精品解析：辽宁省锦州八中2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年辽宁省锦州八中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 5. 在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 6. 某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高米，气温下降，现测得山脚下的气温为，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题包括5道小题，每题2分，共10分） 11. 若，，则的值为________． 12. 将点向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到对应点坐标是_______． 13. 定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有________个． 14. 如图，在中，边垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 15. 如图，在直角坐标系中，点，点，若动点P从坐标原点出发沿y轴正方向匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值_______． 三、计算题（本大题包括2道题，第16题8分，第17题10分，卷面分2分，共20分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式（组），并将解集数轴上表示出来． （1）； （2）． 四、画图题（18题6分） 18. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后得到对应，请画出； （2）画出与关于原点O成中心对称的； （3）绕着某点顺时针旋转一定的角度后得到，点A、B、C的对应点分别是、、，若点和点坐标分别为、，则旋转中心坐标为______． 五、阅读理解题（19题6分） 19. 阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． （2）若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； （3）若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 六、解答题（本大题共4个题，20题8分，21题8分，22题10分，23题12分） 20. 如图，为角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若，求的长度． 21. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． （1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ 22. 如图，在中，，，点D在边上，连接． （1）如图1，，，求的长； （2）如图2，过D向下作，且，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过D作交于点F； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过E作交的延长线于点G． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （3）如图5，过点D向上作，且，点H为的中点，连接，猜想，，之间的数量关系． 23. 如图与为等边三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，射线与直线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在，上，试探索和的数量关系并说明理由； （2）如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，，，三条线段之间的数量关系； （3）点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省锦州八中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题包括10道小题，每题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 2. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A不符合题意； B．∵， ∴，故B符合题意； C．∵， ∴，故C不符合题意； D．∵， ∴，故D不符合题意． 故选：B． 3. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是乘法运算，则A不符合题意； B、中等号右边不是积的形式，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形各特殊交点的性质，需找到到三个顶点距离相等的点以保证游戏公平．游戏公平要求凳子到三名小朋友（位于三角形顶点）的距离相等．根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．因此，三角形三边垂直平分线的交点（外心）到三个顶点的距离相等；而角平分线交点（内心）到三边距离相等，中线交点（重心）到顶点距离与到对边中点距离成比例，高的交点（垂心）位置不固定，均不满足到顶点等距． 【详解】解：A选项：根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故A选项不符合题意； B选项：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离不一定相等，故B选项不符合题意； C选项：三角形三条高的交点的位置与三角形的形状有关，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故C选项不符合题意； D选项：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，为使游戏公平，凳子应放在三角形的三条边的垂直平分线的交点 上，故D选项符合题意． 故选：D． 6. 某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高米，气温下降，现测得山脚下的气温为，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组的应用，解题的关键在于逐步分析题意，能够正确书写不等式． 由山区海拔每升高米，气温下降，则山区海拔每升高米，气温下降，根据题意列出不等式组即可． 【详解】解：∵山区海拔每升高米，气温下降， ∴山区海拔每升高米，气温下降， ∴海拔高度为米的山区较适宜的温度应为， 故选：． 7. 如图，将绕点B旋转到的位置，点A在边上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．观察函数图象得到，当，函数的图象都在函数图象的下方，即可得到关于x的不等式的解集． 【详解】解：由图象可知两直线的交点P的横坐标为，且当，函数的图象都在函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：B． 9. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴周长最短， 故选：A． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，同理，据此可对结论①进行判断；②先根据角平分线的定义得，，进而得，然后根据即可对结论②进行判断；③过点作于，于，连接，根据角平分线的性质得，，由此可得，据此可对结论③进行判断；④由③得，则，，进而得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：①是的平分线， ， ， ， ， ， 同理：， ， 故结论①正确； ②和的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故结论②正确； ③过点作于，于，连接，如图所示： 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 点到各边的距离相等， 故结论③正确； ④，， 由③正确得：， ，， ． 故结论④正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，等角对等边，三角形的面积等知识点，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 二、填空题（本题包括5道小题，每题2分，共10分） 11. 若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先提取公因式分解因式，在把，，代入原式计算即可． 【详解】解：， 把，，代入， 原式， 故答案为：． 12. 将点向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到对应点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换规律（横坐标：左减右加，纵坐标：上加下减）是解题关键． 根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：点向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后， 则， 那么对应点的坐标是， 故答案为：． 13. 定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 利用题中的新定义运算化简不等式组，求出解集，即可求出整数解的个数． 【详解】解：， 将不等式组化简得， 解得， 解得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共个， 故答案为：． 14. 如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，在直角坐标系中，点，点，若动点P从坐标原点出发沿y轴正方向匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于点D，作轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G， ∵点，点， ∴， 由勾股定理得： ∴在直角三角形中，， ∴， 此时； 当点P运动到点F或点H时，，， ∴， ∴或， ∴或， 又， ∴或 故答案为：或． 三、计算题（本大题包括2道题，第16题8分，第17题10分，卷面分2分，共20分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法分解因式即可； （2）利用提取公因式法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2)先求出每一个不等式解集，后确定不等式组的解集． 本题考查了解不等式，解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 去分母，得 ， 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得， 数轴表示如下： ． 【小问2详解】 解： ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 数轴表示如下： ． 四、画图题（18题6分） 18. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）将以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后得到对应的，请画出； （2）画出与关于原点O成中心对称的； （3）绕着某点顺时针旋转一定的角度后得到，点A、B、C的对应点分别是、、，若点和点坐标分别为、，则旋转中心坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了中心对称的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后得到对应的，顺次连接即可； （2）找到关于原点O成中心对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据对应点连线的垂直平分线过旋转中心即可找到旋转中心，写出其坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 如图所示，旋转中心坐标为 五、阅读理解题（19题6分） 19. 阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． （2）若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； （3）若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【答案】（1）①② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得方程的解，再计算不等式或不等式组的解，根据定义判定解答即可． （2）根据方程组得，根据定义，得，解不等式求a的取值范围即可； （3）解方程组得 不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【小问1详解】 解： 解得； ①解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ②解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ③解不等式组，得，不是不等式组的解，不符合题意； 故答案为：①②． 【小问2详解】 解：根据方程组得， 根据定义，得， 解得． 【小问3详解】 解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 由，得， 解得， 又x，y均为正数， 故， 解得， 故b的取值范围是． 【点睛】本题考查了解方程，解方程组，解不等式，解不等式组，熟练掌握定义，解方程，解不等式是解题的关键． 六、解答题（本大题共4个题，20题8分，21题8分，22题10分，23题12分） 20. 如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）证明得，可证垂直平分； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【小问1详解】 证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【小问2详解】 解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． （1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ 【答案】（1）每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元 （2）最多购进“哪吒”纪念品70件 【解析】 【分析】（1）设每件“哪吒”纪念品的进价是x元，每件“敖丙”纪念品的进价是y元，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过3100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设每件“哪吒”纪念品的进价是x元，每件“敖丙”纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件“哪吒”纪念品的进价是30元，每件“敖丙”纪念品的进价是20元； 【小问2详解】 解；设购进“哪吒”纪念品m件，则“敖丙”纪念品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为70． 答：最多购进“哪吒”纪念品70件． 22. 如图，在中，，，点D在边上，连接． （1）如图1，，，求的长； （2）如图2，过D向下作，且，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过D作交于点F； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过E作交的延长线于点G． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （3）如图5，过点D向上作，且，点H为的中点，连接，猜想，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，得，求得，结合，利用勾股定理求长即可； （2）①利用全等三角形的判定和性质，勾股定理，等量代换思想解答即可； ②利用全等三角形的判定和性质，勾股定理，等量代换思想解答即可． （3）延长到点Q，使得，连接，证明，得到，从而得到，过D作交于点M，再利用三角形全等，勾股定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明： ①小明同学的思路： 过D作交于点F， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②如图2，小强同学的思路： 过E作交的延长线于点G． ∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：，，之间的数量关系为． 证明：延长到点Q，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过D作交于点M， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．． 23. 如图与为等边三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，射线与直线相交于点F． （1）如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在，上，试探索和的数量关系并说明理由； （2）如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，，，三条线段之间的数量关系； （3）点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）4或2或6 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质，证明即可得到结论； （2过点O作交于点H，得证是等边三角形，接着证明，即可得证； （3）过点B作于点H，利用分类思想，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：与为等边三角形， ，，， ， ∵射线绕点O逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：．理由如下： 过点O作交于点H， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵射线绕点O逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点B作于点H， ∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 如图③-1，当点O在上，点E在上，点F在上时， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点Q， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵射线绕点O逆时针旋转得到射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； 如图③-2，当点O在上，点E在上，点F在上时， 同理可证，， 由， ∴， ∴； 如图③-3，当点O在上，点E在上，点F在上时， 同理可证，， 由， ∴， ∴； 如图③-4，当点O在上，点E在上，点F在上时， 同理可证，， 由， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为4或2或6． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $