上海市浦东新区上海师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

上师大附中2024学年第二学期期末考试 高二年级数学学科 (考试时间：120分钟满分：150分) 一.填空题(1-6每题4分，7-12每题5分，共54分) 1.已知集合A={0,1,2},集合B={x2>3,则AnB= 2.已知复数名=1+i,马=j3(1是虚数单位)，则= &函数了例-hx,则m伦+)-☑_ 4.已知随机变量X~B(50,P),且E[X]=20,则D[X]= 5.盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第 1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为 6.某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际 质量服从正态分布N(500,a),且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为95.4%， 则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为 .(精确到0.1%) 7.曲线y=x+nx在x=1处的切线方程为 8.某测试由8道四近一的单选题组成.学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他 对2道有要路，其余2道则完全不会，着小胡答对每道有思路的愿的展率为}，答对每道不会的题的 概率为子，则当他从这8道题中任抽1题作答，能答对的概率为 9函数f(x)=+3r2+br+a2在x=-1时有极小值0，则a+b= 10.已知函数f(x)=-x+3x+a,a∈R,若存在三个互不相等的实数m元P,使得 f(m)=f(n)=f(p)=0,则实数a的取值范围是 1已知常数1eR,集合S=l-s3zeC,T=="子+6wes, 3 若SUT=S,则t的 取值范围是 12.设集合A是由所有满足下面条件的有序数组（名，x,x,x)构成的：每一个元素x等于0、1、-】 中之，其中i=1,23,4,5.那么集合A中满足条件“1+x++x+x3”的元素有 个 二，选择题(13-14每题4分，15-16每题5分，共18分) 13.已知2+a,b+1(a,b∈R)是实系数一元二次方程x2+px+g=0的两根，则P,9的值为() A.p=49=5B.p=4,g=5 C.p=4,g=-5 D.p=-4,q=-5 14.已知集合A={(x+m)≤0，B={x(3x+1(x-m+1)=0,C=AnB,若集合C有3个真子集， 则实数m的值可能为() 人月 15.春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的般子，若弟弟抱 出的点数为6，则吃1颗花生：若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流挪这 颗做子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则 弟弟吃1颗花生：若是6，则小明吃3颗花生，任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为( 人品 c 7 0.立 16.已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数：一元线性 回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线），现有5个数据 点A(3,y),1=1,2,3,4,5、小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数：和回归方程 ,,随后发现自已漏掉了一个数据点A(x,y)且恰好A∈，，重新计算6个数据点得到线性相关系 数和回归方程，对于下面两个说法： ①片一定小于乃 ②1与1，一定量合 则（) A.①正确②错误 B.①正确②正确 C.①错误②正确 D.①带误②错误 三.解答题(17-19每题14分，20-21每题18分，共78分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数f(x)=log.x,其中a>0,a≠1 (1)若f(4)=2,求方程f(2x+1)=时(x)的解： 2)若f()>∫(2)，求不等式f(x)>f(x2)的解 2 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 已知函数f(x)=nx+ax+1 (1)当a=-1时，求函数y=f(x)的最大值. (2)讨论函数y=∫(x)的单调性， 19.(本题满分14分)本题共有3个小题。第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采 用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部 分数据如下： 数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀人 合计 数 数 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人 数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的2×2列联表，求每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率： (2)是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ n(ad-be) w:父a+bc+da+eb+a可 a 0.10 0.01 0.001 P(x'za) 2.706 6.635 10.828 (③)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总 评优秀的人数为X,求X的分布列和期望。 20.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 问题：正实数a、占满足a+b=1,求上+2的最小值 a b 其中一种解法是： 。+后日号引加+)=1+名+2+2≥3+25，当且仅当夕二且 1,2(1,2 a b a b a+b=1时，即a=√2-1且b=2-√互时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： 0们若正实数xy满足x+y=1,求+2的最小值 x V 回者夹数a么太y满足苔茶-.求运子-5红-y时。 (3)求代数式M=√3m-5-√m-2的最小值，并求出使得M最小的m的值 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设D是R的一个非空子集，函数y=f(x)的定义域为D,若y=(x)在D上不是单调函数，且 存在常数b,使得f(x)≥b对任意的x∈D成立，则称函数y=f(x)具有性质H,称b为该函数的一 个下界 (1)设f因=x+,D=(←0,0)，判断函数y=f,x∈D是否具有性质H: (2)设m为常数，f=女-x+1,D=(m,2,当且仅当m满足什么条件时，函数y=f,x∈D 具有性质H,且b=。是该函数的一个下界： (3)设0<a≤1，f()=ln(x+1)+ax(x-2),D=(0,),若函数y=f(x),xeD具有性质H,求 a的取值范围：当a在上述范围内变化时，若b总是该函数的下界，求b的取值范围， 4上师大附中2024学年第二学期期末考试 高二年级数学学科 (考试时间：120分钟满分：150分) 一，填空题(16每题4分，7-12每题5分，共54分) 1.已知集合A={0,L2,集合B={2>3,则4nB= 【答案】{匀 2.已知复数名=1+i,马=i名(1是虚数单位)，则= 【答案】√5 3函数/间-h,则照+-②_ 【答案】分 4.已知随机变量X~B(50,p),且E[X]=20,则D[X]= 【答案】12 5.盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放 回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为 【答案】月 6.某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.己知每包 糖果的实际质量服从正态分布N(500,σ2)，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间 的可能性为95.4%，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约 为.（精确到01%） 【答案】23% 7.曲线y=x+r在x=1处的切线方程为 【答案】2x-y-1=0 8.某测试由8道四选一的单选题组成。学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道 题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会。若着小胡答对每道有思路的题的概率为分：答 对每道不会的题的概率为子， 则当他从这8道思中任抽1题作答，能答对的概率为 【答案1吕 9.函数f(x)=x3+32+bx+a2在x■-1时有极小值0，则a+b= 【答案】11 10.已知函数f(x)=-x+3x+a,a∈R,若存在三个互不相等的实数mmP,使得 f(m)=f(n)=f(p)=0,则实数a的取值范围是 【答案】-2<a<2 1山.已知常数eR,集合s-排-s,:ec斗，T={中="子+we,若sUr=S。 则t的取值范围是 【答案】[-5,1+] 12.设集合A是由所有满足下面条件的有序数组（名，名，与，）构成的：每一个元素：等于 0、1、-1中之一，其中1=1,2,3,4,5.那么集合A中满足条件 “11+名1+1马1+|x,+名3”的元素有个 答：130 二.选择题(1314每题4分，15-16每题5分，共18分) 13.已知2+a,b+1(a,b∈R)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两根，则P,g的值为 () A.p■-4,9=5B.p=4,g=5 C.p4,g■-5 D.p=-4,q=-5 【答案】A 14.已知集合A={中(x+m)s0,B={x3x+(x-m+)=0,C=AnB,若集合C有 3个真子集，则实数m的值可能为() 人月 B c 多 【答案】C 15,春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的敞子， 若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若瑞出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开 始两个人轮流掷这颗般子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷 出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生：若是，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中 弟弟能吃到1颗花生的概率为( 【答案】D 16.已知线性相关系数”是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系 数：一元线性回归分析是基于拟合误差卫取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回 归直线)，现有5个数据点4(：，y),i=1,2,3,4,5,小明对它们进行了一元线性回归分 析，得到线性相关系数万和回归方程马，随后发现自己漏掉了一个数据点A(:,y)且 恰好4∈人，重新计算6个数据点得到线性相关系数5和回归方程{，，对于下面两个说 法： ①万一定小于？ ②4与12一定重合 则() A.①正确②错误B.①正确②正确C.①错误②正确D.①错误②错误 【答案】C 三.解答题(17-19每题14分，20-21每题18分，共78分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数f(x)=logx,其中a>0,a≠1. ()若f(4)=2,求方程f(2x+1)=a可(x)的解： (2)若f)>f(2),求不等式f(x)>f(x)的解 【详解】(1)f(4)=log.4=2,因为a>0,所以a=2, 因为f(2x+1)=可(x),所以1og(2x+1)=21og,x=1og2x2, 2x+1>0 所以x>0 即x>0,所以x=1+√5， 2x+1=x2 x=1士V5 所以方程(2x+)=a可(x)的解为x=1+反， (2)因为f()>f(2),即1og1>log,2, 因为1<2，所以函数f(x)=ogx在(0，+∞）单调递减，所以0<a<1, 则不等式f(x)>f(x2),即1ogx>1ogx2, x>0 [x>0 所以x2>0,即x≠0 ,解得x>1, x<x x<Oorx>1 所以不等式f(x)>f(x)的解为（自，+∞）. 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数f()=nx+匹+1. ()当a=-1时，求函数y=f(x)的最大值 (2)讨论函数y=f(x)的单调性， 【解】(1)当a=-1时，f()=lnx-x+l, 由x>0,所以f回-量1， 当0<x<1时，∫(x)>0,所以函数f(x)在(0，)上单调递增： 当x>1时，∫()<0，所以函数f()在(L,+)上单调递减： 故f()=f（0=lnl-1+1=0, 19.()没有 (2)分布列见解析， 95 【详解】(1)零假设为H。:ChatGPT对服务业就业人数的增减无关 根据表中数据得X.130x60x20-40x10y。6.603<6.635=石， 70×60×100×30 所以根据小概率值a■0.01的独立性检验， 没有充分证据推断H,不成立，因此可以认为无关 (2)由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中， 有品5=3人认为人工智能会在服务业中广花应用。 有品x5=2人认为人工智能不会在服务业中广泛应用。 则X的可能取值为1,2,3， 又K-0小管高P收2y容小含 所以X的分布列为 X 2 3 10 5 10 所以E(X)=1× 3 *23 1-9 10 3×i0-51 0.ω瑞 四品不徽立： (3)当m=6时，获奖的可能性最大当n=13时，获奖的可能性最小 【详解】①)有放回的抽取，每次抽取到白球的振率为号一高。取到隔球的概率为号子 20101 由：衣装立复读验知，给有一次到球约展水为信)名品 2)当=6时，套中有6个白球，1M个球，风0-名高@10~高 PaI万-音，P=P+P=P0Pa1+P网Pa刀 =3x5+2x6.3 “6*91090,则P(81)≠P(),所以事件A与B相互不独立 答案第5页，共7页 (3)从20个球中取10个球，恰有3个白球的餐率P.CS, (n+0l,09-ml 设f=CC。,当3sns12时，a+0.S-3a-27102- -月+12n+13 f(n)CCo n!(20-n)1 -n2+22m40 31n-3)！71013-m1 -n2+12m+13-（-2+22n-40）=53-10n,当35n≤5时，f八m+0>f（a， 当6≤ns12时，fm+)<fm,因此f(3)<f(④<f⑤<f(6>f()>…>f03), 而f3)=C品=C5>C=f13),则f(=f6.f)=f03), 所以当=6时，参与者获奖的可能性最大：当n=13时，参与者获奖的可能性最小 21.(1)是：理由见解析 @1s0且以2血-受2k+引 (3)是，是，证明见解析 【详解】(1)因为y=(x2+3x)=2x+3,根据题意可知， (x+1)+3(x+1)21(2x+3)等价于x2+2x20在(0，+回时恒成立， 所以y=x2+3x是(0，∞)上的M()函数. (2)实最满起：血(+2osz[引 即og:ir+(sa-小-og2≥z)0 格别地，在如冲取受可蜘。 反之，当 sint-t20 cost20 时，①成立 令p()=sit-t,由于g()=co-1≤0，且满足p'()=0的1为离散的数， 故y=p(为严格减函数，又(O)=0,所以sint-t≥0台ts0. 2-受2 从而：的取值范围是s0且1e以2-受2a+引 答案第6页，共7页 (3)若P成立，则对任意正整数n,有：f(x+m)之02m∫(x)(:∈R), 即y=∫(x)为R上的M()函数，Q成立.故P为Q的充分条件。 若Q成立，即对任意正整数n,有：∫(x+)2n·f'(x)(x∈R)②， 记函数y=(x)的最大值为K, 先证明f'(x)s0恒成立 反证法，假如存在，∈R使得了(x)>0,则取正整数n,使得，了（名）>K, 此时有n∫()>K2f(名+n),与②矛盾 这意味着y=∫(x)为R上的严格减函数， 再证明f(x)之0恒成立 取名为y=f(x)的一个最大值点， 则当x≤x时，由单调性知f(x)之f(无)=K,但f(x)sK, 所以(x)=K(xs), 于是(x)=0(<) 对任意x3eR,可取一个与，有关的正整数n,使得与一n<, 由②：(3)2nf(名-n)=0. 于是P成立.故P也为Q的必要条件， 答案第7页，共7页