不等式。 求解验证：解出字母取值或化简结果后，代入原式验证是否满足非负性条件，确保结果合规，避免增根或漏解。 分类讨论：涉及字母取值范围化简绝对值时，需根据非负性确定字母正负，分情况去绝对值符号，每种情况均需验证是否符合前提条件。 三、 易错提醒 非负项遗漏：忽略平方、算术平方根等非负项，仅关注绝对值，导致等式构建错误，识别时需全面排查所有非负形式。 等式构建错误：多个非负项之和为0时，误认为只需部分项为0，必须明确“所有非负项均为0”的核心逻辑。 验证缺失：求解后未代入原式验证，如忽略|a|=0时a=0的隐含条件，或化简结果不满足非负性前提，验证是必做步骤。 分类讨论不全：化简绝对值时未根据非负性完整划分取值范围，或讨论后未验证每种情况的合理性，导致结果遗漏或错误。 四、 解题底线原则 非负性优先：所有解题步骤必须以非负性为核心依据，严禁脱离非负性直接运算或套用公式。 结果合规检验：所有字母取值、化简结果、判断结论均需代入原式验证非负性，确保结果符合题干隐含条件，避免无效解。 本专题解题需始终围绕非负性本质，坚守两条底线，通过“识别-构建-验证”的闭环思维，将抽象非负性转化为具体可操作的解题步骤，避免陷入符号混淆或条件遗漏的误区。 变式2-1已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 变式2-2设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． 变式2-3若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，正确求解是解决此题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，在数轴上找原点，绝对值的几何意义，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 根据题意设相邻两点之前的距离为，分别分析原点在不同位置时、、的取值范围，再结合来判断各个选项即可求解． 【详解】解：设， 若原点在上，则，，， 与不符， 原点不可能在上，故C、D选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，与不符， 原点不可能在上，且较接近点，故A选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，可能与相符， 原点可能在上，且较接近点，故B选项符合题意； 故选：B 2．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 3．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为、、，．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间（靠近点B） D．点的右边 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义．根据“绝对值表示数轴上一个点与原点的距离”判断即可． 【详解】解：A、原点在点的左边时，此时，不符合题意； B、原点在点与点之间时，，，因为，所以，不符合题意； C、若原点在线段中点的左边，则，，此时，不符合题意； D、原点在点的右边时，，则，符合题意； 故选：D． 4．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据 的值始终保持不变，可知，所以可得：，又因为，可得：，等式两边同时除以即可得到． 【详解】解： 的值始终保持不变， ， ， 又 ， ， ． 故选：A． 5．设n个有理数满足，且，则n的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、和式子的规律，发现规律是解决问题的关键． 由题意得， ，因为，所以，试取，是否满足题意 【详解】解： ， 则， ． ． 当时，构造个正数和个负数，每个数的绝对值为 (小于1)．此时绝对值之和，代数和， 则， 满足． 故答案为：． 6．a、b是整数，且满足，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，首先根据分情况讨论，可以分成三种情况；（1）；（2）；（3），再根据条件a、b是整数分别讨论即可． 【详解】解：∵a、b是整数， ∴均为整数， ∵，，且， ∴①，则：或；满足题意； ②，不存在两个整数满足题意； ③，则，此时也不存在两个整数满足题意； 综上：； 故答案为：0． 7．已知整数满足，则的值为____________． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 8．设，其中，则的最小值为 _______． 【答案】20 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．理解绝对值的定义以及数轴上两点间的距离的计算方法是正确解答的前提． 【详解】解：由于，其中， ， 当时，的值最小， 此时， 故答案为：20． 9．的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 10．的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值 ， 故答案为：． 11．下列说法中，正确的是_______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为； ③若，则是负数； ④，，三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查绝对值的性质、代数式的最大值、数轴上点的位置关系等知识，需要逐一分析每个说法的正确性． 【详解】解：①由绝对值的非负性可知，，则， ， 又 ， ，故① 正确； ② ， ， 当时取最大值，故②正确； ③ ， 或， ，或，， 为正数，不是负数，故③错误； ④数轴上三点 、、 相邻距离相等时，可能为、 或 ，不一定只有 ，故④错误； 故答案为：① ②． 12．已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意易得，将原式整理后解得的值即可． （2）由绝对值的性质可得，将的值代入解得的值，然后代入中计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴等式可化为， 解得． （2）解：∵， ∴， 即， 解得， 则． 【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 13．在数轴上A点表示数，B点表示数，C点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1)填空：___________，___________，___________； (2)画出数轴，并把A，B，C三点表示在数轴上； (3)是数轴上一动点，点表示的数是，当时，求． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)x的值是0或2． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点之间的距离和绝对值几何意义等，熟练掌握相关知识点， 利用绝对值的意义表示线段的长是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a、c的值，根据有理数的概念求出b的值； （2）根据数轴的定义画图并表示即可； （3）利用数轴确定、、的长，结合数轴分析得出当点P在线段外时，的值会大于10，不符合题意； 当点P在线段上时，，，可得，从中求出x的值即可． 【详解】（1）是最小的正整数， ， ，，， ，， 解得，， ，，， 故答案为：；；． （2）画出数轴如图所示： （3）由（2）知，，，， 当点P在线段外时，的值会大于10，不符合题意； 当点P在线段上时，，， 由，得， 整理得， 或， 解得或． 当时，x的值是0或2． 14．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 【答案】（1）①，小，；②，大，5；（2）或 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，绝对值的意义，分类讨论等知识与方法，掌握这些知识与方法是解题的关键； （1）①由绝对值的非负性质即可求解； ②由绝对值的非负性质即可求解； （2）由可得，则原式可化为；不妨假设，分两种情况：；，即可求解． 【详解】解：（1）①由于，则， 当时，， 此时当时，的值最小，最小值为； 故答案为：，小，； ②由于，则，， 当时，， 此时当时，的值最大，最大值为； 故答案为：，大，5； （2）由，得， 原式； 不妨假设， 由于，则，， 分两种情况： 当时； 原式 ； 当时， 原式 ； 综上，的值为或． 15．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 16．综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 【答案】（1）7，11；（2）7或；（3）4或；（4）小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁 【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，数轴上两点距离的表示方法：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离； （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是； （2）表示m到2的距离为5，结合数轴即可得出结果； （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，结合数轴即可得出结果； （4）利用爷爷和小明之间年龄差不变，结合数轴即可得出结果. 【详解】解：（1）∵， ∴数轴上表示2和9两点之间的距离是7， ∵， ∴数轴上表示5和的两点之间的距离是11. 故答案为：7，11. （2）表示m到2的距离为5，如图所示： ∵， ∴或， ∴或， ∴到2的距离为5的数是7或， 故m的值为7或. （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，如图所示： ①当时，，即， 解得： ②当时，，即， ∵不成立， ∴当时不成立， ③当时，，即， 解得： 综上：x的值为4或. （4）画出数轴如图所示： 小明现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C则当点C移动到点B时，点B移动到了点A，当点B移动到点C时，点C移动到了点D， ∵爷爷和小明之间年龄差不变，即在数轴上两点之间距离不变， ∴， 又∵爷爷说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁” ∴点A表示，点D，表示98， ∴， ∴（岁），（岁）， 即小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁. 17．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 18．【问题情境】：点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； 【独立思考】：试用数轴探究：当时的值为 ． 【实践探究】：利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】【问题情境】：；；【独立思考】：或；【实践探究】：最小值为；可取的整数为：，，，，，，， 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离的表示方法、绝对值的几何意义，关键是灵活应用知识点解题； 【问题情境】由题干所给公式即可填写；【独立思考】逆向思考：寻找数轴上到的距离是的数即可填写结果；【实践探究】观察数轴寻找到的距离之和最小值的整数即可填写． 【详解】解：【问题情境】∵、两点之间的距离， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为：， 故答案为：；； 【独立思考】∵数轴上到的距离是的数是：， ∴或； 【实践探究】∵数轴上到的距离之和最小的数，且为整数， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值的压轴问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的几何意义 题型二、绝对值的非负性的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值压轴问题是初中数学七年级代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“几何距离、非负性质、数形转化”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是几何意义翻译必须精准对应数轴距离，二是非负性应用必须验证取等条件与隐含约束。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的几何意义 典例1 已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 题型模版 一、 题型特征 题干涉及数轴上点与点之间的距离、绝对值表达式的几何含义、动点距离问题或最值求解。核心特征为“数形结合、距离转化、直观求解”，需将代数符号转化为数轴上的线段长度，利用几何直观突破代数运算的繁琐，严禁脱离数轴纯代数硬算。 二、 解题方法 -   翻译距离：将|x-a|准确翻译为数轴上点x与点a之间的距离，明确定点与动点，标注数轴上的对应位置。 -   数形转化：将多个绝对值之和/差转化为数轴上动点到多个定点的距离之和/差，画出数轴示意图，直观呈现距离关系。 -   几何求解：利用“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等几何性质确定最值或取值范围，避免复杂分类讨论。 -   验证结果：将求得的结果代入原式或数轴验证，确保距离关系与代数结果一致，避免几何直观导致的误差。 三、 易错提醒 -   翻译错误：将|x-a|误认为点a到原点的距离，翻译时必须明确“动点x到定点a”的距离关系。 -   忽略数轴：纯代数运算导致分类讨论遗漏或计算错误，必须画出数轴辅助分析，数形结合是核心解题手段。 -   几何性质误用：混淆“距离之和”与“距离之差”的几何意义，如将|x-a|+|x-b|的最小值误用三角形两边之差，需准确对应几何模型。 -   验证缺失：几何直观求解后未代数验证，如最值点是否在定义域内、距离关系是否成立，验证是确保结果正确的必要步骤。 变式1-1我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 变式1-2 的最小值是________ 变式1-3【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 类型二、绝对值的非负性的应用 典例2 若，则的最小值为_____． 题型模版 一、 题型特征 题干呈现多个绝对值、平方或算术平方根的和/差等于0的形式，或要求利用非负性求字母取值、化简代数式、判断结论正误。核心特征为“非负项之和为0则各项均为0”“|a|≥0恒成立”，解题需紧扣非负性本质，将抽象符号转化为具体等式或不等式，严禁脱离非负性直接去绝对值符号或忽略隐含条件。 二、 解题方法 识别非负项：准确找出题干中所有绝对值、平方、算术平方根等非负项，明确其非负性前提，标注变量与常数。 构建等式/不等式：若多个非负项之和为0，则每个非负项均为0，列出对应等式组；若利用非负性求取值范围，则根据|a|≥0或|a|+|b|≥|a+b|等性质构建不等式。 求解验证：解出字母取值或化简结果后，代入原式验证是否满足非负性条件，确保结果合规，避免增根或漏解。 分类讨论：涉及字母取值范围化简绝对值时，需根据非负性确定字母正负，分情况去绝对值符号，每种情况均需验证是否符合前提条件。 三、 易错提醒 非负项遗漏：忽略平方、算术平方根等非负项，仅关注绝对值，导致等式构建错误，识别时需全面排查所有非负形式。 等式构建错误：多个非负项之和为0时，误认为只需部分项为0，必须明确“所有非负项均为0”的核心逻辑。 验证缺失：求解后未代入原式验证，如忽略|a|=0时a=0的隐含条件，或化简结果不满足非负性前提，验证是必做步骤。 分类讨论不全：化简绝对值时未根据非负性完整划分取值范围，或讨论后未验证每种情况的合理性，导致结果遗漏或错误。 四、 解题底线原则 非负性优先：所有解题步骤必须以非负性为核心依据，严禁脱离非负性直接运算或套用公式。 结果合规检验：所有字母取值、化简结果、判断结论均需代入原式验证非负性，确保结果符合题干隐含条件，避免无效解。 本专题解题需始终围绕非负性本质，坚守两条底线，通过“识别-构建-验证”的闭环思维，将抽象非负性转化为具体可操作的解题步骤，避免陷入符号混淆或条件遗漏的误区。 变式2-1已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 变式2-2设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 变式2-3若与互为相反数，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 2．的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为、、，．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ）    A．点的左边 B．点与点之间 C．点与点之间（靠近点B） D．点的右边 4．如图，数轴上点、表示的数分别是、，；为数轴上一点，其表示的数为，当点在数轴上移动时，若 的值始终保持不变，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 5．设n个有理数满足，且，则n的最小值是_____． 6．a、b是整数，且满足，则____________． 7．已知整数满足，则的值为____________． 8．设，其中，则的最小值为 _______． 9．的最小值为______． 10．的最小值为______ 11．下列说法中，正确的是_______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为； ③若，则是负数； ④，，三点在数轴上对应的数分别是、、，若相邻两点的距离相等，则． 12．已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 13．在数轴上A点表示数，B点表示数，C点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1)填空：___________，___________，___________； (2)画出数轴，并把A，B，C三点表示在数轴上； (3)是数轴上一动点，点表示的数是，当时，求． 14．（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①x满足______时，式子的值最______，为______； ②x满足______时，式子的值最______，为______； （2）已知若，则，即，若，则，即，如果x、y、z是有理数，且，时，直接写出的值为______． 15．阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 16．综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 17．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 18．【问题情境】：点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； 【独立思考】：试用数轴探究：当时的值为 ． 【实践探究】：利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $