精品解析：甘肃省张掖市甘州中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2025春学期期中测试卷八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列平面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 即是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选B． 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查不等式的性质．熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键． 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 数轴表示如下所示： ， 故选；A． 5. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 6. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式； 对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A. （﹣1，1） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （1，2） 【答案】A 【解析】 【分析】根据点平移规律“左减右加，上加下减”求解即可． 【详解】解：根据向左平移横坐标减， 向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1， 即A′的坐标为（﹣1，1）． 故选：A． 【点睛】本题坐标与图形变化-平移，解题的关键是熟练掌握点的坐标平移规律． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，以C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，点B在边A′B′上，则∠BDC为（ ） A. 70° B. 90° C. 100° D. 105° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，再由旋转的性质可知BC=B′C, ∠ABC=∠B′，从而求出∠BCB′，根据旋转角相等求出∠ACA′，最后根据外角定理即可求出∠BDC. 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°， ∴∠ABC=90°－35°=55°， 由旋转的性质可知BC=B′C, ∠ABC=∠B′，∠BCB′=∠ACA′， ∴∠ABC=∠B′=∠B′BC=55°， ∴∠BCB′=180°－∠B′－∠B′BC=180°－55°－55°=70°， ∴∠ACA′=70°， ∴∠BDC=∠A+∠ACA′=35°+70°=105°. 故选D. 【点睛】本题考查了旋转求角度，等腰三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 9. 对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能(　　) A. 被8整除 B. 被m整除 C. 被m－91整除 D. 被2m－1整除 【答案】A 【解析】 【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除． 【详解】（4m+5）2-9=（4m+5）2-32=（4m+8）（4m+2）=8（m+2）（2m+1）， ∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数， ∴该多项式肯定能被8整除． 故选A． 【点睛】此题考查了因式分解-公式法和提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键． 10. 如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线； ②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA； ③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC． ④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA． 【详解】解：如图， ①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， ∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度， ∴D、A、E三点共线；故①正确； ②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠BDC=∠E=60°， ∴∠CDA=120°-60°=60°， ∴DC平分∠BDA；故②正确； ③∵∠BAC=60°， ∠E=60°， ∴∠E=∠BAC．故③正确； ④由旋转可知AE=BD， 又∵∠DAE=180°， ∴DE=AE+AD． ∵△CDE为等边三角形， ∴DC=DB+DA．故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角是___________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故答案为：或． 13. 如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 为的角平分线，，， ， 的面积， 故答案为：15． 14. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出A点坐标是解题的关键． 首先利用函数过点，求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 不等式的解集为 故答案为：． 15. 如图，在中，90°，，将沿CB向右平移得到，若平移距离为3，则四边形ABED的面积等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】将沿CB向右平移得到，平移距离为3， ，， 四边形ABED是平行四边形， 四边形ABED的面积， 故答案为12． 【点睛】本题考查了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 16. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 三、解答题 17. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解： （1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （4）利用平方差公式、完全平方公式分解因式 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和． 【答案】3 【解析】 【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为： ， ， ， ， ， ∴所有整数解的和为：． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出平移后得到的，使得点的对应点的坐标为，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，写出点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，图见解析 （2）点的坐标为，图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——平移变换和旋转变换，根据平移、旋转的性质找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据，确定平移的方向和距离，找出、的位置，然后连线即可得到，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）根据网格结构找出点B、C绕着点A顺时针旋转后对应点的位置，然后与点A顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点的坐标为． 20. 已知：如图，A，E，F，C四点共线，，，，垂足分别为E，F，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．先证明，再证明，可得，可得． 【详解】略 21. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y>1，求k的最小整数值． 【答案】k的最小整数值为3． 【解析】 【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出k的范围，确定出k的最小整数解即可． 【详解】解：， ①+②，得：3x+3y=3k-3， 则x+y=k-1， ∵x+y＞1， ∴k-1＞1， 解得：k＞2， 则满足条件的k的最小整数值为3． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ． （1）若△APQ的周长为18，求BC的长； （2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数． 【答案】（1）18；（2）40°． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据等腰三角形的性质计算． 【详解】（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA=PB，QA=QC， ∵△APQ的周长为18， ∴AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=18， ∴BC=18； （2）∵∠BAC=110°， ∴∠B+∠C=70°， ∵PA=PB，QA=QC， ∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C， ∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°， ∴∠PAQ=110°-70°=40°． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 23. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 24. 阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）的三边满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）按照题目给出的方法，把前三项分成一组，后两项分成一组，因式分解即可； （2）按照题目给出的方法先把等式左边因式分解，得出三边的关系，再判断三角形形状即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， ， 是三角的三边， ， ， 得， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了分组分解法进行因式分解，解题关键是读懂题目给出的方法，熟练运用这种方法进行因式分解． 25. 如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】(1)根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可； (2)连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可求得CD． 【详解】(1)∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠ACB=60°， 由旋转的性质可得： CE=CD，∠DCE=60°， ∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD， 即∠ACE=∠BCD． 在△ACE和△BCD中， ∵， ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE=BD； (2)连接DE． ∵CD=CE，∠DCE=60°， ∴△DCE是等边三角形． ∴∠CDE=60°，DC=DE． ∵∠ADC=30°， ∴∠ADC+∠CDE=90°． ∵AD=3，BD=4， ∴AE=BD=4． 在Rt△ADE中，由勾股定理， 可得． ∴DC=DE=． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，连接DE发现等边三角形与直角三角形是解题的关键． 26. “天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 （1）求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ （2）若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） （3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【答案】（1）釉色A瓷器每套售价350元，釉色B瓷器每套售价680元 （2） 设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套， 根据题意得，解得， 为整数， 可以取12，13，故可以有两种进货方案： ①购进釉色瓷器12套，则购进釉色瓷器8套； ②购进釉色瓷器13套，则购进釉色瓷器7套； （3）1240元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解决实际问题，涉及解二元一次方程组、一元一次不等式组等知识，读懂题意，找准题中的等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键． （1）设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元，找到等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套，由不等关系列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）中的情况，分类求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元， 根据题意得，解得， 答：釉色瓷器每套售价350元，釉色瓷器每套售价680元； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当进货方案为方案①时，此时的利润为（元）； 当进货方案为方案②时，此时的利润为（元）； ， 该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 27. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图所示，根据，，将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接， ∴， ∴，， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得， 即 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是灵活掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出全等三角形，得出相等的边和角，证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，则与重合，连接，根据旋转得出相等边和角，证明，得到相等边，最后利用勾股定理即可得出结论； （3）经过两次旋转，根据角的度数及旋转的性质得出，点在同一条直线上，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，且， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示， ∵，， ∴，， 由勾股定理得， 将绕点顺时针旋转，得到，点在同一条直线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴点在同一条直线上， 将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵， ∴为等边三角形，点在同一条直线上， ∴，， 过点作，交的延长线于点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025春学期期中测试卷八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列平面图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. 12 B. 7 C. 4 D. 3 7. 在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A. （﹣1，1） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，2） D. （1，2） 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，以C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，点B在边A′B′上，则∠BDC为（ ） A. 70° B. 90° C. 100° D. 105° 9. 对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9一定能(　　) A. 被8整除 B. 被m整除 C. 被m－91整除 D. 被2m－1整除 10. 如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式：______． 12. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角是___________________． 13. 如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是_______． 14. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 15. 如图，在中，90°，，将沿CB向右平移得到，若平移距离为3，则四边形ABED的面积等于______． 16. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 三、解答题 17. 因式分解 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 解不等式组 ，并求出它的所有整数解的和． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出平移后得到的，使得点的对应点的坐标为，并写出点的坐标； （2）画出绕点顺时针旋转后得到的，写出点的坐标． 20. 已知：如图，A，E，F，C四点共线，，，，垂足分别为E，F，且，求证：． 21. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y>1，求k的最小整数值． 22. 如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ． （1）若△APQ的周长为18，求BC的长； （2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数． 23. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 24. 阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为： 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： （1）分解因式： （2）的三边满足，判断的形状． 25. 如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长． 26. “天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 （1）求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ （2）若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） （3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 27. （1）阅读材料 如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13．求的度数； 为了解答本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； （2）基础运用 请你利用第（1）题的方法，解答下面的问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点，且． 求证： （3）能力提升 如图③，在中，，点O为内一点，连接，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $