精品解析：辽宁省丹东市凤城市2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024-2025学年度下学期期中测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则，那么a一定（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 4. 如图，三角形的边的长为5cm．将三角形向上平移2cm得到三角形，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ） A. x＝15，y＝30 B. x＝10，y＝20 C. x＝15，y＝20 D. x＝10，y＝30 7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ） A. 5 B. C. 25 D. 8. 如图，在长方形中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则的余角等于（ ） A. B. C. D. 9. 如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论： ①值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 12. 若，则以为边的等腰三角形的周长为___________． 13. 如果把点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点，那么_____． 14. 如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列不等式（组）： （1）解不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并求出不等式组的所有整数解的和． 17. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出点的坐标______； （2）作出关于坐标原点成中心对称的，并写出点的坐标____； （3）作出点关于轴的对称点，若点向右平移个单位长度后落在的内部，请直接写出的整数值． 18. 如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 19. 如图，中，BC的垂直平分线与外角的平分线交于点P，于M，于N． （1）求证：； （2）当，时，求BM和AM的长． 20. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是______； 关于x的不等式的解集是______； （2）直接写出：关于x的不等式组的解集是______； （3）若点C坐标为， ①关于x不等式的解集是______； ②请求出的面积． 21. 某中学计划购买A型、B型两种型号的足球．已知购买8个A型足球和5个B型足球需用1100元，购买4个A型足球和6个B型足球需用760元． （1）问每个A型足球和每个B型足球各多少元？ （2）若学校决定购买A型足球和B型足球共75个，总费用不超过5900元，则最多可购买A型足球多少个？ 22. 如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接，且，． （1）求所在直线的解析式； （2）将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分面积； （3）若过一定点M的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则点M的坐标为________． 23. 【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期期中测试 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断． 【详解】A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合． 2. 若，则，那么a一定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式的符号改变，据此进行作答． 【详解】解：∵，， ∴（不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式的符号改）， 故选：D． 3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解． 【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点． 故选：B． 4. 如图，三角形的边的长为5cm．将三角形向上平移2cm得到三角形，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移，可知，可得，进行求解即可． 【详解】解：三角形的边的长为5cm．将三角形向上平移2cm得到三角形，且， 则：，四边形是长方形，， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握平移的性质，是解题的关键． 5. 如图，将按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，先利用旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，再利用平行线的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ） A. x＝15，y＝30 B. x＝10，y＝20 C. x＝15，y＝20 D. x＝10，y＝30 【答案】D 【解析】 【分析】分每天服用2次和每天服用3次两种情况讨论求解即可． 【详解】解：若每天服用2次，则一次服用这种药品的剂量范围是15~30mg； 若每天服用3次，则一次服用这种药品的剂量范围是10~20mg； ∴一次服用这种药品的剂量范围是10~30mg； ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的应用，分每天服用2次和每天服用3次两种情况讨论求解是解题的关键． 7. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（ ） A. 5 B. C. 25 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型，根据题意求出小正方形的边长再计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的长直角边为9，短直角边为4， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 8. 如图，在长方形中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则的余角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图法．以及线段垂直平分线的性质、平行线的性质、余角的定义．熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据矩形的性质得出，故可得出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再由是线段的垂直平分线得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵由作法可知，是的平分线， ∴． ∵由作法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的余角等于． 故选：A． 9. 如果不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知条件得出关于的不等式，即可得出选项． 【详解】解：， ∵不等式①的解集为， 不等式②的解集为， 又∵不等式组的解集为， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于的不等式，难度适中． 10. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论： ①的值不变；②；③的长不变；④四边形的面积不变，其中正确结论的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ，， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴ ∴，故②正确 ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是____ 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【详解】解：如果a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如果a＞b，则a2＞b2， 假设a=1，b=-2， 此时a＞b，但a2＜b2， 即此命题为假命题． 故答案为：假． 12. 若，则以为边的等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由平方和绝对值的非负性，得到，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定三边长，即可求出周长． 【详解】解：， ，， ，， 当腰为，底为时，，不能组成三角形， 当腰为，底为时，，能组成三角形， 此时周长为， 故答案为：． 13. 如果把点向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到点，那么_____． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据平移规律求得即可． 【详解】解：由平移得： a=-1-1=-2， b=-2-1=-3， ∴a+b=-2-3=-5， 故答案为： -5． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 14. 如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 15. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题（本题8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列不等式（组）： （1）解不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组，并求出不等式组的所有整数解的和． 【答案】（1），数轴上表示解集见解析图， （2）不等式组的解集为，整数解的和为． 【解析】 【分析】（）移项合并同类项，化系数为，再用数轴表示即可； （）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解； 本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法． 小问1详解】 解： ， ， ， ， 数轴上表示解集如图， 【小问2详解】 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， ∴整数解是，，，，， ∴它们的和为． 17. 如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出点的坐标______； （2）作出关于坐标原点成中心对称的，并写出点的坐标____； （3）作出点关于轴的对称点，若点向右平移个单位长度后落在的内部，请直接写出的整数值． 【答案】（1）图见解析，；（2） ；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据旋转的性质作图，再结合平移的性质可得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求． 点的坐标为． 故答案为：，． （2）如上图，即为所求． 点的坐标为． 故答案为：，． （3）如上图，点即为所求． 由图可知，点向右平移或个单位长度后落在的内部， 的整数值为或． 【点睛】本题考查作图旋转变换、轴对称变换、平移变换、中心对称，熟练掌握旋转、轴对称、平移和中心对称的性质是解答本题的关键． 18. 如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【小问1详解】 证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 19. 如图，中，BC的垂直平分线与外角的平分线交于点P，于M，于N． （1）求证：； （2）当，时，求BM和AM的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质及线段垂直平分线性质得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，结合（1）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：连接、， ∵AP平分，于M，于N， ∴， ∵PD垂直平分BC， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 20. 如图所示，在同一个坐标系中，一次函数和的图象分别与x轴交于点A、点B，两直线相交于点C．已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是______； 关于x的不等式的解集是______； （2）直接写出：关于x的不等式组的解集是______； （3）若点C坐标为， ①关于x的不等式的解集是______； ②请求出的面积． 【答案】（1）； （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到两函数图象在x轴上方部分对应的x的范围即可； （3）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围即可；利用三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数和的图象，分别与轴交于点、， ∴关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据图象可以得到关于的不等式组的解集； 故答案为：； 【小问3详解】 解：①∵点， ∴由图象可知，不等式解集是； ②∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，正确利用数形结合解题是解题关键． 21. 某中学计划购买A型、B型两种型号的足球．已知购买8个A型足球和5个B型足球需用1100元，购买4个A型足球和6个B型足球需用760元． （1）问每个A型足球和每个B型足球各多少元？ （2）若学校决定购买A型足球和B型足球共75个，总费用不超过5900元，则最多可购买A型足球多少个？ 【答案】（1）每个A型足球为100元，每个B型足球为60元；（2）最多可以购买A型足球35个． 【解析】 【分析】（1）设每个A型足球为x元，每个B型足球y元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A型足球m个，则购买B型足球（75−m）个，由题意：总费用不超过5900元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每个A型足球x元，每个B型足球y元． 依题意，得， 解得， 答：每个A型足球为100元，每个B型足球为60元． （2）设购买A型足球m个，则购买B型足球为（）个． 依题意，得． 解得． 答：最多可以购买A型足球35个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式． 22. 如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使，分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接，且，． （1）求所在直线的解析式； （2）将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积； （3）若过一定点M的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则点M的坐标为________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，确定A，C的坐标，利用待定系数法确定AC的解析式y=kx+b即可． （2）根据折叠性质，得CD=AB=1,BF=DF=CB-CF=2-x，运用勾股定理，，确定x，利用面积公式计算即可． （3）根据矩形的性质，经过对角线交点的直线才满足条件，故M为对角线交点，运用中点坐标公式计算即可． 【小问1详解】 设OC=m，则AO=2m， ∵四边形是矩形，且， ∴， 解得m=1或m=-1（舍去）， ∴OC=1，AO=2， ∴C（0，1），A（2，0）， 设AC所在直线的解析式为y=kx+b，将C，A的坐标值带入，解得k=，b=1， 所以函数的解析式为 【小问2详解】 设CF=x，根据折叠性质，得CD=AB=1,BF=DF=CB-CF=2-x，∠D=∠B=90°， 由勾股定理，得， 解得x=， ∴重叠部分的面积为． 【小问3详解】 根据矩形的性质，经过对角线交点的直线才满足条件，故M为对角线交点， ∵C（0，1），A（2，0）， ∴中点M的坐标为（1，）， 故答案为：（1，）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数解析式，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，中点坐标公式是解题的关键． 23. 【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，点为中点，点在线段上（点E不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形综合应用，解题的关键是灵活应用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会添加常用的辅助线，构建全等三角形． （1）根据证明与全等即可； （2）连接，利用证明与全等，可得，，从而，又，故，即得； （3）延长到，使得，连接，延长交于点，证明是等腰直角三角形，即可求出的长． 【详解】（1）证明：点是线段，的中点， ，， 在与中， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，如图： 是等腰三角形，是底边上的高线， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ； （3）解：延长到，使得，连接，延长交于点，如图： 为的中点， ， 在与中， ， ， ，， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$