专题1.5 有理数的乘法与除法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题1.5 有理数的乘法与除法 教学目标 1. 会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的乘除混合运算，并会解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的乘除运算及其混合运算； （2）有理数的乘法运算律； （3）有理数的乘除运算的综合应用。 2.难点 （1）有理数的乘除运算的简便运算； （2）有理数的乘除运算与数轴、绝对值等结合。 知识点1 有理数的乘法法则 1.一个数乘1或-1 一个数乘1所得的积是原数，一个数乘-1所得的积是原数的相反数.例如： 2×1=2,2×(-1)=-2. 2.有理数的乘法法则 两数相乘时，如果其中一个乘数换成它的相反数，那么所得的积是原来的积的相反数.例如： 2×4=8,2×(-4)=-8. 同样地，我们有 (-2)×4=-8,(-2)×(-4)= -(-8)=8. 从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积是正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数；负数乘负数，积是正数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 任何数与0相乘都得0.例如： 0×4=0,(—4)×0=0,0×0=0. 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，积为0. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．大于而不大于3的所有整数的积是 ． 知识点2 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 4.判断积的符号 几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定.当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正. 【即学即练】 1．计算：． 2．计算： ． 3． ． 知识点3 有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 举例， 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 3.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【即学即练】 1．的倒数等于 ． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 4．某冷冻厂一个冷库的室温是，现有一批食品需要在冷藏，如果每小时降温，则几小时能降到所需要的温度？ 5．计算： (1)． (2)． 题型01 两个数的乘法运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 多个数的乘法运算 【典例1】．计算 （1）； （2）； 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03有理数乘法的运算律 【典例1】．利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．这个运算应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律 【变式2】．指出下列变化中所运用的运算律： （1） ； （2） ． 【变式3】．计算： ． 【变式4】．计算： ． 【变式5】．计算的结果是 ． 题型04 根据有理数的乘法求参数符号 【典例1】．若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 【变式1】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 题型05 有理数乘法的代数应用 【典例1】．在，，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（    ） A．15 B．40 C．24 D．30 【变式1】．有2020个有理数相乘，如果积为，那么这2020个数中（        ） A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个数互为相反数 【变式2】．绝对值不大于的所有整数的乘积是（    ） A．6 B．-6 C．-36 D．0 【变式3】．若，则的值为（    ） A． B．5 C．0 D．以上答案都不正确 【变式4】．若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 题型06 有理数乘法的实际应用 【典例1】．李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元． 【变式1】．在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（取3.14） 【变式2】．每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是 ． 【变式3】．如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m2． 【变式4】．100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米． 题型07 倒数 【典例1】．的倒数是（　　） A．2023 B． C． D． 【变式1】．与互为倒数的数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．的倒数是 (   ) A． B． C． D． 【变式3】．的相反数是 ，倒数是 ． 【变式4】．如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则的负倒数为（    ） A． B．－2 C．2 D．4 题型08 有理数的除法运算 【典例1】．计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 题型09 有理数除法的代数应用 【典例1】．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【变式1】．如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【变式2】．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 【变式3】．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式4】．已知，，且，则 ． 【变式5】．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式6】．若，且，异号，则的符号为（ ） A． 大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 题型10 与绝对值结合的分类讨论问题 【典例1】．有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【变式1】．已知、、、是有理数，，则 ． 题型11 有理数除法的实际应用 【典例1】．某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，若该地地面温度为，高空某处气温为，求此处的高度． 【变式1】．工人师傅把一根的圆钢锯断，用来做长的零件，可加工多少件？ 【变式2】．一条小河上，A在B上游150千米处．甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上．则甲船的静水速度是每小时多少千米？ 题型12 有理数的乘除混合运算 【典例1】．计算： (1)－2÷×； (2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)； (3)2÷÷； (4)(－81)÷2××． 【变式1】．计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【变式2】．计算：得（     ） A． B． C． D． 题型13 有理数的乘除混合运算的应用 【典例1】．两数相除商是2.4，如果被除数扩大100倍，除数除以0.01，商是（     ） A．2.4 B．24 C．240 D．0.024 【变式1】．请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【变式2】．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 题型14 新定义题 【典例1】．若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式1】．设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 一、单选题 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的有（      ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 4．下列说法正确的是（    ） A．零除以任何数都得0 B．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 C．绝对值相等的两个数相等 D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数 5．在下列各题中，结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（    ） A． B．3 C． D．3或 8．已知，，且，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 9．指出下列变化中所运用的运算律： （1）3×(-2)=-2×3 ； （2）3×(-2)×(-5)=3×[(-2)×(-5)] ； （3）68×(-2)=68×-68×2． ． 10．填空：（1）（－2）×（－2）×2×（－2）的积的符号是 ； （2）×××的积的符号是 ． 11．用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab 0，若a＞0，b＜0，则ab 0； （2）若a＜0，b＞0，则ab 0，若a＜0，b＜0，则ab 0； （3）若a≠0，b＝0，则ab 0． 12．若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，且这两个数的积为负数，则在这两个数中，用大数除以小数所得的商是 . 13．一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝，则a1＋a2＋a3＋…＋a2020＝ ． 三、解答题 14．用简便方法计算． (1) (1－－)÷(－)；     (2) (－19)×19． 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)． 17．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 18．某粮库一周前存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正） （1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩下的粮食最多？ （2）若运进的粮食为购进的，购买价为4000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为4600元/吨，则这一周的利润为多少？ （3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库存粮食达到200吨？ 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 +35 ﹣20 ﹣30 +25 ﹣24 +40 ﹣16 19．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 20．已知与互为相反数．求的值． 21．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 有理数的乘法与除法 教学目标 1. 会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的乘除混合运算，并会解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的乘除运算及其混合运算； （2）有理数的乘法运算律； （3）有理数的乘除运算的综合应用。 2.难点 （1）有理数的乘除运算的简便运算； （2）有理数的乘除运算与数轴、绝对值等结合。 知识点1 有理数的乘法法则 1.一个数乘1或-1 一个数乘1所得的积是原数，一个数乘-1所得的积是原数的相反数.例如： 2×1=2,2×(-1)=-2. 2.有理数的乘法法则 两数相乘时，如果其中一个乘数换成它的相反数，那么所得的积是原来的积的相反数.例如： 2×4=8,2×(-4)=-8. 同样地，我们有 (-2)×4=-8,(-2)×(-4)= -(-8)=8. 从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积是正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数；负数乘负数，积是正数.积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 任何数与0相乘都得0.例如： 0×4=0,(—4)×0=0,0×0=0. 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，积为0. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则计算即可； 本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．大于而不大于3的所有整数的积是 ． 【答案】0 【分析】根据题意，得到大于而不大于3的整数有，由于其中含0，乘积为0． 【详解】解：大于而不大于3的整数有， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键． 知识点2 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． 3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 4.判断积的符号 几个不等于零的数相乘，积的符号由负乘数的个数决定.当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负；当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正. 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握乘法运算法则，是解题的关键．根据有理数乘法运算法则，结合乘法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，根据乘法分配律把原式变形为，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解； ， 故答案为：1． 3． ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握分配律进行简便计算，是解题的关键．利用分配律，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 知识点3 有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 要点：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 举例， 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 要点： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 3.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【即学即练】 1．的倒数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数．根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）按照除法运算法则计算； （2）按照除法运算法则计算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．某冷冻厂一个冷库的室温是，现有一批食品需要在冷藏，如果每小时降温，则几小时能降到所需要的温度？ 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，理清题目中的数量关是解决问题关键． 【详解】 解： （小时）． 答：小时能降到所需要的温度． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型01 两个数的乘法运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)0 (5) (6) 【分析】依据法则“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0”计算解答． 【详解】（1） ＝ =； （2） ＝ = （3） = =6 （4） ＝0 （5） = ＝ （6） = ＝ 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，任何数与0相乘都得0” ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键，运算中注意符号的变换． （1）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可； （3）根据0乘以任何数都是0，即可求解； （4）先确定符号，再根据有理数的乘法运算法则计算即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 【变式2】．计算 （1）； （2）； 【答案】（1）0；（2）1. 【详解】 （1）； （2）； 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． 题型02 多个数的乘法运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的乘法，利用乘法交换律进行计算，即可； （2）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型03有理数乘法的运算律 【典例1】．利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把带分数化成假分数即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键． 【变式1】．这个运算应用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】根据分配律特点即可求解． 【详解】解： ×（-10+1-0.5）=-×10+×（1）-×0.5=-8+1-0.4 故应用了分配律， 故选C． 【点睛】此题主要考查运算律的识别，解题的关键是熟知分配律的特点． 【变式2】．指出下列变化中所运用的运算律： （1） ； （2） ． 【答案】 乘法结合律 乘法分配律 【分析】根据有理数的运算律进行判断即可． 【详解】解：（1）， 属于有理数的乘法结合律， 故答案为：乘法结合律； （2）， 属于有理数的乘法分配律， 故答案为：乘法分配律． 【点睛】本题考查了有理数的运算律，熟记乘法的几种运算律形式是解本题的关键． 【变式3】．计算： ． 【答案】2021 【分析】根据有理数乘法的结合律求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的结合律，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式4】．计算： ． 【答案】2021 【分析】利用有理数乘法的结合律进行简便计算． 【详解】解：原式， ， 故答案为：2021． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法结合律使得计算简便． 【变式5】．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】将看做整体，根据乘法分配律进行计算，再进行计算即可 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法运算律是解题的关键． 题型04 根据有理数的乘法求参数符号 【典例1】．若，，则下列判断正确的是（    ） A．、都是正数 B．、都是负数 C．、异号且负数的绝对值大 D．、异号且正数的绝对值大 【答案】C 【分析】根据题中已知条件可判断出x、y两个有理数的关系，即可得出答案． 【详解】解：从xy＜0可知，x、y一定异号， 从另一个条件x+y＜0可判断出x、y中负数的绝对值较大． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加法、乘法，掌握有理数加法和乘法法则是正确判断的前提． 【变式1】．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的乘法计算法则进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键在于两个不为0的数相乘，同号为正，异号为负． 【变式2】．下列判断正确的是 (     ) A．若，则，中至少一个为零 B．若，则一定有， C．若，则一定有， D．若，且，则， 【答案】A 【分析】若ab=0，则a，b中至少一个为0；若ab＞0，则a，b同号；若ab＜0，则a，b异号；若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大． 【详解】解：A、若ab=0，则a，b中至少一个为0，即a=0或b=0或a=b=0，故本选项正确； B、若ab＞0，则a，b同号，即a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项错误； C、若ab＜0，则a，b异号，即a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，故本选项错误； D、若ab＜0且a+b＜0，则a，b异号且负数的绝对值大，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法与加法法则，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 题型05 有理数乘法的代数应用 【典例1】．在，，0，1，3，5这六个数中，任意三数之积的最大值是（    ） A．15 B．40 C．24 D．30 【答案】B 【分析】要使任意三数之积最大，所选择的数必须有偶数个负数且绝对值尽可能大，由此即可得到结果． 【详解】解：∵有六个数-4，-2，0，1，3，5， ∴三数之积的最大值是（-4）×（-2）×5=40． 故选：B． 【点睛】此题比较简单，主要利用有理数的乘法法则解决问题，解答时要多加尝试和检验． 【变式1】．有2020个有理数相乘，如果积为，那么这2020个数中（        ） A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个数互为相反数 【答案】C 【分析】根据0乘以任何数都等于0解答． 【详解】解：∵2020个有理数相乘，积是0， ∴这2020个数中至少有一个数是0． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，主要利用了0乘以任何数都等于0． 【变式2】．绝对值不大于的所有整数的乘积是（    ） A．6 B．-6 C．-36 D．0 【答案】D 【分析】先写出满足条件的所有整数，再求出它们的积． 【详解】解：绝对值不大于的所有整数有：0、1、-1、2、-2、3、-3，它们的积为：． 故选D． 【点睛】本题考查绝对值和整数的综合应用，根据已知条件写出满足条件的所有整数是解题关键． 【变式3】．若，则的值为（    ） A． B．5 C．0 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质求得的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 故选C． 【点睛】此题考查了绝对值的性质以及有理数的乘法，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【变式4】．若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件求出a、b、c、d的值，然后可以得到a+b+c+d的得数． 【详解】解：由已知，a、b、c、d的值应该在这8个数里面， ∵abcd=4，对上面的数逐一进行排查，可以得到a、b、c、d的值应该是里的某一个， ∴a+b+c+d=．　 故答案为0．　　 【点睛】本题考查有理数的乘法和加法运算，熟练掌握有理数乘法运算中的符号变化法则是解题关键． 题型05 有理数乘法的代数应用 【典例1】．李阿姨的月工资是5000元，扣除3500元免税项目后的部分需要按3%的税率缴纳个人所得税，她应缴个人所得税 元． 【答案】45 【分析】扣除3500元个税免征额后的部分是5000-3500=1500元，也就是说应缴纳税额部分应是1500元，然后代入关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税，计算即可． 【详解】(5000-3500)×3% =1500×3% =45(元) 答：她应缴个人所得税45元． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，解答的关键是掌握关系式：应缴纳税额部分×税率=个人所得税． 【变式1】．在一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶里，垂直放入一根底面半径为5厘米的圆柱形钢材，如果钢材完全浸没在水中，桶里的水位上升了9厘米（水未溢出），则这根钢材的体积是 立方厘米．（取3.14） 【答案】2826 【分析】根据题意得出圆柱形钢材的体积等于上升的水的体积,上升的水的体积等于高为9厘米,底面半径为10厘米的圆柱的体积,据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查根据圆柱的体积公式列出式子,准确列出式子进行运算是解题关键． 【变式2】．每袋小麦超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则袋小麦对应的数分别为，，，，，0，，，，．则这袋小麦的总质量是 ． 【答案】904kg 【分析】根据有理数的加法运算，可得答案． 【详解】解： ， ， （kg）， 故答案为：904kg 【点睛】本题考查了正数和负数，关键是利用有理数的混合运算解题． 【变式3】．如图，在一块长20m，宽10m的长方形草地上，修建两条宽为1m的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 m2． 【答案】171 【分析】直接利用草地的绿地面积＝长方形面积-长的小路面积-短的小路去掉1平米的小路面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：20×10-20×1-（10﹣1）×1 =200-20-9 =171（m2）． 故答案为：171． 【点睛】此题主要考查了长方形面积，正确求出小路面积是解题关键． 【变式4】．100米长的小棒，第1次截去，第2次截去剩下的，第3次截去剩下的，如此下去，第5次后剩下的小棒长 米，第49次后剩下的小棒长 米． 【答案】 2 【分析】根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】∵， ∴第5次后剩下的小棒长米， ∵， ∴第49次后剩下的小棒长2米， 故答案为：，2． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，找到规律是解题的关键． 题型07 倒数 【典例1】．的倒数是（　　） A．2023 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘积为1的两个数互为倒数来判断即可． 【详解】∵2023×=1 ∴的倒数为 故选：B． 【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键． 【变式1】．与互为倒数的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．求一个分数的倒数也就是把这个分数的分子和分母调换位置，据此解答． 【详解】解：与互为倒数的数是， 故选：D． 【点睛】此题主要根据倒数的意义，求一个数的倒数的方法和分数的基本性质解决问题． 【变式2】．的倒数是 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，即可得出结论. 【详解】解：的倒数为：， 故答案为C. 【点睛】本题考查了倒数定义.若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数. 【变式3】．的相反数是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数和乘积是1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是，倒数是， 故答案为：，． 【点睛】本题考查相反数、倒数，属于基础题，理解相反数和倒数的定义是解答的关键，注意求倒数时要带分数要化为假分数． 【变式4】．如果两个数的乘积为－1，那么称这两个数互为负倒数，则的负倒数为（    ） A． B．－2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据负倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的负倒数为-2， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，正确理解负倒数的定义是解题的关键． 题型08 有理数的除法运算 【典例1】．计算： （1）；    （2）；    （3）； （4）；    （5）；    （6）． 【答案】（1）；（2）9；（3）；（4）0；（5）；（6）3． 【分析】原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除． 【详解】（1）；     （2）；     （3）； （4）；     （5）；     （6） 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键． 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)0 (2)2 (3) (4) (5) (6)2 (7) (8) 【分析】（1）根据零除以任何数都为零即可解答； （2）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （3）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （4）根据有理数除法法则计算即可； （5）根据有理数除法法则计算即可； （6）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （7）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可； （8）先把小数化成分数，然后再按照有理数除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． （7）解：． （8）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，灵活运用有理数的除法运算法则成为解答本题的关键． 题型09 有理数除法的代数应用 【典例1】．如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商（    ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【答案】A 【分析】根据数轴的定义，可得数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数，进而根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可得出答案． 【详解】数轴上在原点右边的点表示的数是正数，在原点左边的点表示的数是负数， 根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”可知，这两个数相除所得的商是负数． 故选A 【点睛】本题考查了有理数的除法法则，数轴的定义，理解有理数的除法法则是解题的关键．两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除．(0除以任何一个非0的数,都得0) 公式：． 【变式1】．如果a＋b＜0，且＞0，下列结论成立的是(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【答案】B 【分析】直接利用有理数的除法和加法运算法则，即可得出a，b的符号． 【详解】解：∵a+b＜0，且＞0， ∴a，b同号，且a＜0，b＜0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法，正确得出a，b同号是解题关键． 【变式2】．两个有理数的商是正数，这两个数一定(　　) A．都是负数 B．都是正数 C．至少有一个是正数 D．同号 【答案】D 【详解】试题分析：根据有理数的除法法则即可求得结果. 两个有理数的商是正数，那么这两个数一定两数同号，故选D. 考点：本题考查的是有理数的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握有理数的除法法则：两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除. 【变式3】．如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【变式4】．已知，，且，则 ． 【答案】或 【分析】利用绝对值的代数意义，以及除法法则求出与的值，代入计算即可求出的值． 【详解】解：，，且， ，；，， 则或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式5】．如图所示，实数a，b在数轴上表示的点分别是A、B，下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 因此，故A选项错误； 点A到0点的距离大于点B到0点的距离，因此，故B选项错误； 由，可得，故C选项错误； 由，可得，故D选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，解题的关键是根据数轴判断出a，b的取值范围． 【变式6】．若，且，异号，则的符号为（ ） A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于 【答案】A 【分析】根据同号得正，异号得负判断即可． 【详解】解：∵，异号， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，除法，熟记同号得正，异号得负是解题的关键． 题型10 与绝对值结合的分类讨论问题 【典例1】．有理数a，b，c都不为零，且，则 ． 【答案】1或 【详解】根据题意分析可得：有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正，分情况讨论，利用绝对值的意义化简运算即可． 【分析】解：∵， ∴，，． ∵有理数a，b，c都不为零，且， ∴有理数a，b，c不同时为正，也不同时为负， ∴有理数a，b，c中一个为正，两个为负或一个为负，两个为正， 当有理数a，b，c中一个为正，两个为负时，假定， ∴原式 ， 当有理数a，b，c中一个为负，两个为正时，假定， ∴原式 ． 综上，或． 故答案为：1或． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式1】．已知、、、是有理数，，则 ． 【答案】，， 【分析】根据、、、有理数符号，，得出共有种情况，然后分别进行化简即可． 【详解】解：①若有理数，，，有一个负数，三个正数， 则 ； ②若有理数，，，有二个负数，二个正数， 则 ； ③若有理数，，，有三个负数，一个正数， 则； ④若有理数，，，有四个负数， 则 ； ⑤若有理数，，，有四个正数， 则 ； 故答案为：，，． 【点睛】本题考查绝对值的化简，关键掌握利用有理数的符号化去绝对值符号． 题型11 有理数除法的实际应用 【典例1】．某地的气象观测资料表明，高度每增加，气温大约下降，若该地地面温度为，高空某处气温为，求此处的高度． 【答案】 【分析】根据温度差除以，得出高度，即可求解． 【详解】解：   此高空比地面高，又因为地面应为0， 答：此高空处的高度为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 【变式1】．工人师傅把一根的圆钢锯断，用来做长的零件，可加工多少件？ 【答案】可加工件 【分析】利用除法法则以及去尾法直接求出即可． 【详解】解：∵… ∴可加工件， 答：可加工件． 【点睛】本题考查有理数的除法应用，比较基础． 【变式2】．一条小河上，A在B上游150千米处．甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上．则甲船的静水速度是每小时多少千米？ 【答案】甲船在静水中的速度是20千米/小时 【分析】两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关，故利用相向而行路程等于速度和乘以时间，追击问题路程等于速度差乘以时间，分别求速度和与速度差，两个速度相减后，除以2即可求出甲船在静水中的速度． 【详解】解：速度和： 速度差： 甲船的速度： 答：甲船在静水中的速度是20千米/小时． 【点睛】此题的关键是理解两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关． 题型12 有理数的乘除混合运算 【典例1】．计算： (1)－2÷×； (2)(－510)÷(＋34)÷(－0.125)； (3)2÷÷； (4)(－81)÷2××． 【答案】（1）；（2）120；（3）1；（4）． 【分析】（1）先计算有理数的乘法，再计算有理数的乘法即可得； （2）利用有理数的除法法则计算即可得； （3）先将带分数化为假分数，再计算有理数的除法即可得； （4）先计算有理数的除法，再计算有理数的乘法即可得． 【详解】（1）原式， ， ； （2）原式， ， ， ； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键． 【变式1】．计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）16；（2）；（3）；（4）100；（5）；（6）. 【分析】（1）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （2）先计算括号内的乘法，再把除法转化成乘法进行计算即可； （3）把除法转化成乘法进行计算即可； （4）先算除法，再算乘法即可得解； （5）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案； （6）把除法转化成乘法进行计算即可. 【详解】（1） = =-2×（-8） =16； （2） = = =； （3） = =； （4） =-20×（-5） =100； （5） = =； （6） = =. 【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是正确确定结果的符号，掌握计算法则． 【变式2】．计算：得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型13 有理数的乘除混合运算的应用 【典例1】．两数相除商是2.4，如果被除数扩大100倍，除数除以0.01，商是（    ） A．2.4 B．24 C．240 D．0.024 【答案】A 【分析】设这两个数为a，b，根据被除数和除数的变化，求出变化后的值． 【详解】解：设这两个数为a，b，则a÷b=2.4， ∵被除数扩大100倍，除数除以0.01， 则100a÷（b÷0.01）=100a÷b×0.01=2.4， 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法，解题的关键是找到规律，根据商不变得到结果． 【变式1】．请将“，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 题型14 新定义题 【典例1】．若“!!”是一种数学运算符号，并且，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．将化为即可计算． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】．设表示不超过x的最大整数，如，；则和所表示的点在数轴上的距离是（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据表示不超过x的最大整数得到，，再求出在数轴上的距离即可． 【详解】解：∵表示不超过x的最大整数， ∴，， ∵， ∴和所表示的点在数轴上的距离是， 故选：C 【点睛】此题考查了新定义、数轴上两点间的距离等知识，根据新定义求出，是解题的关键． 一、单选题 1．的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数，解题的关键是掌握倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．据此解答即可． 【详解】解：的倒数是． 故选：A． 2．下列计算正确的有（      ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则进行计算，可得正确答案． 【详解】①，故此项不符合题意； ②，故此项符合题意； ③，故此项符合题意； ④，故此项不符合题意； 所以正确的有②，③ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的计算，关键是掌握乘法计算的计算法则． 3．计算：32÷（﹣4）×的结果是（　　） A．﹣16 B．16 C．﹣2 D．﹣ 【答案】C 【分析】根据有理数乘除法的运算法则计算可求解． 【详解】解：原式=﹣8× =﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除，解题关键是熟练掌握有理数乘除法的法则，准确运用法则进行计算． 4．下列说法正确的是（    ） A．零除以任何数都得0 B．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 C．绝对值相等的两个数相等 D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数 【答案】D 【分析】A、任何数包括0，0除0无意义；B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定；C、绝对值相等的两个数的关系应有两种情况；D、根据倒数及乘方的运算性质作答． 【详解】解：A、零除以任何不等于0的数都得0，故错误； B、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故错误； C、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故错误； D、两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数，故正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值、倒数的概念和性质及有理数的乘除法、乘方的运算法则．要特别注意数字0的特殊性． 5．在下列各题中，结论正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据两数的符号或大小判断相应的式子是否成立即可． 【详解】解：A、两数相除，异号得负，故选项错误； B、大数减小数，一定大于0，故选项正确； C、两数相乘，同号得正，故选项错误； D、若，则可正可负，故选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数减法、乘除法运算，不确定符号的数在计算时的结果的符号也不确定． 6．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘法的分配律计算选项，可判断，由于除法没有分配律，所以先计算括号内的运算，再计算除法，可判断，先求绝对值，再利用乘法的结合律计算选项，从而可判断 【详解】解： ，故，错误； ，故错误； ，故正确； 故选： 【点睛】本题考查的是乘法的结合律与分配律，有理数的除法运算，绝对值的运算，有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 7．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则值为（    ） A． B．3 C． D．3或 【答案】B 【分析】根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可得，a+b=0，cd=1，m=±2， 原式=4-1+0=3 故选：B 【点睛】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是根据题意得出a+b=0，cd=1，m=±2． 8．已知，，且，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据，，可以求出，的值，再根据确定的值即可． 【详解】，， ，， ， ，异号， 当，时，， 当，时，， 综上所述：的值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的除法，绝对值，有理数的乘法，解题的关键是明确同号得正，异号得负的意义． 二、填空题 9．指出下列变化中所运用的运算律： （1）3×(-2)=-2×3 ； （2）3×(-2)×(-5)=3×[(-2)×(-5)] ； （3）68×(-2)=68×-68×2． ． 【答案】 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【分析】利用乘法运算律判断即可得到结果． 【详解】解：（1）3×(-2)=-2×3，乘法交换律； （2）3×(-2)×(-5)=3×[(-2)×(-5)]，乘法结合律； （3）68×(-2)=68×-68×2，乘法分配律． 故答案为：（1）乘法交换律；（2）乘法结合律；（3）乘法分配律． 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算律是解本题的关键． 10．填空：（1）（－2）×（－2）×2×（－2）的积的符号是 ； （2）×××的积的符号是 ． 【答案】 － + 【分析】（1）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决； （2）根据两数相乘，同号得正，异号得负即可解决． 【详解】（1）（－2）×（－2）×2×（－2）中有3个乘数为负，积的符号是－； （2）×××中有4个乘数为负，积的符号是+． 故答案为：－；+． 【点睛】本题考查了有理数乘法及应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．用字母表示有理数乘法的符号法则： （1）若a＞0，b＞0，则ab 0，若a＞0，b＜0，则ab 0； （2）若a＜0，b＞0，则ab 0，若a＜0，b＜0，则ab 0； （3）若a≠0，b＝0，则ab 0． 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＞ = 【分析】根据乘法法则“两个数相乘，同号得正，异号得负，任何数同0相乘得0”解答即可． 【详解】（1）∵a＞0，b＞0，∴ab＞0， ∵a＞0，b＜0，∴ab＜0； （2）∵a＜0，b＞0，∴ab＜0， ∵a＜0，b＜0，∴ab＞0； （3）∵a≠0，b=0，∴ab=0； 故答案为：＞，＜，＜，＞，=． 【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，解此题的关键是熟记法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 12．若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，且这两个数的积为负数，则在这两个数中，用大数除以小数所得的商是 . 【答案】 -2或- 【详解】试题分析：这两个数的积为负数，则这两个数一正一负，又因一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，则这两个数可能是8和-4，或4和-8.所以大数除以小数所得的商是-2或-. 试题解析：设|a|=8，|b|=4，则a=8或a=-8，b=4或b=-4. 因为ab<0， 所以当a=8时，b=-4，则=-2； 当a=-8时，b=4，则=-. 13．一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝，则a1＋a2＋a3＋…＋a2020＝ ． 【答案】 【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， … 故上面的数据以，，2为一个循环，依次出现， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． 三、解答题 14．用简便方法计算． (1) (1－－)÷(－)；     (2) (－19)×19． 【答案】(1) －21；(2)－379 【分析】（1）先将带分数转化为假分数，将除法转化为乘法，再运用乘法分配率分别计算即可； （2）先将分为，再运用乘法分配率计算即可． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了有理数乘除运算，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）逆用乘法分配律提取25，再计算括号里的加减运算，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据多个有理数的乘法法则计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．数学老师布置了一道题： 计算：÷． 小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法来解决这个问题． 小明的解法： 原式的倒数为， 所以． (1)小明的解答是否正确？请说明理由； (2)请你运用小明的方法计算：÷． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) 【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； （2）解：原式的倒数为 ， 则． 18．某粮库一周前存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正） （1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩下的粮食最多？ （2）若运进的粮食为购进的，购买价为4000元/吨，运出的粮食为卖出的，卖出价为4600元/吨，则这一周的利润为多少？ （3）若每周平均进出的粮食数量大致相同，问：再过几周粮库存粮食达到200吨？ 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 +35 ﹣20 ﹣30 +25 ﹣24 +40 ﹣16 【答案】（1）本周星期一的剩下的粮食最多，为吨；（2）元；（3）周． 【分析】（1）理解“+”表示进库“”表示出库，求出每天的情况即可求解， （2）这一周的利润=卖出的钱数购买的钱数，依此列式计算即可求解； （3）由吨减去本周的粮食数量吨，再根据每周的进出粮食的数量为吨，列式计算即可求解． 【详解】解：（1）星期一： 星期二： 星期三： 星期四： 星期五： 星期六： 星期天： 所以本周星期一的剩下的粮食最多，为吨． （2）由题意得：购进的粮食有：（吨）， 卖出的粮食有：（吨）， 所以：这一周的利润：（元）． （3）由题意得： 所以再过周粮库存粮食达到200吨． 【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，同时考查了有理数的加减运算，有理数的乘除运算，掌握以上知识是解题的关键． 19．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【答案】（）负数；（）正数，负数；（）． 【分析】（）先判断负因数个数，然后根据法则即可求解； （）根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； （）先算括号内的，再根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； 本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正；根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 【详解】（）中有个负因数， ∴结果是负数； （）根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 故答案为：正数，负数； （）原式 ． 20．已知与互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】根据题意得，得到，转化为，结合，裂项求和计算即可． 本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘法，加减混合运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数． ∴， ∴， ∴转化为， ∵， ∴ ． 21．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$