专题12 数轴上的动态问题-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版）

专题12.数轴上的动态问题 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..2 题型1、动态规律（左右跳跃）模型 2 题型2、动态中点与n等分点模型 4 题型3、单（多）动点匀速模型 9 题型4、单（多）动点变速模型 11 题型5、动点往返运动模型 14 题型6、动态定值（含参型）模型 18 题型7、动态定值（含参型）模型 21 题型8、数轴折叠（翻折）模型 24 题型9、数轴上的线段移动模型 28 基础通关 33 拓展提优 39 数轴中的动态问题属于（2024）苏科版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 题型1、动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2024·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 例2．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 例3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 例4．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 题型2、动态中点与n等分点模型 【解题技巧】1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。 设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动 秒时，点恰好是的中点． 例2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示）；(3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 例3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 例4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 题型3、单（多）动点匀速模型 【解题技巧】模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 例2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 例3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）综合与实践：如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值；(2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；(3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 题型4、单（多）动点变速模型 【解题技巧】单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 例2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ；(2)当 时，M、N两点在折线段上相遇；(3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；(4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 例3．（24-25七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 题型5、动点往返运动模型 . 【解题技巧】数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项：1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是_____． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点从点出发，沿数轴向右匀速运动，动点，，同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？②动点、运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当动点运动到秒时，动点、、三点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度? 例2．（24-25七年级上·广西河池·期中）已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒：(1)当秒时，线段 ， ，(2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值；(3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 例3．（24-25七年级上·深圳·期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题：(1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值．(3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 题型6、动态定值（含参型）模型 【解题技巧】数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则_______，_______；A、B两点之间的距离为_______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2024次时，求点P所对应的有理数；(3)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m（）个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求D点运动的方向及m的值． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）．①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型7、动态定值（含参型）模型 【解题技巧】数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上有三个点分别为，对应的数分别是，满足．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点与点之间的距离表示为．(1)直接写出的值：______，______，______； (2)点在数轴同时运动，它们的速度分别是3个单位/秒、2个单位/秒，设运动时间为秒． ①点向右运动t秒时对应的数为______（用含的式子表示）； ②点向右运动，当，求点运动的时间的数值； ③当点向左运动，点向右运动．试问：是否存在一个常数使得不随运动时间的改变而改变．若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 题型8、数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1．（2024·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 例2．（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 例3．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 题型9、数轴上的线段移动模型 【解题技巧】数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． (1)求，的值；(2)①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，则玩具火车的长为_____个单位长度；②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数；(3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，数轴上、表示的数分别为、20，有两条动线段和，点与点重合，点对应的数是4，且点在点的左边，点在点的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点到达点时，线段、同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在线段从到的过程中，点是的中点，点是的中点，若，求点在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时所对应的的值． 例3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ；（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． (1)则_____________；_____________； (2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） (3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．(1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数；(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数．    8．（2024·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？(2)当为何值时，、两点相距个单位长度？(3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 10．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ． 4．（2024·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 5．（2024·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 6．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______；(3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 7．（2024·重庆九龙坡·七年级期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）在数轴上，点A和B表示的数分别为a、b，可以用绝对值表示点A和B两点间距离，即．请回答下列问题：(1)在数轴上点A、B、C分别表示数．① ___，②若，则x的值为_____；③若，且x为整数，则x的值为 _____． (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动，设P点在数轴上表示的数为P．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．①当________时，；②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.数轴上的动态问题 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..2 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..2 题型1、动态规律（左右跳跃）模型 2 题型2、动态中点与n等分点模型 4 题型3、单（多）动点匀速模型 9 题型4、单（多）动点变速模型 11 题型5、动点往返运动模型 14 题型6、动态定值（含参型）模型 18 题型7、动态定值（含参型）模型 21 题型8、数轴折叠（翻折）模型 24 题型9、数轴上的线段移动模型 28 基础通关 33 拓展提优 39 数轴中的动态问题属于（2024）苏科版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 题型1、动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2024·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒． 【详解】解：（1）∵4×2.5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2； （2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4； （3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560， ∴时间=4560÷4=1140(秒)； ②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656， ∴时间=4656÷4=1164(秒) ． 例2．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为，， ∵，而， 即第次秒后先向左移动秒，再向右移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时所对应的数为，故答案为：． 例3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 【答案】 1 6 406 【详解】解：根据题意，，，，，， 由“每前进3步后退2步”可知这5秒组成一个循环结构，前进1个单位长度，所以，， 因为，所以，．故答案为：1，6，406． 例4．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：第一次落点为处，点表示的数为1； 第二次落点为的中点，点表示的数为； 第三次落点为的中点，点表示的数为；… 则点表示的数为，即点表示的数为；故答案为：． 题型2、动态中点与n等分点模型 【解题技巧】1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。 设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动 秒时，点恰好是的中点． 【答案】或或或 【详解】解：设运动时间为秒， ∵动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，且， ∴动点从点到点的时间为：（秒）， ∵当第一次回到点时两个点同时停止运动，∴的取值范围是：， ∵点是的中点，∴， 当时，，，∴，解得：； 当时，，，∴，解得：； 当时，，，∴，解得：； 当时，，，∴，解得：； 综上所述，当点运动或或或秒时，点恰好是的中点．故答案为：或或或． 例2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示）；(3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)，(2)，(3)或(4)或或 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ．故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度，∴，解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得，解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即，∴此时，由题意得，解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时，由题意得，解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得，解得不合题意，舍去，综上所述：或或． 例3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或(2)，，，，， 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件，故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则，因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则，因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则，因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则，因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则，因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 例4．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为；（）； 【详解】解：（），∴，，∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为∴的中点所对应的数为，故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴，解得，当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为，故答案为：； 题型3、单（多）动点匀速模型 【解题技巧】模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【详解】解：设点P表示的数为n，∴，， ∵点到、两点距离之和为40，即， 当时，， 当时，∴，解得：，∴，∴；故选：B 例2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，在数轴上，点表示的数为，．若点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向左运动，经过秒，，两点之间的距离为，则的值为（   ） A．6 B．9 C．6或9 D．9或12 【答案】C 【详解】解：∵点表示的数为，，∴，∴点表示的数为， 设经过秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 当，相遇前，可得，解得：； 当，相遇后，可得，解得：；综上，t的值为6或9；故选：C． 例3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）综合与实践：如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值；(2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；(3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，，(2)值不随着时间的变化而变化，始终(3)存在，或 【详解】（1）解：依题意，．所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒，∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得，当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵，∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）．故答案为：或． 题型4、单（多）动点变速模型 【解题技巧】单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 例2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）数轴上点A表示．点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如．点A和点D在折线数轴上的和调距离为个单位长度，动点M从点A出发．以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动．从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为 ；(2)当 时，M、N两点在折线段上相遇；(3)当 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；(4)当t为几秒时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？（请写出解题过程） 【答案】(1)(2)(3)或．(4)为秒或秒时 【详解】（1）解：当秒时，点表示的数为，点表示的数为， ，故答案为：． （2）解：当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点运动到点时，，当点运动到点时，（秒）， 当点、都运动到折线段上时，即， ∴点表示的数为，点表示的数为； ∴、两点间的和谐距离；、两点间的和谐距离； 当、两点相遇时，，解得，故答案为：； （3）解：由（2）可得当、两点相遇前相距4，则，解得： 相遇后相距4，则，解得：；故答案为：或． （4）解：当点在上即时，点表示的数为，点表示的数为， 依题意得，解得不合题意，舍去； 当点在折线段上，即时，点表示的数为，点表示的数为， 题意得，或，解得或； 当点在上，即时，点表示的数为，点表示的数为，则点在点的左侧，依题意得，解得不合题意，舍去； 综上，当为秒或秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 例3．（24-25七年级上·四川乐山·期中）已知两点在数轴上，与互为相反数，点表示的数是，且．      (1)点表示的数为______；(2)如图1，当点位于原点的同侧时，动点分别从点处在数轴上同时相向而行，动点的速度是动点的速度的1.5倍，4秒后两动点相遇，当动点到达点时，运动停止．在整个运动过程中，当　　秒，使得两点的距离为5； (3)如图2，当点位于原点的异侧时，动点分别从点处在数轴上向右运动，动点比动点晚出发1秒；当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇；相遇后动点又立即掉头以原速的2倍向右运动6秒，此时动点到达点处，动点到达点处，当时，求动点的原速和运动的速度． 【答案】(1)11或(2)的值为2或6；(3)动点运动的速度为；动点的原速为或 【详解】（1）解：与互为相反数，．设点表示的数为， 点表示的数是，且，，或．故答案为：11或； （2）解：在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6．理由： 当点、位于原点的同侧时，，．设动点的速度为，则动点的速度是， 秒后两动点相遇，，． ，两点运动（秒）后，使得，两点的距离为5，或，解得：或6． 在整个运动过程中，存在某个时刻（秒），使得，两点的距离为5，的值为2或6； （3）解：动点比动点晚出发1秒，当动点运动2秒后，动点到达点处，此时动点立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点相遇， ，两点在点处相遇，此时点的运动时间为5秒，距离为10，运动的速度为； 设动点的原速为，则，， 由题意得：，，或．动点的原速为或． 题型5、动点往返运动模型 . 【解题技巧】数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项：1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是_____． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点从点出发，沿数轴向右匀速运动，动点，，同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？②动点、运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点运动到点时又立即以原速度向点运动，点不停地以原速度往返于点与点之间．当动点运动到秒时，动点、、三点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度? 【答案】(1)(2)（2）①当点运动秒时，点追上点；②点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且A，两点间的距离为， 点表示的数为：，点运动到线段的中点时，它所表示的数是，故答案为：； （2）解：①根据题意得，解得：，当点运动秒时，点追上点； ②，（秒）， 当时，点在点右侧，点与点间的距离为个单位长度，，解得：； 点在点左侧，点与点间的距离为个单位长度，，解得：；（秒）， 当时，，解得：；，（秒）， 当点，运动秒时，点运动到点， 此时点运动到的点表示的数为， 当时，，解得：； 综上，点运动秒或秒或秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 例2．（24-25七年级上·广西河池·期中）已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒：(1)当秒时，线段 ， ，(2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值；(3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 【答案】(1)；(2)；；(3)秒 【详解】（1）解：点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，且秒， ，，故答案为：，； （2）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，， 点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，， ，，解得：，故答案为：，，； （3）解：由题意得：，， 点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为（秒）， 当点、第一次相遇时有：，解得：； 当点到达点返回但未到达回，且点到达点返回时，、两点第二次相遇，则，解得：， ，符合题意，所以，当，两点运动秒时，它们第二次相遇． 例3．（24-25七年级上·深圳·期末）将自然界的事物或现象进行“抽象”与“理想化”是科学研究的重要手段． 【阅读材料】“碰撞”在生活中无处不在，其中“弹性碰撞”是一种没有任何能量损失的碰撞，属于碰撞中的一种“理想情况”．科学家们经过研究发现，两个完全一样的物体相向运动时，如果发生弹性碰撞，会立即反向运动，且速度大小互换．例如：甲木块以的速度自西向东运动，乙木块以的速度自东向西运动，二者发生弹性碰撞后，甲木块立即变为以的速度自东向西运动，乙木块立即变为的速度自西向东运动．如果完全一样且同向运动的物体发生弹性碰撞，则运动方向不变，仅速度大小互换． 【情境呈现】如图1，在一个长的轨道上，两个小铁球分别以、的初始速度从轨道两端沿直线相向运动，发生碰撞后，两个小铁球均反向运动，最终分别从左右两端离开轨道．如图2，若在轨道右侧添加一挡板后，小球与挡板碰撞后会反弹，最后两个小球都会从左侧离开轨道． 【情境转化】为便于研究，我们可以将上述过程进行“抽象”与“理想化”：两小球完全一样且体积忽略不计，可以看作两个点，小球运动速度只会因为碰撞而发生改变，小球与小球的碰撞为“弹性碰撞”，小球与挡板碰撞后立即以原速度反向运动．由此，我们可以使用数轴来表示轨道，数轴上点的运动来表示小球的运动．如图3建立数轴，点从原点点出发，沿正方向以4个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿负方向以1个单位长度的速度匀速运动．若点运动到线段之外，则认为小球离开轨道．已知． 【问题解决】若两小球（、两点）同时出发，、两点在轨道上的运动时间分别为、秒，请回答以下问题：(1)如图3，两小球第一次相遇时，_____．根据计算，我们可以得知点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，_____． (2)如图4，在点所在位置放置挡板，则点代表的小球在到达点后会立即反向运动，速度不变．请求出两小球第二次相遇时的值．(3)在（2）的条件下，将轨道沿射线的方向进行延长，设延长至点，如图5，则需要延长多少个单位长度（即的长度为何值时），才能使得？ 【答案】(1)4；5(2)(3)需要延长个单位长度，才能使得 【详解】（1）解：两小球第一次相遇时，； 此时，点代表的小球的路程为个单位长度； 此后，点代表的小球沿正方向以4个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以1个单位长度每秒的速度匀速运动；∴秒后，点代表的小球会先从右侧离开轨道； 故点代表的小球会先从右侧离开轨道，则它离开轨道的瞬间，；故答案为：4；5 （2）解：由（1）得：秒后，点代表的小球到达点，此时，、两点相距：个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以4个单位长度每秒的速度运动； 经过秒后，两小球第二次相遇；∴； （3）解：由（2）得：两小球第二次相遇时，，且此时两小球距离点个单位长度； ∴两小球距离点个单位长度；此后，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度运动，点代表的小球沿负方向以个单位长度每秒的速度匀速运动； 设，则， 若，则，解得； ∴需要延长个单位长度，才能使得 题型6、动态定值（含参型）模型 【解题技巧】数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则_______，_______；A、B两点之间的距离为_______． (2)有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2024次时，求点P所对应的有理数；(3)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m（）个单位长度在A，B之间运动（到达A或B即停止运动），运动时间为t秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求D点运动的方向及m的值． 【答案】(1)，6，10(2)1008(3)D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为b， ∴，，∴，∴．故答案为：，6，10； （2）解：由题意可得：； （3）解：当点D从原点向左运动时，， ∵的值始终是一个定值，∴．∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时，， ∵的值始终是一个定值，∴．∴． ∵，∴此种情形不存在．∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 例2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10(2)或时，(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ，，或．答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为，当时，其值为360，当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 例3．（24-25七年级上·广东惠州·期中）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，点为原点． (1)请直接写出______，_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)一动点P从A出发，以每秒2个单位长度向左运动，一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度向左运动，设运动时间为t（秒）．①试探究：P，Q两点到原点的距离可能相等吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；②若动点Q从点B出发后，到达原点O后保持原来的速度向右运动，当点Q在线段上运动时，分别取和的中点E，F，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，9，12(2)①或12；②的值是一个定值，为2 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴A，B两点之间的距离为； （2）解：①∵若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从出发，以每秒3个单位长度向左运动， ∵点A表示的数为，点B表示的数为9，∴运动t秒后P点对应的数为，Q点对应的数为， ∴，， 当时，，解得或12， 答：点P的运动时间t为或12秒； ②的值是一个定值，理由如下：当点Q运动到线段上时，中点E表示的数是 ， 当Q从B向O运动时，中点F表示的数是， 则，所以； 当Q从O向B运动时，Q点对应数为，中点F表示的数是， 则，所以；故的值是一个定值，为2． 题型7、动态定值（含参型）模型 【解题技巧】数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）已知数轴上有三个点分别为，对应的数分别是，满足．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点与点之间的距离表示为．(1)直接写出的值：______，______，______； (2)点在数轴同时运动，它们的速度分别是3个单位/秒、2个单位/秒，设运动时间为秒． ①点向右运动t秒时对应的数为______（用含的式子表示）； ②点向右运动，当，求点运动的时间的数值； ③当点向左运动，点向右运动．试问：是否存在一个常数使得不随运动时间的改变而改变．若存在，请求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②；③ 【详解】（1）∵，∴， ∴，故答案为：； （2）①∵点A表示的数为，向右运动速度是3个单位/秒， ∴点A向右运动t秒时对应的数为，故答案为：； ②∵点C表示的数为12，向右运动速度是2个单位/秒，∴点C向右运动t秒时对应的数为， ∴， ∵∴，解得； ③∵点A向左运动t秒时对应的数为，点C向右运动t秒时对应的数为， ∴，， ∴ ∵不随运动时间t的改变而改变∴∴． 例2．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； ∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴， 当，即时，为定值28 例3．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【答案】(1)(2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12，∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等，∴， 当时，，解得，；当时，，解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，，∴ ， ∵的值不随的变化而变化，∴；如图所示，点在店右边， ∴，， ∴， ∵的值不随的变化而变化，∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 题型8、数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1．（2024·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒 【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合 ∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点， ∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3 （2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点， 设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：； ②设点A表示的数为x，则点B表示的数为， ，∴，，故答案为：，6； （3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为， ∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点， ∴点E与点F也恰好重合时，，∴． 例2．（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 例3．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为． 【详解】解：（1）①数为； ②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为；； ③由题意可得： ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为； ②由题意可得：； ③设折点P对应的数为，则对应的数为， ∵点与点相距2个单位长度，∴，即， ∴或，解得：或，∴P对应的数为或． 迁移拓展：问题如下：一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数． 解答如下：点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点， 设在数轴上表示的数为，则对应的数为， ∴，∴，∴，点为，故表示的数为． 题型9、数轴上的线段移动模型 【解题技巧】数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足． (1)求，的值；(2)①有一个玩具火车如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，则玩具火车的长为_____个单位长度；②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，直接写出此时点所表示的数；(3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从M、N出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，记火车运动后对应的位置为，是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)①；②4或 (3)存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为12，理由见解析 【详解】（1）解：，，，，； （2）解：①由（1）知，， 表示的数：，表示的数为：，， 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为． 故，即，，玩具火车的长为3个单位长度，故答案为：3； ②设点表示的数为，则点表示的数为：，，， 点在的右侧，当时可知，，故、两点只能在点的右侧， 只能向右运动，即， 当时，，解得：或，点所表示的数为：4或； （3）解：存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为：12； 理由：在（2）的条件下，点所表示的数为：4或， 当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，表示的数：，表示的数为：， 分两种情况：①为4时，此时为7，则时，表示的数：，表示的数：， 表示的数：，表示的数：，则，， 当的值与它们的运动时间无关， ，解得：，此时定值为； ②为时，此时为，则时，表示的数：，表示的数：， 表示的数：，表示的数：，则，， 当的值与它们的运动时间无关， ，解得：，此时定值为； 综上所述：存在，使的值与它们的运动时间无关，且定值为：12． 例2．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，数轴上、表示的数分别为、20，有两条动线段和，点与点重合，点对应的数是4，且点在点的左边，点在点的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点到达点时，线段、同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在线段从到的过程中，点是的中点，点是的中点，若，求点在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时所对应的的值． 【答案】(1)，(2)或(3)t的值为或或7或 【详解】（1）解：∵数轴上、表示的数分别为、20，∴，∵，∴， ∵线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，当点运动到点时，线段立即返回，∴， ∵当点到达点时，点对应的数是4，，线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动． ∴点对应的数是， 当时，点C表示的数为，点D表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍； ∴，，即点在9秒到达点B， 当时，点C表示的数为，点D表示的数为， 点M表示的数为，点N表示的数为， 当时，点D表示的数为，点N表示的数为；故答案为：，； （2）解：当时，∵点E是的中点，点F是的中点， ∴点E表示的数为； ∴点F表示的数为，∴， ∵∴，解得或； 当时，点表示的数为；当时，点表示的数为； 综上：点在数轴上表示的数为或； （3）解：当点C第一次与点M重合时，则，解得， 当时，，，∵， ∴，解得：(不符合题意，舍去)； 当点D第一次与点N重合时，则，解得， 当时，，， ∵，∴，解得：， 当点D与点B重合时，， 当时，，， ∵，∴，解得：， 当点D第二次与点N重合时，由（1）得当时，点D表示的数为，点N表示的数为， 则，解得； 当时，点M表示的数为， 点C表示的数为， 则， ∵，∴，解得：， 当点C第二次与点M重合时，由（1）得当时，点C表示的数为，点M表示的数为， 则，解得； 当时，， ∵，∴，解得：， 当时，，， ∵，∴，解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，在整个运动过程中，时所对应的t的值为或或7或． 例3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【答案】(1)；(2)3或5秒(3)4.8或24 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4，点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：，解得：； 若点在点左侧时：，解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分，点在点的左侧，， ，重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半，，∵，，解得：； 如图2，均在线段外，， 重叠部分面积，，∵，，解得：，故答案为：4.8或24． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：点在线段上，， ； 点在线段上， ， ，，综上： ∴最大值为，最小值为，∴，故选：B． 2．（24-25七年级上·河南·期中）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，，解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，表示的数是，表示的数是， 根据题意可得：，即：，解得：或，故选：． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或，解得：或， 的值为或1．故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 【答案】 秒或秒 【详解】解：∵数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等， ∴数轴的原点对应的刻度为，∴点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是， ∵点P从点A向右移动，速度为4个单位长度/秒，点Q从点B向右移动，速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P在点Q左边时，，解得，； 当点P在点Q右边时，，解得，； 综上所述，当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为秒或秒。故答案为：①；② 秒或秒． 5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【详解】解：（1）M点对应的数是：；故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，， 设t秒后P、Q相遇，，解得， 此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是．故答案为：． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． (1)则_____________；_____________； (2)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） (3)从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 【答案】(1)；(2)；(3)； 【详解】（1）解：∵，∴， 解得：；故答案为：；； （2）解：由（1）得点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12，∴从运动到的过程中，点表示的数是；从运动到的过程中，点表示的数是；故答案为：；； （3）解：∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：．故答案为：；． 7．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．(1)当时，求点Q表示的数；(2)当时，求点Q表示的数；(3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数．    【答案】(1)6(2)2(3)或 【详解】（1）解：当时，点Q表示的数为； （2）解：当时，点Q运动的路程为，点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时，点运动的路程为，秒，点表示的数为； ②点达到原点时，点运动的路程为， 秒，点表示的数为，故点P表示的数为或． 8．（2024·江苏·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离． 【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t． 【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：， 点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，故答案为：－5, －11；     6． （2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t． （3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16； 当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16； 当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？(2)当为何值时，、两点相距个单位长度？(3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)是定值，理由见解析 【详解】（1）∵，∴，由题意，得：，解得：； （2）由题意，点表示的数为，点表示的数为，∴，∴或； （3）是定值，理由如下：∵点表示的数为，为的中点， ∴表示的数为，∴， ∵，∴，∴为定值． 10．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ；(2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度； ②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗? (3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10，(2)①4；②64岁(3)存在，使得的值与它们的运动时间无关 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，故答案为：10，； （2）解：①由题意得：， ∴，∴玩具火车的长为4个单位长度，故答案为：4； ②同①可知爷爷比小阳大岁，设爷爷的年龄为x岁，则小阳的年龄为岁， 由题意得，解得，∴爷爷的年龄是64岁； （3）解：由题意可得， ， ∴， ∵的值与它们的运动时间无关∴，∴， ∴存在，使得的值与它们的运动时间无关； 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【详解】解：，且，点、表示的数分别为，10，根据题意得，，， 长分两种情况：①当时，，， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，，， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即，故答案为：D． 2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，，，③错误； 当时，，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：设运动秒时，，， ∵点C是的中点，∴，∴， ∵的长度总为一个固定的值，即与无关，∴，即，故答案为：． 4．（2024·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上， 即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得，故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即，∴或， 解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时，，即， ∴或，解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或． 5．（2024·重庆璧山·七年级校考期末）如图，数轴上有三个点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中a，b，c满足，c是最小的正整数． (1)___________；___________；___________； (2)为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动几个单位长度？ (3)若动点P，Q分别从点A、点B出发，以每秒4个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点R从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点P，Q，R同时出发，设运动时间为t秒． ①若动点Q到达点A后，速度变为每秒7个单位长度，继续向左运动，当t为何值时，点P与点Q距离3个单位长度？②记点P与点Q之间的距离为，点Q与点R之间的距离为，请用含t的代数式表示和，并判断是否存在一个常数m，使的值不随t的变化而改变，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)(2)2个 (3)①t为或时，②存在，当时，的值不随t的变化而改变 【详解】（1）解：由数轴可知：； （2）解：设将点B向左移动个单位长度，则此时表示的数字为： 由题意得：，解得：； ∴为使A，B两点的距离与C，B两点距离相等，可将点B向左移动2个单位长度． （3）解：由题意的：点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ①到达时用的时间为：秒，∴表示的数为：， 当在左侧时：，解得：； 当在右侧时：，解得：； ∴t为或时，点P与点Q距离3个单位长度． ②存在，由题意得：，， ∴， ∵的值不随t的变化而改变，∴，∴． 6．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______；(3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？ 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：，， 点表示的数为，点表示的数为，线段的长为，故答案为：； （2）解：设点在数轴上表示的数为， ①当点在中间，，，，，解得； ②当点在点左边，，，，，解得； ③当点在点右边，不符合题意；故答案为：或． （3）解：①当点位于木棒左侧时，，解得， ②当点位于木棒左侧时，，解得， 当点到达点时，木棒与点同时停止移动，，故舍去，故点移动的时间为秒． 7．（2024·重庆九龙坡·七年级期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，． 【详解】（1）∵， ∴，∴，，，； （2）设点C运动速度为x，由题意得：，解得：， ∴点C的运动速度为每秒2个单位； （3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为， ∴，， ∵，∴①时，，解得：； ②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：；∴或20． （4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时； ①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为；∴A，C相遇时对应的数为：，，． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）在数轴上，点A和B表示的数分别为a、b，可以用绝对值表示点A和B两点间距离，即．请回答下列问题：(1)在数轴上点A、B、C分别表示数．① ___，②若，则x的值为_____；③若，且x为整数，则x的值为 _____． (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动，设P点在数轴上表示的数为P．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．①当________时，；②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示． 【答案】(1)①4；②或；③或或或0或1(2)①或7.5；②当时，；当时，；当时，；当时， 【详解】（1）解：①；故答案为：4； ②∵，∴，∴或，∴或；故答案为：或； ③∵，∴，∵和1之间的距离为4，∴， ∵x为整数，∴x为或或或0或1；故答案为：或或或0或1； （2）解：①由题意得：，∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度， ∴当点P运动到点F时，时间为5秒，返回点D时，时间为10秒， Ⅰ、当时，点P表示的数为：， ∵，∴，解得：（取正值）， Ⅱ、当时，点P表示的数为：， ∵，∴，即，∴或， 解得：（不合题意，舍去），，综上：或7.5；故答案为：或7.5； ②当时，；当时，； 当时，；当时，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$