圆的弧长、阴影部分面积的计算-2026年中考数学总复习高频考点训练

**基本信息** 聚焦圆的切线证明与阴影面积计算，以“切线判定-角度计算-面积转化”为主线，系统整合圆的性质、三角形全等与三角函数，突出辅助线添加与面积差模型的迁移应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|16题|连半径证垂直、等角代换、全等/相似推理|圆的切线性质→圆周角定理→三角形性质→逻辑推理| |阴影面积计算|16题|扇形面积公式、面积差法、方程思想求半径|弧长公式→圆心角计算→规则图形面积→转化思想|

圆的弧长、阴影部分面积的计算 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切 于点D,与AC相交于点F B (I)求证：AD平分∠BAC: (②考BE=4=2,求图中阴影部分的面积 2.如图，AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D,点E为AD上一点， 连接EO并延长交切线CB于点F,且∠A=∠F】 B (I)求证：E为AD的中点； (2)若BF=6,BC=4,求阴影部分面积. 3.如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F,点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于 点C. D F (I)求证：∠PCB=∠PAD； (2)若弦DC平分半径OB,且DC=4,求图中阴影部分的面积。 A.如图，点4，B,C,D均在OO上，且AB经过圆心，点C是D 的中点，过点C作 试卷第1页，共3页 CE⊥BD,交BD的延长线于点E,延长EC,BA,交于点P, (I)求证：EF是⊙O的切线： (2若∠F=∠CBD,4F=6cm,求AC的长. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC上，以BD为直径的⊙O经过AC 上的点E,且AB=AE. B (1)求证：AC是⊙O的切线： (2)若1E=EC=2V ,求阴影部分的面积 6,如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，切线PC切⊙O于C,交BA的延长线于点P, OF BC 交AC于点E,交PC于点F. E B (1)求证：AF是⊙O的切线： (2)若AC=8,∠B=30°，求阴影部分的面积. 7.如图，AB为半圆O的直径，DC与半圆相切于点C,DE上AB于点E,与半圆相交于点 试卷第2页，共3页 F,连接AC与DE交于点G. D AE B (1)写出图中一个与∠DGC相等的角： (2)求证：DC=DG: (3)若点E为OA的中点， BC=CF,AB=4,求阴影部分的面积. 8.在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D 作DF⊥AC于点F. B (1)求证：DF是⊙O的切线： (2)如图，若⊙O的半径为2，∠CDF=15°，求阴影部分的面积. 9.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上位于AB两侧的两点，∠ABD=2∠BDC, CP⊥DB AC,BC 交DB的延长线于点P,连接 D O (I)求证：CP是⊙O的切线： (2若PC=3PD=35 求图中阴影部分（线 PB,PC及BC围成的图形)的面积 及 试卷第3页，共3页 10.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D.过点D作 DE⊥AC,垂足为点E,延长CA交⊙O于点F. F A D (1)求证：DE是OO的切线： (2)若AF=6,∠BAC=120°，求图中阴影部分的面积. 11.如图，△ABC内接于⊙O,连接OC,OC平分∠ACB,点D在弧BC上，过点B作 BE⊥CD,交CD的延长线于点E,∠ACB=2∠BCD. o. D (1)求证：BE是⊙O的切线： (2)若ACBE,DE=1,求阴影部分的面积. 12.如图，点A,B,C,D在⊙O上，BD为直径，E为AB延长线上一点，ECIIBD,且 ∠BAC=45° (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若BD=2,tan∠ABD=2,求阴影部分的面积.（结果保留元） 13.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长 交⊙O于点E,过点E作EFI∥BC交AB的延长线于点F. 试卷第4页，共3页 D B (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为6，sin∠AEC=1 求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）· 14.如图，P为⊙O外一点，A为⊙O上一点，BC是⊙O的直径，OP‖AB,且PC与 ⊙O相切于点C,连接PA和OA. A B (1)求证：∠AOP=∠COP: (2)求证：PA与⊙O相切： (3)若∠ABC=60°，0B=2,求阴影部分的面积. 15.如图，△ABC内接于⊙O,点E是直径AD延长线上一点，∠EBD=∠BAE. (1)求证：BE是⊙O的切线： (2)若∠C=2∠E,AB=2V5 求图中阴影部分的面积 16.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接AC,将△ACE沿AC翻折得 到△ACF,直线CF与直线AB相交于点G. 试卷第5页，共3页 A B G D (1)求证：直线CF与⊙O相切： (2)若∠CAF=30°，BG=3.求阴影部分的面积. 试卷第6页，共3页 参考答案 1.(1)证明：连接OD, O 与BC相切于点D, B C.⊙O .OD⊥BC, 即∠0DB=90°， ∠C=90°， .∠ODB=∠C, .OD‖AC .∠DAC=∠ODA, OD=0A. .∠BAD=∠ODA, ∠BAD=∠DAC, .AD平分∠BAC 23-5 4 【分析】(I)根据圆的切线的性质可得OD⊥BC,可进一步证明OD‖AC,再根据平行 线的性质及等腰三角形的性质，即可证明结论： (2)设OD与EF交于M,连接OF,先求出OD=2,OB=4,得到∠DOE=60°，进一 步求得∠E0F=120EF=2V ，即可根据 s=Sme0er-S.oer求解。 【详解】(1)略 (2)解：设OD与EF交于M,连接OF, :AE是⊙O的直径， .∠AFE=90°」 .ODI AC 答案第1页，共2页 .∠OME=∠AFE=90°， 即OD⊥EF, .OE=OF ∴.∠DOE=∠DOF,ME=MF, 阳-号-2， 0D=01=0E=4E=2. ..OB=BE+OE=4. 在RtOBD中，c0s∠DOE=OD-1 OB 2 ∴.∠DOE=∠DOF=60°， ME-MF-OE-sin602x 2 OM=0E.cos60°=2x 2l,∠EOF=∠D0E+∠D0F=120, 2 ∴.EF=ME+MF=2√5 120元×224 ∴.S扇形OEF= 3603" ,5m-Fow=25x1=5. 4 ·S阴影=S扇形OEr-S.OEr=元-V5 3 M: C 2.(1)证明：AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线， AB⊥BC, .∠ABF=90° :∠A=∠F,∠EOA=∠BOF, .180°-∠A-EOA=180°-∠F-∠BOF, .∠AEO=∠FBO=90°， 答案第2页，共2页 .OE⊥AD, .E为AD的中点： (25W3-2x 【分析】(1)由切线的性质可得∠ABF=90°，再证明∠AE0=∠FB0=90°，则由垂径定 理可证明E为AD的中点： (2)连接OD,设⊙O的半径为r,则OD=OB=nAB=2r,证明△ABC∽aFBO,得到 AB BC 2r4 BF=OB,即6=，可求出r=25,则0B=0A=2√3，AB=4V5,解直角三角形得 到2F=30,则A=30,可得∠B00=2∠1=60：解直角三角形得到0E=5,E=3, 则4D=6,根据5=Sc-Saw-am列式计算即可。 【详解】(1)略 (2)解：如图所示，连接OD, B 设⊙O的半径为r,则OD=OB=nAB=2r, ,AB为⊙O直径，CB是⊙O的切线， ∠ADB=90,AB⊥BC, .∠ABF=∠ABC=90°， 又，∠A=∠F, .△ABC∽AFBO AB BC 2r 4 BF=OB,即6r, :=25或-25 (舍去)， 答案第3页，共2页 :0B=0A=25AB=45 tanF-OBv3 BF3, .∠F=30°， .∠A=30° .∠B0D=2∠A=60°： 由(1)得∠AE0=90°，E为AD的中点， OE-04-sind-3 4E=04.c0s4=3 AD=6, :S能=Sc-Sao-S4oD =x4x45 60π×(232 360 2 =8√3-2π-3W5 =5V5-2π 3.(1)证明：如图，连接OC, D .OB=OC .∠OBC=LOCB, 由圆周角定理得：∠ADF=∠OBC, ∠OCB=LADF, .CP与⊙O相切， .OC⊥PC, .∠PCB+∠OCB=90°， AB⊥DC, 答案第4页，共2页 ∴.∠PAD+∠ADF=90°， ∠PCB=∠PAD; 8 (2)gπ 【分析】(I)首先可证得∠OBC=∠OCB,由圆周角定理得：∠ADF=∠OBC,可得 ∠OCB=∠ADF,再根据切线的性质，可得∠PCB+∠OCB=90°，根据垂直的定义可得 ∠PAD+∠ADF=90°，据此即可证得； 2首先由弦pC平分半径OB:080C,可得0F=,0D,Z00F=30 2 ∠DOF=60°，解直角三角形进行求 OD=43 3,再根据AB⊥DC,可得DF=FC,即 可证得 am-Saom=Sm,技后由5o-S印可求得 【详解】(1)略 (2)解：如图：连接OD, D A:弦，平分半径 DC OB OB-OC BF2OF,在RtAODF中，OF=) ∴.sin∠ODF= OF 1 OD 2 .∠0DF=30°， .∠D0F=60°， AB⊥DC,DC=4, ..DF=FC=2, ..OD DF .24V5 sin∠DF0sin60°3， BF=OF,AB⊥DC, 答案第5页，共2页 ∴.SacB=S&CFO=Saro 60π× 45)2 3 8 ·S阴影都分=S扇形8O0= π· 360 9 4.(1)证明：连接0C, B“点c是 的中点， AD .CD=AC ∠1=∠3， .OB=OC .∠1=∠2， .∠2=∠3 :BE∥OC, CE⊥BD, ∠OCF=∠E=90°，即：OC⊥EF, :OC是半径， ∴.EF是⊙O的切线： a4C的长为2cm 【分析】(1)连接OC,由圆周角定理得到∠I=∠3，然后证明BE∥OC,由CE⊥BD, 得到OC⊥EF,即可证明： (2)先证明∠1=∠3=∠F,进一步可求∠F=30°，则∠A0C=90°-∠F=60°，可证明 △A0C为等边三角形，则A0=AC,∠CA0=60°，可求∠ACF=∠F=30°，那么 OA=AC=6,再利用弧长公式求解即可. 【详解】(1)证明：略： (2)解：∠F=∠3， 答案第6页，共2页 ∠1=∠3=∠F, ∠E=90°， ∠1+∠3+∠F=90°， .3∠F=90°， ∠F=30°， .∠0CF=90° .∠A0C=90°-∠F=60°， .0A=OC. △AOC为等边三角形， .∠CA0=∠AOC=60° :∠CAO=∠F+∠ACF.∠F=30°， .∠ACF=∠F=30° .AC=AF=6 .:.OA=AC=6, “AC的长为180 60rx6=2π(cm）. 5.(1)见解析 45-智 △ABO≌△AEO(S,S,S 【分析】(1)证明 ,得到∠AB0=∠AE0=90°，即可证明结论： (2)由己知可得4B=24C,解直角三角形求出∠C=30°，求出∠C0E=60,进而求出 ∠B0E=120°， 利用勾股定理求出BC=6,利 S期影=S.4c-S.c0e-S0即可求解。 【详解】(1)证明：连接OE,OA, 公 B 0 答案第7页，共2页 AB=AE 中， OA=OA 在△ABO和 AEO OB=OE' ,△ABO≌△AEO(S,S,S) .∠AB0=∠AE0=90°， .OE⊥AC, 又.OE是⊙O的半径， .AC是⊙O的切线： (2)解：1E=BC=25.AB=4E AC=4E+CE=4 .∠ABC=90°， :sin∠C=AB1 AC 2, ∴.∠C=30°， :OE⊥AC,即∠OEC=90°， .∠C0E=90°-∠C=60°， .∠B0E=180°-∠COE=120° ..BC=AC2-AB2=6 OE=CE.tanLC=2 :S能=S4c-S.cE-Sg形oE -4c-ogcg-120*2 360 ×25x62x25-g 3 =65-2V5-4 3 =4V5-4π 3 答案第8页，共2页 6.(1)见解析 (2)32V5-32π 3 【分析】(1)连接OC,先根据切线的性质得到∠FCO=90°，再证明△COF≌△AOF,可 得∠AO=∠FCO=90°，即可根据切线的判定证明结论： (2)先求出∠AOC=60°，OA=8,PC=83,再根据S△Pc0-S扇形O4c计算，即可得到 答案。 【详解】(1)证明：△ABC内接于⊙O,AB是直径，切线PC切⊙O于C,交BA的延 长线于点P,连接OC, 由题意可得：∠FC0=90°， :OF∥BC, ∴.∠B=∠AOF,∠OCB=∠COF OB=OC. ∴.∠B=∠OCB ∠COF=∠AOF, .OC=OA,OF =OF .∴.△COF≌△AOF(SAS) ∴.∠FAO=∠FCO=90° ∴AF是⊙O的切线： (2)解：由(1)知，∠COF=∠AOF=∠B, ∠B=30° ∴.∠AOC=∠COF+∠AOF=2∠B=60°， ,AB是直径， 答案第9页，共2页 .∠ACB=90°」 .∴.AB=2AC=16, ∴OC=0A=8, 在RtAPCO0中，PC=OC·tan∠AOC=8×tan60°=83， 阴影部分的面积=SPco-S形0c= )x8x8V3-60mx8 =325-32z 360 31 7.(I)∠AGE(∠AGE或∠DCG均可) (2) 证明：连接OC,如图 D 与半圆相切于点C,OC为半径， B'.DC ∴.∠DC0=90° ∴.∠DCG+∠AC0=90° 又：DE⊥AO .∠CAO+∠AGE=90° 又0A=OC, ∴，∠CAO=∠ACO ∴.∠DCG=∠AGE, .∠AGE=∠DGC .∠DCG=∠DGC, :DC=DG: 2√5 6)3π-3 【分析】(1)连接OC,先推导出LDCG+∠AC0=90°，∠CA0+∠AGE=90°，继而求 出LCAO=∠ACO,得到LDCG=∠AGE=∠DGC,即可解答： (2)连接0C,先推导出LDCG+∠AC0=90°，∠CA0+∠AGE=90°，继而求出 ∠CAO=∠ACO,得到∠DCG=∠DGC,则DC=DG,即可解答： 答案第10页，共2页 (3)连接Or,CR、AC,先推导出0E=04=号=10F-1B=2,AF-Or-2 得到cos∠EOF=OE-1 OF-2,△40F为等边三角形，且∠40F=60°，求出 G-AEm30FFOrinc 3, ∠B0C=∠C0F=080-∠A0r)-60进而推导出FCIB,得到S.c=Sac,则 SH=S第形F0-S4PcF360 =60x元x4-×25x1=2元-5 2×3×1=- 33,即可解答. 【详解】(1)解：∠AGE或∠DCG,理由如下： 连接OC,如图 D 与半圆相切于点C,OC为半径， G A EO B.DC .∠DC0=90° .∠DCG+∠ACO=90° 又：DE⊥AO .∠CAO+∠AGE=90° 又0A=OC, ∴.∠CAO=∠ACO, .∠DCG=∠AGE, :∠AGE=∠DGC. ∴.∠DCG=∠AGE=∠DGC (2)略 (3)解：连接OF、CF、AF,如图 答案第11页，共2页 C 4 :点E为OA中点， B DE⊥AO 0E=04=4B=10r-B=2,4F-0r=2 41 2 cos∠EOF=OE_1 OF=2,△40F为等边三角形，且∠40F=60, :∠E0F=60°，∠ACF=1∠E0F=30° GABan3O 3 又BC=CF :∠B0C=∠C0F=1(180°-∠40F)=60°， 2 :∠CM0=)∠B0C=30. 2 :∠ACF=∠CAO=30°， .FCI AB S.AFC =SOFC 60 :.S用=S形P0c-S.4G=360 π×4- 1231-23 ×1= 2 3 3 3. 8.(1)见解析； 4 (2)3元-5 【分析】(1)连接OD,根据AB=AC,OB=OD,得出∠ODB=∠C,证明ODI‖AC, 根据平行线的性质进一步证明OD L DF,根据切线的判定求出即可； (2)连接OE,过O作OM⊥AC于M,则∠AM0=90°，求出AE、OM的长和∠AOE的 答案第12页，共2页 度数，最后根 S=S0oE-S.0E,即可求解。 【详解】(1)证明：连接OD, B AB=AC OB=OD .∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB, ∴.∠ODB=∠C .OD‖AC DF⊥AC, .DF⊥OD, .OD是⊙O的半径， ∴.DF是⊙O的切线： (2)解：连接OE,过O作OM⊥AC于M,则∠AMO=90°， M DF⊥AC .∠DFC=90°， .∠CDF=15°. .∴.∠C=180°-90°-15°=75°， .AB=AC. ∴.∠ABC=∠C=75°， ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30° 答案第13页，共2页 0w=04-2-1 AM=VO-OM =2= .OA=OE,OM⊥AC, :.AE=2AM=2V3∠BAC=∠AE0=300 ..∠AOE=180°-∠BAC-∠AE0=180°-30°-30°=120°， ∴.S阴=S第形AOE-SA0E= 120°π×221 1x25=-4x-5. 360°2 9.(1)见解析 95-2元 (2)2 【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理证明∠BOC=∠ABD,那么OC‖DP,即可证明； (2)先解R△PCD,求出∠D=30°，然后证明△BOC为等边三角形，再得到∠PCB=30°， 解aP8C,求出BC=23,则oC=25.PB=5,最后由E=5m5ec求 解即可. 【详解】(1)证明：连接OC, B .·AB是⊙O的直径， .∠BOC=2∠BDC, ∠ABD=2∠BDC, ∴.∠BOC=∠ABD, :.OC//DP, CP⊥DB, .OC⊥CP, 答案第14页，共2页 ∴.CP是⊙O的切线. PC 33 tan D= (2)解：在RtAPCD中， PD333, ∠D=30° 由(1)知∠B0C=2∠BDC=60°， 又：B0=OC, ∴△BOC为等边三角形， ∴.∠OCB=60°，BC=OC. :OC⊥CP, ∠PCB=30°， PC3 在RtAPBC中，BC= =2W5 cos∠PCB cos30° .OC=23 PB=3 8-Sa6+23x360mx26982a 2 360 2 10.(1) 证明：如图1，以AB为直径的⊙O交BC于点D,连接OD, F D 图1 则OD=OB, .∠OBD=∠ODB AB=AC, ∠B=C, .∠ODB=∠C, .ODI AC 答案第15页，共2页 :DE⊥AC, .OD⊥DE, :OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线： 05-6 【分析】(1)连接OD,由OD=OB根据“等边对等角”得∠OBD=∠ODB,已知 ∠B=∠C,即可得∠ODB=LC,根据“同位角相等，两直线平行”得OD‖AC,根据 DE⊥AC,可得OD⊥DE即可证明结论： (2)过点0作OG1AF,垂足为点G,根据重径定理，则得4G=GF)4F=3,料根据 2 等边对等角以及三角形的外布的性质可为<01G60,解直角三角形可得0G=3 O16,进而得到Sc号3：再证明四边形ODG是矩形，以及=185：易 得∠40D=2∠B=60 S扇形O4D=6 , ,最后根据SM影=S知形ODEG-S△AOG-S扇形OAD求 解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图2，AF=6,∠C=30°，过点O作OG⊥AF,垂足为点G, FG 八A 9 B D 1 图2 ∴.AG=GF= AF=3 2 AB=AC. .∠B=∠C=30°， ∴.∠OAG=∠B+∠C=60, 0G=AG-am60=35,0A= =6=0D c0s60° 答案第16页，共2页 DE⊥AC,OG⊥AF,OD⊥DE .∠GED=90°，∠ODE=90°，∠OGE=90°， ∴.四边形ODEG是矩形， ·SE形o0ec=6×3V5=18V5 .∠AOD=2∠B=60°， .S扇形04AD 60π.62 =6π， 360 S影=SE00o-SA0c-S0D=185-95-6r=275-6元 2 2 11.(1)证明：连接OB,则OB=OC, A D B E .∠OCB=∠OBC OC平分∠ACB,∠ACB=2∠BCD. .∠OCA=∠OCB=∠BCD .BE⊥CD ∴.∠BCD+∠CBE=90°， .∠OBC+∠CBE=90°， .OB⊥BE,OB为⊙O的半径， BE是⊙O的切线： 【分析】(1)连接OB,则OB=OC,由OC平分∠ACB,∠ACB=2LBCD,得 LOCA=∠OCB=LBCD,等量代换得∠OBC+∠CBE=90°即可： (2)连接BD,OD交BC于点F,则OC=OD,证aOCD是等边三角形，设 答案第17页，共2页 0C=0D=CD=,CE=r+1,得CE=BC.cos30°=3 2解得，=2，由勾股定理得 BD=BE2+DE2=2 证四边形OBDC是麦形，得.c=S,0,用制补法求面积即可. 【详解】(1)略 (2)解：连接BD,OD交BC于点F,则OC=OD, A D B E :ACI‖BE,BE⊥CD,DE=1, ∴.∠ACE=90, 由(1)得∠OCA=∠OCB=∠BCD, .∠OCA=∠OCB=∠BCD=30°， .∠B0C=180°-30°-30°=120°，∠0CD=30°+30°=60°， 又OC=OD .△OCD是等边三角形， ..OC=OD CD 设OC=OD=CD=r,CE=r+L, ·BC=2.0Ccos30°=V5r,BE=BC-sin30=V CE=BC.c0s30 2, 2， 3r 之+1，解得，=2 0C=OD=CD=2,CE=3.BE-3 BD=BE2+DE=2 ..OC=OB=OD=CD=BD=2. ∴.四边形OBDC是菱形，∠BOD=60° 答案第18页，共2页 S.CDF=S.BOF 60 元x0B'=2xπx4= 2 .S阴影都分=S第形080=3601 6 12.(1) 证明：连接OC, B .·∠BAC=45, .∠BOC=2∠BAC=90°，即OC⊥BD, .EC BD, OC⊥CE, .OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线； a5 【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理，得到∠BOC=2∠BAC=90°，根据平行线 的性质，得到∠OCE=90°，即可得证： (2)作BF⊥CE于点F,易得四边形BOCF为正方形，解Rt△BFE,求出EF的长，再 利用分割法求出阴影部分的面积即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图，作BF⊥CE于点F, 由(1)知：∠BOC=∠OCE=90°， ∴四边形BOCF为矩形， ..OC=OB 答案第19页，共2页 ∴.四边形BOCF为正方形， BD=2, :BF=0C=号BD-1, .OB CE, ∴.∠E=∠ABD :tan∠E=tan∠ABD=B EF =2, .EF=BF_1 22: S阴影=SE方形BOCF+S△BFE-S扇形BOc 360 1*哈晋 =5-n 4 13.(1) 证明：连接OE,交BC于点G, .OA=OE ·.∠OAE=∠OEA, 又：D为△ABC的内心， .∠OAE=∠CAE. .∠OEA=∠CAE, ..OE Il AC, ∴.∠BGO=∠BCA, 又：AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， 答案第20页，共2页 .∠BG0=90°， 又，BCI‖EF, .∠FEO=∠BGO=90, .EF是⊙O的切线： (2)18V3-6π 【分析】(I)连接OE,交BC于点G,根据等腰三角形的性质得到∠OAE=∠OEA,由D 为△ABC的内心，得到∠OAE=∠CAE,求得OEI‖AC,根据圆周角定理得到LACB=90°， 求得∠BG0=90°，根据切线的性质得到∠FE0=90°即可： (2)根据三角函数的定义得到∠AEC=30°，求得∠BAC=2∠EAC=60°，再求得 EF=OE·tan60°=63，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论. 【详解】(1)略 (2)解：'sin∠AEC= 2, ∴.∠AEC=30° .∠ABC=∠AEC=30° 又∠FEO=∠BGO=90°， ∴.∠BOE=60°，∠EF0=30°， ∴.EF=0Etan60°=6R3, ·S阴影部分=S,EF0-S角形BOE -分×6×63600nX6 360 =18V3-6π. 14.(1) 证明：连接AC, 答案第21页，共2页 B .BC是⊙O的直径， .∠CAB=90°，即CA⊥AB, OPII AB」 AC⊥OP, .0A=0C, .∠AOP=∠COP: (2) 证明：，PC与⊙O相切于点C, .∠0CP=90° 由(1)知：∠AOP=∠COP, 又.OA=OC,OP=OP :△P0≌PCo(MS) .∠OCP=∠OAP=90°，即OA⊥AP, 又，OA为半径， .PA与⊙O相切； 8g-6 【分析】(1)连接AC,圆周角定理得到∠CAB=90°，根据OP‖AB,得到AC⊥OP, 三线合一，即可得出结论； (2)证明△PAO≌aPC0,得到∠OAP=90°，即可； (2)用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 答案第22页，共2页 (3)解：∠ABC=60°，OB=2 .BC=4,∠ACB=90°-∠ABC=30° :4B-IBC-2.AC=BC-AB=2 ..OB=OC, 1 11 S408=)S4c=)x号x23x2=V3 2 22 ∴.阴影部分的面积=S扇形OB-S。4OB =60r×2-5=2π-V5 360 3 15.(1) 证明：连接OB, D B E.OB=OD .∠OBD=∠ODB. ,'∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°， ∠0BD+∠B0D=90, 1 :∠BAE=2∠BOD,∠EBD=∠BAE, .∴.∠OBE=∠OBD+∠EBD=90 .OB⊥BE, :OB是⊙O的半径， BE是⊙O的切线： ②)图中阴影部分的面积为25-2” 3· 【分析】(I)连接OB,结合0B=OD推得∠OBD+号∠BOD=90°，再结合 ∠BAE=号∠BOD,∠EBD=∠BAE,即可i证∠OBE=∠OBD+∠EBD=90°， 答案第23页，共2页 (2)结合圆周角定理得∠C=∠ODB,再结合外角性质推得∠EBD=∠E=30°， ∠BOD=60° 由等角对等边得BE=AB=2V3,利用解直角三角形的计算求出OB,最后由 S阴影=SAOBE-S扇形OBD即可得解. 【详解】(1)略 (2)解：“AB=AB .∠C=∠ODB ,:∠ODB=∠EBD+∠E,∠C=2∠E, ∴.2∠E=∠EBD+∠E,即∠E=∠EBD, ∴.∠ODB=2∠EBD=2∠E, ,∠OBD=∠ODB,∠OBD+∠EBD=90, ∴.2∠EBD+∠EBD=90°， .∴.∠EBD=∠E=30°，∠OBD=∠ODB=60°， ∴.∠BOD=60° .·∠EBD=∠BAE, ∴∠E=∠BAE, .∴.BE=AB=23, 0B=BE.tan∠E=23×23 3 2 S=、-S0D52×23-602=23-2 360 31 16.(1) 证明：如图，连接OC A E B G D :CD⊥AB 答案第24页，共2页 .∠AEC=90°，∠OAC+∠ACE=90° .OA=OC .∠OAC=∠OCA. 由折叠的性质得：∠ACP=∠ACE, ∴.∠OCF=∠ACF+∠OCA=∠ACE+∠OAC=90°， 即OC⊥CF, 又，OC是⊙O的半径， .直线CF与⊙O相切. 9√3-3π (2)2 【分析】(1)连接OC,先根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA,再根据折叠的性 质可得∠ACF=∠ACE,从而可得∠OCF=9O°，然后根据圆的切线的判定即可得证： (2)连接OC,BC,先根据等腰三角形的判定可得BC=BG=3,再根据等边三角形的判定 ∠COB=60°，OB=3 与性质可得 利用勾殷定理可得CG=4C=35 然后根据阴影部分的 面积等于Rt△OCG的面积减去扇形OBC的面积即可得. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接OC,BC, 由折叠的性质得：∠CAE=∠CAF=30°，∠F=∠AEC=90° .∠ACF=60°， ∴.∠G=∠ACF-∠CAE=30°=∠CAE. 答案第25页，共2页 ..AC=CG. ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90° ∠ABC=60°， .∠BCG=∠ABC-∠G=30°=∠G. ∴BC=BG=3, 又OB=OC,∠ABC=60°， ∴.△OBC是等边三角形， ∴.OB=OC=BC=3,∠COB=60° .∠OCG=90°，AB=6,AC=VAB2-BC2=3V5 .CG=33 1 则阴影部分的面积为 a0o-S0形0x=)×3x3V5-60rx32_95-3z 2 3602. 答案第26页，共2页