精品解析：辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期期中测试 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个图形依次是北京、云南、辽宁、福建四个省市的图案字体，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为毫克．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件中，能判定是（ ） A B. C. D. 4. 如果，那么的值分别是（ ） A B. C. D. 5. 已知：，，则值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 5 6. 要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于（ ） A. 6 B. -1 C. D. 0 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法：①对顶角相等；②两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，有A、B、C三种卡片，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为，宽为的长方形（），C型卡片是边长为的正方形．如果要用它们拼成边长为()的正方形，则需A、B、C三种卡片共（ ）张． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 10. 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是_______. 12. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 13. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为________． 14. 不相等的两角、的两边分别平行，且角比角的2倍多，则角的大小是_________． 15. 如图1，7张的长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则满足_____． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）（运用乘法公式计算）． 17. 先化简，再求值，其中，． 18. 如图，已知，． （1）求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（____________）， 又∵（已知）， ∴____________（____________）， ∴（____________）， ∴（____________）． （2）若平分，于点，，求的度数． 19. 某节数学课上，刘老师设计了一项随机抽题答题的竞赛活动，如图幻灯片上有12个形状，大小相同的长方形，分别标有数字1，2，3，，12，且每个数字对应着一道相应的竞赛题（每位同学只能抽取一道题，且每个数字只能被抽取一次），其中有4个数字对应的是“选择题”，3个数字对应的是“填空题”，3个数字对应的是“简答题”，2个数字对应的是“自编题”． （1）课堂上小颖表现积极，获得了第一个抽题的机会，则小颖抽到“选择题”的概率是多少？ （2）若小颖抽到的是一道“填空题”，则小明同学再抽取时，抽到“自编题”的概率是多少？ 20. 如图，，平分，与相交于，．求证：． 21. 如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米． （1）求这两个篮球场的总占地面积． （2）若篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，求整个长方形场地的造价． 22. 已知平面上有两条直线AB和CD，E是平面上该两直线处一点． （1）如图1，若直线AB∥CD，∠ABE=40°，∠CDE=25°，则∠BED= ； （2）若将E点移至图2所示位置，且∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，则AB与CD的位置关系是 ；请说明理由． （3）探索：如图3，在（1）的基础上，再增加两个拆点，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是 . 23. 【知识初探】如图1，正方形是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题： （1）用两种不同的方法可以表示正方形的面积，写成一个等式为________； （2）运用（1）中等式，解决以下问题： ①已知，，则________； ②已知，，则________； 【拓展延伸】（3）如图2，，分别表示边长为，正方形的面积，且，，三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【知识迁移】（4）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期期中测试 七年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个图形依次是北京、云南、辽宁、福建四个省市的图案字体，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2. 世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为毫克．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：由，可以判定（内错角相等，两直线平行），故A符合题意； 由，不能判定，故B不符合题意； 由，能判定（同位角相等，两直线平行），不能判定，故C符合题意； 由，可以判定（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键． 4. 如果，那么的值分别是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．先将等式的左边利用多项式乘以多项式法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选B． 5. 已知：，，则值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用，同底数幂乘法逆用，利用幂的运算性质，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 6. 要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于（ ） A. 6 B. -1 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：单项式乘以单项式，首先将系数进行相乘，然后根据同底数幂乘法计算法则进行计算得出答案．原式=，根据题意可得：-6a=0，解得：a=0，故选D． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法运算法则，完全平方公式，幂的乘方运算法则和平方差公式，熟练掌握运算法则和公式进行计算是解决本题的关键． 根据同底数幂除法运算法则，完全平方公式，幂的乘方运算法则和平方差公式求解即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、，选项错误． 故选：C． 8. 下列说法：①对顶角相等；②两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有（ ）个 A 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、平行线性质及垂线公理的理解．对顶角的性质、平行线性质及垂线公理逐一判断各说法的正确性即可． 【详解】解：①对顶角相等，故原说法正确； ②当两直线平行时，同旁内角才互补；若两直线不平行，故原说法不正确； ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故原说法正确； ④ 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法正确； 综上，正确的说法有①、③、④，共3个， 故选：D． 9. 如图，有A、B、C三种卡片，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为，宽为的长方形（），C型卡片是边长为的正方形．如果要用它们拼成边长为()的正方形，则需A、B、C三种卡片共（ ）张． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】求出边长为()的正方形的面积，即可得到A、B、C三种卡片张数． 【详解】依题意得()2=9a2+12ab+4b2, ∴需要A种卡片9张，B种卡片12张，C三种卡片4张，共25张 故选C． 【点睛】此题主要考查整式乘法的应用，解题的关键是熟知完全平方式的应用． 10. 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， ∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是_______. 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：因为PB⊥AD，垂足为点B， 所以沿线路PB行走距离最短，依据的几何学原理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段最短，点到直线距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 12. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 027 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先根据利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设袋中白球有个， 由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以根据表中数据估计袋中白球有3个， 故答案为：3． 13. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】令每个正六边形的面积为a，得巢房截面图面积为，阴影部分的面积为，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：令每个正六边形的面积为a， 则巢房截面图面积为，阴影部分的面积为， 则落在阴影部分所在巢房中的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，常见涉及到长度比，面积比，体积比等． 14. 不相等的两角、的两边分别平行，且角比角的2倍多，则角的大小是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先证明两边分别平行的两个角互补或相等，据此可得，再根据题意得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：如图1所示，， ∴， ∴； 如图2所示，， ∴， ∴； ∵不相等的两角、的两边分别平行， ∴、这两个角互补， ∴， ∵角比角的2倍多， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图1，7张的长为，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则满足_____． 【答案】 【解析】 【分析】设左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，列式表示阴影部分面积之差，可得变化，不变，则与无关，则，即． 【详解】设左上角阴影部分的长为，宽为， 右下角阴影部分的长为，宽为， 阴影部分面积之差 ， 变化，不变，则与无关， 则，即. 故答案为： 【点睛】本题考查了阴影部分的问题，掌握矩形面积公式、整式的运算法则是解题的关键． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）（运用乘法公式计算）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和利用平方差公式进行简便运算． （1）先计算绝对值、零次幂、负整数指数幂和乘方，再进行加减运算即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17 先化简，再求值，其中，． 【答案】-4x+2y；-6 【解析】 【分析】先计算括号内的完全平方公式及平方差公式，再合并括号内的同类项，最后计算除法代入值计算即可． 【详解】解：原式 = = = ， 当， 原式 ． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值能力，熟练掌握整式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键． 18. 如图，已知，． （1）求证：．请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（____________）， 又∵（已知）， ∴____________（____________）， ∴（____________）， ∴（____________）． （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质定理和判定定理，即可完成本题过程； （2）根据角平分线可求出、的度数，根据平行线和垂直求得、的度数，利用角的和差可求得的度数． 【小问1详解】 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【小问2详解】 解：∵平分，， , 由（1）得， ， ， ，， ， ， ． 19. 某节数学课上，刘老师设计了一项随机抽题答题的竞赛活动，如图幻灯片上有12个形状，大小相同的长方形，分别标有数字1，2，3，，12，且每个数字对应着一道相应的竞赛题（每位同学只能抽取一道题，且每个数字只能被抽取一次），其中有4个数字对应的是“选择题”，3个数字对应的是“填空题”，3个数字对应的是“简答题”，2个数字对应的是“自编题”． （1）课堂上小颖表现积极，获得了第一个抽题的机会，则小颖抽到“选择题”的概率是多少？ （2）若小颖抽到的是一道“填空题”，则小明同学再抽取时，抽到“自编题”的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率的定义，求出“选择题”占总题数的几分之几即可； （2）小颖抽到的是一道“填空题”，求出剩余卡片中“自测题”占剩余卡片数量的几分之几即可． 【小问1详解】 解：由于4个数字对应的是“选择题”，3个数字对应的是“填空题”，3个数字对应的是“简答题”，2个数字对应的是“自编题”． 所以小颖抽到“选择题”的概率是， 答：小颖抽到“选择题”的概率是； 【小问2详解】 小颖抽到的是一道“填空题”，则还剩4个数字对应的是“选择题”，2个数字对应的是“填空题”，3个数字对应的是“简答题”，2个数字对应的是“自编题”． 所以小颖抽到的是一道“填空题”，小明同学再抽取时，抽到“自编题”的概率是， 答：小颖抽到的是一道“填空题”，小明同学再抽取时，抽到“自编题”的概率是． 【点睛】本题考查了概率的求法，理解概率的定义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． 20. 如图，，平分，与相交于，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内错角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可证得，于是可得，进而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ，， ， ， ． 21. 如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米． （1）求这两个篮球场的总占地面积． （2）若篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，求整个长方形场地的造价． 【答案】（1）这两个篮球场的总占地面积是平方米 （2）整个长方形场地的造价为元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）把篮球场平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）根据篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，列出代数式即可． 【小问1详解】 解： 平方米． 答：这两个篮球场的总占地面积是平方米． 【小问2详解】 平方米， 平方米， 元． 答：整个长方形场地的造价为元． 22. 已知平面上有两条直线AB和CD，E是平面上该两直线处一点． （1）如图1，若直线AB∥CD，∠ABE=40°，∠CDE=25°，则∠BED= ； （2）若将E点移至图2所示位置，且∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，则AB与CD的位置关系是 ；请说明理由． （3）探索：如图3，在（1）的基础上，再增加两个拆点，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系是 . 【答案】(1)65°；(2) AB∥CD；(3) ∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【解析】 【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行公理可得EF∥CD，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，然后根据∠BED=∠1+∠2计算即可得解； （2）连接BD，根据三角形内角和定理得出∠E+∠EDB+∠EBD=180°，求出∠ABD+∠CDB=180°，根据平行线的判定推出即可； （3）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【详解】（1）如图1，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE， ∴∠BED=∠1+∠2=40°+25°=65°， 故答案为65°； （2）AB∥CD， 理由：连接BD， ∵∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∠E+∠EDB+∠EBD=180°， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∴AB∥CD； 故答案为AB∥CD； （3）由（1）的结论得，∠1+∠2+∠4=∠5+∠3， 故答案为∠1+∠2+∠4=∠5+∠3． 【点睛】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，利用性质解决问题． 23. 【知识初探】如图1，正方形是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题： （1）用两种不同的方法可以表示正方形的面积，写成一个等式为________； （2）运用（1）中的等式，解决以下问题： ①已知，，则________； ②已知，，则________； 【拓展延伸】（3）如图2，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在同一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【知识迁移】（4）若，求的值． 【答案】（1）；（2）①19；②103；（3）18；（4）25． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）观察图形，根据面积的关系即可得出结论； （2）①根据代入计算即可； ②根据代入计算即可； （3）由题意得，，根据割补法求出，然后根据代入计算即可； （4）设，，由题意得，， 由代入计算即可． 【详解】解：（1）通过两种表达方式相等，得到等式：， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 故答案为：19； ②∵，， ∴， 故答案为：103； （3）由题意得，， ∴ ； （4）设，， ∴，， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$