精品解析：上海市浦东区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷

2024学年第二学期初一数学期末质量调研试卷 （完卷时间：90分钟 满分：100分） 考生注意： 1．本试卷含四个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 如果，那么下列结论中不正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C 相交 D. 可能垂直，也有可能平行 3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 三角形的高、中线、角平分线都是线段 B. 三角形的三条中线交于同一点 C. 三角形的三条角平分线交于同一点 D. 直角三角形的三条高的交点在三角形内部 5. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（ ） A. 有一个内角是的两个直角三角形； B. 有一个内角是的两个等腰三角形； C. 有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形 D. 有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形． 6. 如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示“a2倍与3的差是非负数”：______． 8. 不等式的解集是，则a的取值范围为______． 9. 某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 10. 如图，已知，，，则________． 11. 等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 13. 已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________． 14. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________． 15. 如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是_______． 16. 如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是__________． 17. 如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于_____________ 18. 如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ___________． 三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分） 19. 解不等式组，并求不等式组的正整数解． 20. 在中， （1）若，，求的度数； （2）若是等腰三角形，，求的度数． 21. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 22. 如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 23. 请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，取3.14） （1）你选择的材料是__________号和________号． （2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克） 24. 如图，在Rt中， （1）请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 （2）连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25. 小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 26. 如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 27. 如图，在中，平分交于点，于点． 求证：． 28. 如图，中，，高、相交于点，，且． （1）请说明理由； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． （3）在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初一数学期末质量调研试卷 （完卷时间：90分钟 满分：100分） 考生注意： 1．本试卷含四个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 如果，那么下列结论中不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：如果，那么，故A不符合题意； 如果，那么，故B符合题意； 如果，那么，故C不符合题意； 如果，那么，则，故D不符合题意． 故选B． 2. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 可能垂直，也有可能平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直的性质和平行线的判定定理进行解答即可得出答案． 【详解】解：根据同一平面内两条直线的位置关系可知， 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 故选A． 【点睛】此题考查了垂直的性质，解题的关键是熟练掌握垂直的性质和平行线的判定定理，是一道基础题． 3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．进行判定即可作答． 【详解】解：A．，满足内错角相等，能判断直线； B．，不能判断直线； C．，满足同位角相等，能判断直线； D．，满足同旁内角互补，能判断直线． 故选：B． 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 三角形的高、中线、角平分线都是线段 B. 三角形的三条中线交于同一点 C. 三角形的三条角平分线交于同一点 D. 直角三角形的三条高的交点在三角形内部 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三条重要线段．根据中线，角平分线，高线的定义和性质，进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，选项正确； B、三角形的三条中线交于同一点，选项正确； C、三角形的三条角平分线交于同一点，选项正确； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，选项错误； 故选：D． 5. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（ ） A. 有一个内角是的两个直角三角形； B. 有一个内角是的两个等腰三角形； C. 有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形 D. 有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形． 【答案】D 【解析】 【分析】根据各三角形的性质及全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、各有一个角是的两个直角三角形，因为没有指明边相等，故本选项错误； B、有一个内角是两个等腰三角形；因为没有指明边相等，故本选项错误； C、有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形：没有确定是顶角还是底角，故本选项错误， D、有一个内角为且腰长为6cm的两个等腰三角形，的角只能是顶角，可根据判断全等，故本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 6. 如图，在中，是边中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确 C. ①、②皆正确 D. ①、②皆错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定；过点D作，由是边的中点，的面积恰好是面积的可得，由可得，进而可证明，即可得出结论. 【详解】解：过点D作，如图所示： 由折叠可得：，，，，， 是边的中点， ∴，， 的面积恰好是面积的， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴在与中 ∴， ∴，， 又∵，， ∴，. 故①、②皆正确. 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示“a的2倍与3的差是非负数”：______． 【答案】2a-3≥0 【解析】 【分析】首先表示出a的2倍与3的差为2a-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2a-3≥0． 【详解】由题意得：2a-3≥0． 故答案：2a-3≥0． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号． 8. 不等式的解集是，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，关键是掌握不等式的性质，特别是不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 9. 某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 根据数轴表示的不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示， 该不等式组的解集为， 故答案为： 10. 如图，已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 延长、相交得到，根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长、相交得到， ， ∴， ， ， 故答案为：． 11. 等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，圆锥的体积是________立方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍． 根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的倍列式计算即可． 【详解】解：等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米， 圆锥的体积是（立方米）， 故答案为：． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 13. 已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为和，两种情况根据构成三角形的条件解答即可． 【详解】解：当时，由于，不能够构成三角形； 当时，，能构成三角形， 故答案为：． 14. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键．由作法易得，，，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知，，， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是_______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：是的平分线，，， ∴， ∵周长为8， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键．根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解∶， 四边形的面积的面积的面积 故答案为：． 17. 如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于_____________ 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 18. 如图，，点、、在射线上，点、、在射线上，且、、为等边三角形，若，则的周长为 ___________． 【答案】96 【解析】 【分析】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质．利用等边三角形的性质和几何关系，证得为的中点，为的中点，，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△周长． 【详解】解：，， ， ， ． 为的中点． 同理可证，为的中点，为的中点， ，，， ， 的周长为． 故答案为：96． 三、简答题：（本大题共6题，每题5分，满分30分） 19. 解不等式组，并求不等式组的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的正整数解为 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是熟练求出两个不等式组的解集，然后求出不等式组的解集，最后求出结果即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 原不等式组的正整数解为． 20. 在中， （1）若，，求的度数； （2）若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形、三角形的内角和定理，正确分三种情况讨论是解题关键． （1）根据三角形的内角和定理先求出，然后计算的度数即可 （2）分①，②，③，三种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，则， 当时，； 当时，， 综上所述，的度数为或或． 21. 甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算 【解析】 【详解】根据题意，得，解得． 答：当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算． 22. 如图，，点在边上，和相交于点，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由． 证明：∵ ∴__________=__________ ∴__________ 在和中 ∵ 所以（________）． 【答案】；；；；；；；；； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再证即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵ 所以． 故答案为：；；；；；；；；；． 23. 请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，取3.14） （1）你选择的材料是__________号和________号． （2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克） 【答案】（1）（1），（4）（答案不唯一） （2）水桶最多能装水千克（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查圆柱的认识及圆柱的容积，确定圆柱的组成部分是解题关键． （1）依据圆柱的底面周长等于侧面展开图（长方形）的长，据此确定可围成圆柱的底面和侧面； （2）要求圆柱的容积，只要将相关数据代入圆柱的体积公式：圆柱的体积=底面积×高，进行计算即可． 【小问1详解】 解：（4）号圆的周长为（分米），（1）号长方形的长为分米， 选择（1）号和（4）号 故答案为：（1），（4）；（答案不唯一） 【小问2详解】 解：选择选择（1）号和（4）号时，水桶最多能装水（千克）， 答：水桶最多能装水千克．（答案不唯一） 24. 如图，在Rt中， （1）请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 （2）连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，分别以点和点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； 【小问2详解】 解：是线段的垂直平分线， ． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25. 小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】已知：如图，在中，，，平分和交，于点F，E， 求证： 证明：∵， ∴， 又∵，平分和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 26. 如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由． 解：结论：__________ 理由： ∵平分 ∴________ ∵________+________．（________） 又∵， ∴__________+__________ ∴__________ 请完成后面的说理过程： 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【详解】解：结论： 理由： ∵平分（已知） ∴（角平分线的意义） ∵．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又∵， ∴， ∴（等量代换）， （等角对等边）， 点F是线段的中点 ∴（线段中点的意义）， （等腰三角形的三线合一）． 27. 如图，在中，平分交于点，于点． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．延长交于点，证明，推出，，，继而得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到． 【详解】证明：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ，，， ，， ， ， ， ． 28. 如图，在中，，高、相交于点，，且． （1）请说明的理由； （2）动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． （3）在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【答案】（1）见解析 （2）当为或时，的面积为 （3）或时，与全等 【解析】 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识， （1）首先推导出，通过即可证明； （2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可； （3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，． 【小问1详解】 如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； 【小问3详解】 存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $