衔接进阶检测卷-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

2025年初升高衔接进阶检测卷 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算正确的是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 3．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 5．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（　　） A． B． C． D． 7．已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 10．设，则的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 11．下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．因式分解： ． 13．已知集合，，则集合与的相同元素组成的集合为 ． 14．已知函数在时，的最小值是，则实数的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 16．解下列不等式： (1) (2). 17．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 18．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为______件； (2)为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ (3)设商场每天盈利为元，当每件商品降价多少元时，每天盈利最多？最多是多少元？ 19．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初升高衔接进阶检测卷 数 学 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算正确的是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式的性质计算即可． 【详解】解：， 故选：B 2．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 3．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，，则，故. 故选：B. 4．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次函数的性质来确定不等式的解集. 【详解】令，所以或. 解得，. 所以不等式的解集是. 故选：A. 5．下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可. 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是， 对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误. 故选：B. 6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．根据方程满足，可得是方程的根，再由方程有两个相等的实数根，结合根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵方程满足， ∴是方程的根， ∴成立，不成立，故A选项符合题意；C选项不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，， ∴，B，D选项不符合题意； 故选：A． 7．已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 8．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【知识点】集合新定义 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断分式变形是否正确、将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据此性质逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，故错误，符合题意； 选项B：，故错误，符合题意； 选项C：，故正确，不符合题意； 选项D：，故错误，不符合题意； 故选：ABD 10．设，则的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】运用必要不充分条件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，那么一定有，所以是的必要条件. 当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件，所以是的必要不充分条件. 对于B选项，若，则一定成立，所以是的必要条件. 当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件，所以是的必要不充分条件. 对于C选项，若，则一定成立，所以是的充分条件，不符合要求. 对于D选项，若，当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件. 若，则一定成立，所以是的必要条件，所以是的必要不充分条件. 故选：ABD. 11．下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】CD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】令，则，所以又，当且仅当，即时取等号，而不满足错误；因为，当且公当，即时取等号，故的最大值为错误；若，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，C正确；因为正实数满足，所以，当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查利用十字相乘法因式分解，熟练因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知集合，，则集合与的相同元素组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【分析】逐个列举计算即可求解. 【详解】因为，， 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以，． 所以集合A，B的相同元素组成的集合为． 故答案为： 14．已知函数在时，的最小值是，则实数的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数性质可知：函数的图象开口向上，对称轴为，在区间上单调递减，在区间上单调递增.根据对称轴与区间的位置关系分类讨论即可求解. 【详解】由二次函数性质可知：函数的图象开口向上，对称轴为，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为. 令，解得，符合题意； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为. 令，即，解得，不满足，舍去； 当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值，最小值为. 令，解得，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，集合，集合．求： (1)求，； (2)求，． 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求，再求，再结合（1）结合并集定义求. 【详解】（1）因为，， 所以，， （2）因为，， 所以，又， 所以， 由（1），， 所以. 16．解下列不等式： (1) (2). 【答案】(1) (2). 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先求方程的根，作出函数的图象，利用图像即可求解； （2）原不等式可化为，计算即可求解. 【详解】（1）∵方程有两个相等的实根. 作出函数的图象如图. 由图可得原不等式的解集为. （2）原不等式可化为， ∵，∴方程无实根， ∴原不等式的解集为. 17．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【知识点】根据必要不充分条件求参数、交并补混合运算 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 18．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元，则平均每天销售数量为______件； (2)为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ (3)设商场每天盈利为元，当每件商品降价多少元时，每天盈利最多？最多是多少元？ 【答案】(1)32 (2)每件商品应降价元 (3)当每件商品降价元时，商场每天盈利最多，最多是元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、有理数除法的应用 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数解应用题，读懂题意，找准等量关系或函数关系，得到方程或表达式求解即可得到答案．读懂题意，掌握一元二次方程解法、二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元，列一元二次方程求解即可得到答案； （3）设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元，得到，由二次函数图象与性质分析即可得到答案． 【详解】（1）解：平均每天可售出20件，单价每降低1元，平均每天可多售出2件， 若降价6元，则平均每天销售数量为32件， 故答案为：32； （2）解：设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元， ， 则， ， 解得或， 为尽快减少库存， 取， 答：每件商品应降价元； （3）解：设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元， ， ， 抛物线开口向下，当时，商场每天盈利最多，最多是元． 19．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减．证明见解析 (3) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【详解】（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$