精品解析：四川省仁寿第一中学校（北校区）2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

2027届高一下期期末考试 数学试题 一、单选题 1. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义先求，由二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有，则， 所以， 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可求得的值，再利用和角的正切公式即可得结果. 【详解】由题干条件可知，所以， 由和角的正切公式可得. 故选：B. 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算可得，再根据向量的投影向量公式即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 所以 所以在上的投影向量为. 故选：. 4. 某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算即可得到天文台的高度． 【详解】在Rt△ABM中，有， 在△ACM中，有，，， 由正弦定理得， 故， 在Rt△CDM中，有， 又， 则． 故选：C． 5. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，， 故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错. 故选：A. 6. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. 10 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解. 【详解】因为，，所以， 又，则， 由正弦定理得，所以. 故选：B. 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数的解析式，再根据函数图象变换求函数的解析式，根据条件及三角函数性质列方程求，再确定其最小值即可. 【详解】可化为， 所以， 由条件可得， 因为函数的图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 所以，， 所以，，又， 所以的最小值为， 故选：A. 8. 已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，从而转化为求的最小值，当时取得最小值，利用等面积法求出，即可得解, 【详解】因为，即为的中点，又，所以为的中点， 又正三角形的边长为，所以， 依题意，， 所以， 所以当时取得最小值， 如图，此时点在的位置，连接，则， 又，，所以， 所以， 所以. 故选：D 二、多选题 9. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】A中，由三角形内角和定理及诱导公式，可判断；B中，由角的比值及三角形内角和定理，可得，再由正弦定理可判断；C中，由正弦定理及三角形中大边对大角的性质可判断；D中，由正弦定理及余弦定理可得角C为钝角，即可判断出三角形的形状. 【详解】A中，在三角形中，，所以A不正确； B中，，又因为，可得， 由正弦定理可得：，所以B不正确； C中，在三角形中，，由正弦定理可得，由大边对大角，可得，所以C正确； D中，因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，所以C为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象关于点中心对称，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点的坐标代入解析式，求得的值，根据周期公式可判断选项A，根据已知点可求得的值，可判断B，根据的取值范围得到的取值范围，再依据单调递增区间可判断选项C，根据零点个数以及整体代入法可求得选项D. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，而，所以，即， 选项A，的最小正周期是，则，A正确； 选项B，的图象关于点中心对称， 则（因为），B错误； 选项C，时，， 则，解得，C正确； 选项D，时，， 方程在上恰有两个不同的实数解， 即方程在上恰有两个不同的实数解， 则，解得，D正确. 故选：ACD. 11. 设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则下列选项正确的是（ ） A. 外接圆的半径为 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为32 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理易得；对于B，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值即可判断；对于C，利用正弦定理化边为角，根据三角恒等变换将所求式化成正弦型函数，利用其性质即得；对于D，利用B项结论易得. 【详解】对于A，因，，设外接圆的半径为， 由正弦定理，，解得，故A正确； 对于B，由余弦定理，，即， 由可得，当且仅当时取等号. 则的面积为， 即面积的最大值为，故B正确； 对于C，由正弦定理，， 可得 故 ， 因，则， 故当时，即时，取得最大值2，故C正确； 对于D，由B项分析，可得，当且仅当时取等号， 故的最大值为32，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角的定义建立不等式，再排除向量平行的特殊情况，求解参数范围即可. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为钝角，所以，解得， 而此时与一定不平行，得到，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为： 13. 已知，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先由诱导公式得到，再由同角的三角函数关系计算可得. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 在 中，点 为边 上一点且满足，若点 为 上一点且满足，则 的最小值为:_____ 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理得，由三点共线得，利用基本不等式计算即可. 详解】 ， ， ， 为 上一点， ， ， 当且仅当，等号成立. 解得 或（舍）　 即等号成立， 的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量，满足，且的夹角为． （1）求和的夹角的余弦值． （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）0 【解析】 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求得、，再应用向量夹角公式求和的夹角的余弦值； （2）由题设有，即可得参数值. 【小问1详解】 由且， 所以. 【小问2详解】 由题设，即. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称轴、对称中心； （2）求单调递增区间； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称轴为，对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）结合正弦函数的性质计算可得； （3）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，从而得解. 【小问1详解】 因为 ， 即，所以的最小正周期， 令，解得，故对称轴为； 令，解得，故对称中心为. 【小问2详解】 令， 解得，所以单调递增区间为； 【小问3详解】 当时，，所以， 则在上的值域为， 因为不等式恒成立，所以，即实数的取值范围为. 17. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，． （1）求角A的大小； （2）求的中线的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理，角化边寻找边关系，知边求角，余弦定理运算即可求角A； （2）应用向量的线性分解表达中线所代表的向量，平方脱模可求中线长. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以， 因为，所以，， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 根据题意可得， 则 ， 所以，即的中线的长为． 18. 在中，角的对边分别为，若． （1）求角的大小； （2）若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解； （2）先由求出，再将代入，并设得到，再结合基本不等式即可求解 【小问1详解】 由题和正弦定理得，整理得， 所以由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为，所以由题， 所以由得， 即， 又，设，则， 所以， 又，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为3. 19. 骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域． （1）若，求文化介绍区域的面积； （2）求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，根据余弦定理结合已知得出.进而在以及中，根据余弦定理可推得，求解得出，进而求出，代入面积公式即可得出答案； （2）设，在中，多次使用余弦定理可得出，.然后表示出的面积，化简得出，结合角的取值以及正弦函数的性质即可得出答案. 【小问1详解】 在中，有，，， 由余弦定理可得， ， 所以，. 又易知，则. 设，则， 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 在中，有，，， 由余弦定理可得， . 所以有， 所以，， 此时 【小问2详解】 不妨设， 在中，由余弦定理得. 由正弦定理可得， 整理可得. 又， 所以有， 化简可得. 则 . 又，所以， 所以，当，即时该式取最大值， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高一下期期末考试 数学试题 一、单选题 1. 若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 3 C. 1 D. 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C 、、三点共线 D. 、、三点共线 6. 在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c.若，，，则（ ） A. 10 B. 7 C. 4 D. 3 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ） A B. 0 C. D. 二、多选题 9. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则是钝角三角形 10. 已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象关于点中心对称，则 C. 若在上单调递增，则的取值范围是 D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是 11. 设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则下列选项正确的是（ ） A. 外接圆的半径为 B. 面积的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为32 三、填空题 12. 若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_______． 13. 已知，若，则________. 14. 在 中，点 为边 上一点且满足，若点 为 上一点且满足，则 的最小值为:_____ 四、解答题 15. 已知向量，满足，且的夹角为． （1）求和的夹角的余弦值． （2）若，求实数值． 16. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称轴、对称中心； （2）求单调递增区间； （3）若当时，不等式恒成立，求实数取值范围. 17. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，． （1）求角A的大小； （2）求的中线的长． 18. 在中，角的对边分别为，若． （1）求角的大小； （2）若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 19. 骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，其中米，米，为正三角形．计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域． （1）若，求文化介绍区域的面积； （2）求休闲娱乐的区域的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $