精品解析：甘肃省兰州市榆中县2024-2025学年下学期4月期中七年级数学试题

2024-2025学年度第二学期期中试卷 七年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答题全部在“答题卡”上完成，试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则的补角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选C． 2. 2025年，中国科学家研发的新型纳米防水材料厚度仅为0.000000025米（25纳米），该材料可应用于航天器表面防护．根据《国家纳米技术发展规划》，此材料的大规模生产将推动微电子领域革新．将纳米材料厚度0.000000025米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据0.000000025用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：将纳米材料厚度0.000000025米用科学记数法表示为米． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方． 根据幂的运算性质和整式乘法法则，需逐一验证各选项的正确性， 【详解】解：A、，故该选项A不正确，不符合题意； B、，故该选项B不正确，不符合题意； C、，故该选项C不正确，不符合题意； D、，故该选项D正确，符合题意； 故选D． 4. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 空山新雨后，天气晚来秋．（王维《山居秋暝》） B. 危楼高百尺，手可摘星辰．（李白《夜宿山寺》） C. 野火烧不尽，春风吹又生．（白居易《赋得古原草送别》） D. 小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头．（杨万里《小池》） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的概念，即在一定条件下必然不会发生的事件，需结合诗句描述的情景判断其是否可能发生 【详解】解：选项A：描述雨后天气转凉，属于自然现象，可能发生，为随机事件，不符合题意； 选项B：“手可摘星辰”运用夸张手法，现实中人无法摘到星星，故为不可能事件，符合题意； 选项C：野草被烧后再生符合植物生长规律，可能发生，为必然事件或随机事件，不符合题意； 选项D：蜻蜓停于初生荷叶上，符合自然现象，可能发生，为随机事件，不符合题意； 综上，只有选项B描述的情景不可能发生， 故选B 5. 以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定 D. 弯曲河道改直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 6. 下列整式乘法中，可以运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式， 根据平方差公式的特点判断即可，掌握平方差公式的特点是解题的关键． 【详解】解：A、符合平方差公式特点，故选项符合题意； B、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； C、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； D、没有相同项，不能用平方差公式，故选项不符合题意； 故选：A． 7. 如图，下列不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法对各选项进行判断．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：A、，，故该选项正确，不符合题意； B、，，故该选项正确，不符合题意； C. ，，故该选项正确，不符合题意； D. ，不能判定，符合题意； 故选：D． 8. 若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含项，得出与的关系即可． 【详解】解：原式 展开的结果中不含有项 ． 故选：C． 9. 如图，直线与直线相交于点，点为平面上一点，连接，下列说法中，①和是同位角；②和是内错角；③和是对顶角；④和是同旁内角；⑤和互为补角．正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角定义．解答此题确定三线八角是关键．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角．同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：①和是同位角，说法正确； ②和不是内错角，说法错误； ③和不是对顶角，说法错误； ④和是同旁内角，说法正确； ⑤和互为补角，说法正确 结论一定正确的有①④⑤共3个； 故选：B． 10. 在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（ ） A. 6个 B. 19个 C. 25个 D. 26个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．用球的总数乘以白球所占球的总数的频率，即为白球的个数． 【详解】解：∵摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右， ∴摸到白球的频率稳定在左右， ∴白球的个数为：， 故选：D． 11. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：D． 12. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式乘法的规律，观察杨辉三角图形规律，可知的第三项系数为，据此求解即可得到答案． 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，把原式变形为，据此计算求解即可． 详解】解： ， 故答案为：． 14. 太阳运行的轨道近似一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为份，每度就是一个节气，统称“二十四节气”这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，将黄道制作成一个转盘，任意转动一次转盘，指针落在每一个区域的可能性相同，则任意转动一次转盘，指针落在“冬至”区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率，熟知概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．首先由图可得此转盘被平分成了等份，其中“冬至”区域有份，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵如图，此转盘被平分成了等份，其中“冬至”有份， ∴指针落在“冬至”区域的概率是：． 故答案为：． 15. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 16. 如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质． 三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，根据相关计算法则进行计算即可求解． 【详解】解: 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以单项式，再除以单项式即可． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简计算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，原式 20. 有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的是一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表（频率结果精确到）： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上的次数 14 a 38 47 52 66 78 88 “兵”字面朝上的频率 b （1）_______，_______； （2）根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的频率的折线统计图； （3）观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律？ 【答案】（1）18； （2）见解析 （3）当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在0.55附近浮动 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、画频率分布折线图、频率与频数，熟练掌握利用频率估计概率方法是解题关键； （1）根据图中信息，用频率，即可解答； （2）根据表格，描点连线，可得折线图，从而解答此题． （3）根据图中信息，用频率估计概率即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：18，； 【小问2详解】 画出频率分布折线图，如下图： 【小问3详解】 解：根据表中数据，试验频率为，，，，，，，，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在左右， 所以，当试验次数越来越大时，“兵”字面朝上的频率在附近浮动. 21. 几何作图是人类探索空间关系的智慧结晶．中国《周髀算经》记载，西周时期已用“矩”（直角曲尺）测定方位、规划建筑，通过“移矩定平”的方法确保宫室梁柱平行；古希腊《几何原本》则系统建立了尺规作图体系，欧几里得以五大公理为基础，用圆规直尺演绎出千年前仍被沿用的平行线作图法．东西方虽工具不同（中国重实用直角器，希腊重抽象尺规），但都揭示了平行线的本质——方向一致性．下列问题将带你体验两种文明的几何智慧： （1）知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点画已知直线的平行线a． 下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边贴住直线； 正确的操作顺序是：_____（填序号）； （2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线，使经过点且．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】（1）④②①③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． （1）根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； （2）根据同位角相等，两直线平行，作图即可． 【小问1详解】 解：（1）正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线b； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线a； 故答案为：④②①③； 【小问2详解】 如图，直线a即为所求； 22. 兰州某旅行社为推广本地山水文化，策划了“兰州山水文化之旅”活动，准备了6张景点卡片（除景点信息外完全相同）： A．兰州中山桥：百年铁桥横跨黄河，桥畔山势起伏，登高可俯瞰黄河全景； B．兰州黄河母亲雕像：象征黄河文化的艺术雕塑，位于滨河路景观带； C．兰州五泉山：因五眼清泉得名，山间古树参天，设有登山步道和观景亭； D．榆中兴隆山：国家级自然保护区，主峰海拔2400米，森林覆盖率超，登山路线完善； E．榆中青城古镇：明清建筑保存完好，以古民居、祠堂和青石板街闻名； F．榆中李家庄田园综合体：集农业观光、采摘体验于一体的田园景区． 活动规则：每位游客随机抽取一张卡片，抽到“适合游山”类景点的游客可免费获得登山装备租用券． （1）游客小明参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率为_____； （2）旅行社为增加趣味性，新增两个景点：G（兰州水车博物馆）和（兰州白塔山）．小明再次参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率是否增大？请说明理由． 【答案】（1） （2）增大，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）用“适合游山”类景点的卡片数除以卡片总数即可得到答案； （2）用“适合游山”类景点的卡片数除以卡片总数求出现在抽到“适合游山”类景点的概率，与原来的比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一共有6张卡片，其中写有“适合游山”类景点的卡片有2张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴游客小明参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率为； 【小问2详解】 解：小明再次参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率增大，理由如下： ∵一共有8张卡片，其中写有“适合游山”类景点的卡片有3张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴游客小明参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率为， ∵， ∴小明再次参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率增大． 23. 按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且．请说明：． 解：（已知），_____（_____）．_____． （已知），_____（_____）．（_____）． 【答案】；垂直的定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 24. 如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若米，米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 【答案】（1）“T”型图形的面积为 （2）5440元 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键． （1）根据图形可用割补法进行求解； （2）把米，米代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解． 小问1详解】 解：由题意得：“T”型图形的面积为； 【小问2详解】 解：当米，米时， （平方米）， ∴造价为（元）． 25. 如图，与互为补角，与互为余角，且． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角与补角等知识，解题的关键是： （1）根据余角的定义求解即可； （2）先根据补角的定义求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵与互为余角， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：与互为补角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 26. 阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． （1）小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 【答案】（1）3 （2）是，3 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算， （1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子． 【小问1详解】 根据题意，得 ， 所以平衡因子是； 【小问2详解】 是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是． 27. 根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）． 任务2 利用“平方差公式”计算：； 任务3 计算： 【答案】任务1：①②③；任务2：4；任务3： 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 任务1：根据平行四边形及正方形，长方形的面积公式求解判定即可得解； 任务2：将原式化为，再用平方差公式求解； 任务3：先乘以，再连续运用平方差公式即可求解． 【详解】解：任务1： 图①中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式， 故答案为：①②③； 任务2： ； 任务3： ． 28. 课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 （1）如图1，当，时，_______； （2）①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）根据，计算即可； （2）①过点E作，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②先利用角平分线的定义求出，的度数，进而利用（1）中的结论，进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题可知， ，， ； 故答案为：． 【小问2详解】 ①过点E作，如图： ，， ， ，， 又，， ， ， ． ②，平分， ， ，平分， ， 由（1）可知：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中试卷 七年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试用时120分钟． 2．答题全部在“答题卡”上完成，试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则的补角为（ ） A. B. C. D. 2. 2025年，中国科学家研发的新型纳米防水材料厚度仅为0.000000025米（25纳米），该材料可应用于航天器表面防护．根据《国家纳米技术发展规划》，此材料的大规模生产将推动微电子领域革新．将纳米材料厚度0.000000025米用科学记数法表示为（ ）米 A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 空山新雨后，天气晚来秋．（王维《山居秋暝》） B. 危楼高百尺，手可摘星辰．（李白《夜宿山寺》） C. 野火烧不尽，春风吹又生．（白居易《赋得古原草送别》） D. 小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头．（杨万里《小池》） 5. 以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C 两钉子固定 D. 弯曲河道改直 6. 下列整式乘法中，可以运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列不能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线相交于点，点为平面上一点，连接，下列说法中，①和是同位角；②和是内错角；③和是对顶角；④和是同旁内角；⑤和互为补角．正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 在一个不透明的布袋中，有红球、黑球和白球共50个，且小球除颜色外其他完全相同．源源通过多次摸球试验后发现，摸到红球和黑球的频率分别稳定在0.12和0.36左右，则口袋中白球的个数很可能是（ ） A. 6个 B. 19个 C. 25个 D. 26个 11. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____． 14. 太阳运行的轨道近似一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为份，每度就是一个节气，统称“二十四节气”这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，将黄道制作成一个转盘，任意转动一次转盘，指针落在每一个区域的可能性相同，则任意转动一次转盘，指针落在“冬至”区域的概率是________． 15. 已知是完全平方公式，则的值为______． 16. 如图，的一边是平面镜，，点C是上一点，一束光线从点C射出，经过平面镜上的点D反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则的度数是______度． 三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 计算： 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 有一颗木质的中国象棋棋子，它的正面雕刻的是一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度掷下，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，某小组做了掷棋子试验，试验数据如下表（频率结果精确到）： 试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 “兵”字面朝上的次数 14 a 38 47 52 66 78 88 “兵”字面朝上的频率 b （1）_______，_______； （2）根据表格，在下图中画出“兵”字面朝上的频率的折线统计图； （3）观察折线统计图，“兵”字面朝上的频率的变化有什么规律？ 21. 几何作图是人类探索空间关系的智慧结晶．中国《周髀算经》记载，西周时期已用“矩”（直角曲尺）测定方位、规划建筑，通过“移矩定平”的方法确保宫室梁柱平行；古希腊《几何原本》则系统建立了尺规作图体系，欧几里得以五大公理为基础，用圆规直尺演绎出千年前仍被沿用的平行线作图法．东西方虽工具不同（中国重实用直角器，希腊重抽象尺规），但都揭示了平行线的本质——方向一致性．下列问题将带你体验两种文明的几何智慧： （1）知识再现：图1，教材中，我们可以用直尺和三角尺，过直线外一点画已知直线的平行线a． 下面是操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边贴住直线； 正确的操作顺序是：_____（填序号）； （2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线，使经过点且．（保留作图痕迹，不写画法） 22. 兰州某旅行社推广本地山水文化，策划了“兰州山水文化之旅”活动，准备了6张景点卡片（除景点信息外完全相同）： A．兰州中山桥：百年铁桥横跨黄河，桥畔山势起伏，登高可俯瞰黄河全景； B．兰州黄河母亲雕像：象征黄河文化的艺术雕塑，位于滨河路景观带； C．兰州五泉山：因五眼清泉得名，山间古树参天，设有登山步道和观景亭； D．榆中兴隆山：国家级自然保护区，主峰海拔2400米，森林覆盖率超，登山路线完善； E．榆中青城古镇：明清建筑保存完好，以古民居、祠堂和青石板街闻名； F．榆中李家庄田园综合体：集农业观光、采摘体验于一体的田园景区． 活动规则：每位游客随机抽取一张卡片，抽到“适合游山”类景点的游客可免费获得登山装备租用券． （1）游客小明参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率为_____； （2）旅行社为增加趣味性，新增两个景点：G（兰州水车博物馆）和（兰州白塔山）．小明再次参与活动时，抽到“适合游山”类景点的概率是否增大？请说明理由． 23. 按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点上一点，且．请说明：． 解：（已知），_____（_____）．_____． （已知），_____（_____）．（_____）． 24. 如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． （1）用含的代数式表示“T”型图形的面积并化简； （2）若米，米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 25. 如图，与互为补角，与互为余角，且． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 26. 阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． （1）小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； （2）判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 27. 根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：_____（只填序号）． 任务2 利用“平方差公式”计算：； 任务3 计算： 28. 课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 学以致用】 （1）如图1，当，时，_______； （2）①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $