2026届安徽省滁州市定远县育才学校模拟预测检测数学试题

**基本信息** 本卷为2026届数学模拟预测卷，以核心素养为导向，知识覆盖全面，问题设计梯度分明，解答题融合实际情境与综合应用，贴合高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、不等式、解三角形|基础巩固，考查数学抽象与几何直观| |多选题|3/18|概率分布、函数性质、立体几何|能力提升，注重逻辑推理与空间观念| |填空题|3/15|概率计算、圆与面积、函数图像|创新应用，体现数据意识与数学眼光| |解答题|5/77|数列、概率统计、解析几何、立体几何、导数|综合探究，如第16题电子产品检验情境考查数学语言表达，第19题导数应用培养创新意识|

定远育才学校2026届模拟预测检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设其中为虚数单位，则(    ) A. B. C. D. 2.若集合，，则 A. B. C. D. 3.若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C.   D. 4.在中，为边上一点，，，，且的面积为，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 6.已知数列满足，，则数列的前项和为(    ) A. B. C. D. 7.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为第二部分样本数据的平均数为，方差为设，，则以下命题中正确的是(    ) A. 设总样本的平均数为，则 B. 设总样本的平均数为，则 C. 设总样本的方差为，则 D. 如果，，那么 8.在空间直角坐标系中，点，，定义如图，正方体的棱长为，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有(    ) A. 若盒子里有2个红色小球,4个黑色小球,从盒子里不放回地抽取小球,则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 B. 若盒子里有2个红色小球,4个黑色小球,从盒子里有放回地抽取6次小球,则X~B(6,)且D(2X+1)= C. 若盒子里有N(N>6,NZ)个小球,其中红色小球有M个,从盒子里不放回地随机抽取6个小球,且有红色球的数学期望为2,则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D. 若X~B(3,p),~N(4,),P(X=0)=0.343,P(4<<5)=p,则P(3)=0.3 10.已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是(    ) A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有个零点 11.如图点是棱长为的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则(    ) A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得分、分、分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为，，，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于分的概率是          ． 13.在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是          ． 14.已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角的对边分别为，且． Ⅰ求的值； Ⅱ若，的面积为，求的周长． 16.本小题分 某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况现有份产品样本足够大，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次 现有份不同的产品样本，其中只有份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； 假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为． 现取其中份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求关于的函数关系式； 现将份产品样本随机分为组，每组为的正因数份，然后将各组份产品样本进行混合检验设该种方法需要检验的总次数为，当时，求的取值范围并解释其实际意义． 17.本小题分 记椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，为上动点已知过点且与恰有一个公共点的直线的方程为，与直线，分别交于，两点． 证明为定值 求面积的最小值及此时点的坐标． 18.本小题分 已知四棱锥，底面为菱形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面． 证明：； 当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值． 19.本小题分 已知，，函数． 若曲线在处的切线方程为，求的值 若函数在上单调递增，求的取值范围 若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 答 案 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  11.  12.  13.  14.  15.Ⅰ， ， ， 可得，即， ． Ⅱ由Ⅰ可得， 由正弦定理可得， ，的面积为， ，由，解得， 由可得，，或，不合题意，舍去 由余弦定理可得， 的周长．  16.设恰好经过次检验能把不合格产品样本全部检验出来为事件， 所以， 所以恰好经过次检验就能把不合格产品样本全部检验出来的概率为． 由已知得， 的所有可能取值为，． 所以， 所以， 若，则， 所以，， 所以，即， 所以关于的函数关系式为且 将份产品样本随机分为组，每组份，则， 的可能取值有， 则， 所以 ， 又，所以， 即，整理得， 两边同时取自然对数，得， 即． 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，此时且， 又是的正因数， 所以， 所以，得， 所以，即的取值范围为． 实际意义为：当时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的总检验次数，说明逐份检验较好．   17.由于直线的方程为， 当时，，即， 因为，，所以， 同理可得，， 所以，由在上，可得， 所以，所以为定值． 由设，则，因此直角梯形的面积， 因为，所以， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时，， 所以，即，代入， 可得，或舍． 因此，当，时，的面积有最小值， 此时点的坐标为  18.证明：连接、且，连接． 因为四边形为菱形， 所以， 且为的中点， 又因为， 所以， 因为且、平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为平面， 且平面平面，平面， 所以， 所以． 由知且， 因为，且为的中点， 所以， ，平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 所以， 所以，， 因为，所以． 以，，分别为，，轴，如图所示建立空间直角坐标系． 记， 所以，，， ，，，， 所以，，． 记平面的法向量为，因， 所以，即， 令，解得，， 所以， 记与平面所成角为， 所以． 所以与平面所成角的正弦值为．  19.由题意得， ， 故得， 所以， 则． 若函数在上单调递增， 则在上恒成立， 令，则， 故当时，，单调递减 当时，，单调递增， 因此， 所以，经检验，符合题意． 由得当时，单调递增，故至多一个零点，符合题意 当时，， 由于当时，，当时，， 设，可得在上单调递减，在上单调递增， 因此至多两个零点，符合题意 当时，存在两个不同零点， 设为，， 可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，， 故当时，函数存在三个不同零点，舍去 综上所述，  学科网（北京）股份有限公司 $