80.双曲线渐近线的十二大常考结论讲义-2026届高三数学一轮复习

80.双曲线渐近线的十二大常考结论 一．基本原理 1.焦点到渐近线的距离:到直线的距离为. 2.已知渐近线方程设双曲线方程，. 3.双曲线中，右焦点为，作垂直于渐近线，垂足为，则点在双曲线的右准线上，且的坐标为，且 5.双曲线上的点到两渐近线的距离之积为定值. 6.已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如下图.若. 设，则坐标均满足①，②. 又. 则由，可得：. 给②式乘再相减得： 故.由 情形2.如下图.若. 设，则 故得： 由于 由 进一步，过双曲线的右焦点且与渐近线垂直的直线分别交的两条渐近线于两点，则. （1）当时，设，则， ， ，， . （2）当时，设是直线与轴的交点，，则， ， ，，， ，， . 7.焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率. 8.圆，渐近线，准线及圆四者交于点.关于点，有如下的性质： （1）直线垂直于渐近线且，又，故是双曲线的特征三角形； （2）直线与圆切于点. 9.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，作圆x2+y2＝a2的切线， 切点为T，延长FT交双曲线右支于点P．若线段PF的中点为M，M在线段PT上，O为坐标原点，则|OM|﹣|MT|＝b﹣a 10.圆，渐近线，准线及圆四者交于点点. 结论11：已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，直线与两渐近线分别交于两点，则与中点重合. 证明：设的坐标分别为，直线， 联立：，同理可得： ，故，则与中点重合. 结论12：已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，直线与两渐近线分别交于两点，则（1）为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为； （2）为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为. 证明 （1）由结论1知线段与线段的中点重合，则为线段的三等分点等价于， 又，，则等价于，即，又， 所以等价于，故为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为； （2）同理（1）得为线段的三等分点等价于，即，即，即，所以为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为 二．典例分析 例1.已知双曲线:，以的右焦点为圆心且与的渐近线相切的圆的半径是 ( ) A. B. C. D. 解析：以的右焦点为圆心且与的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离，选D. 例2.双曲线的渐近线与圆相切，则= ( ) A. B.2 C.3 D.6 解析：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=，选A. 例3.以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 ( ) A. B. C. D. 解析：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=，选A. 例4.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 ( ) A. B. C. D. 例5.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　 　. 解析：由相似成比例可得：. 例6．过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________ 解析：满足结论6情形1，即，故，则 例7．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 解析：满足结论6情形2，即，. 练习1．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（      ） A．2 B． C． D． 练习3．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为______. 练习4．已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______． 答案：1．A 2．C 3． 4． 例8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 解析：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 例9.．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D． 解析：由．，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A． 例10.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 解析：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B. 例11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 解析：由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图. 根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，，为的中点，，又A为线段BF1的中点，垂直平分， 可设直线为①，直线为②，直线为③， 由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得， ，所以双曲线C的离心率，故选：B 例12．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 解析：设双曲线的方程为，设过的切线与圆相切于点，则，，又，所以， 过点作于点，所以，又为的中点， 所以，，因为，，所以，所以，则， 所以，由双曲线的定义可知， 所以，可得，即， 所以的离心率．当直线与双曲线交于一支时，同理可得正确；故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 80.双曲线渐近线的十二大常考结论 一．基本原理 1.焦点到渐近线的距离:到直线的距离为. 2.已知渐近线方程设双曲线方程，. 3.双曲线中，右焦点为，作垂直于渐近线，垂足为，则点在双曲线的右准线上，且的坐标为，且 5.双曲线上的点到两渐近线的距离之积为定值. 6.已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如下图.若. 设，则坐标均满足①，②. 又. 则由，可得：. 给②式乘再相减得： 故.由 情形2.如下图.若. 设，则 故得： 由于 由 进一步，过双曲线的右焦点且与渐近线垂直的直线分别交的两条渐近线于两点，则. （1）当时，设，则， ， ，， . （2）当时，设是直线与轴的交点，，则， ， ，，， ，， . 7.焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率. 8.圆，渐近线，准线及圆四者交于点.关于点，有如下的性质： （1）直线垂直于渐近线且，又，故是双曲线的特征三角形； （2）直线与圆切于点. 9.过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，作圆x2+y2＝a2的切线， 切点为T，延长FT交双曲线右支于点P．若线段PF的中点为M，M在线段PT上，O为坐标原点，则|OM|﹣|MT|＝b﹣a 10.圆，渐近线，准线及圆四者交于点点. 结论11：已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，直线与两渐近线分别交于两点，则与中点重合. 证明：设的坐标分别为，直线， 联立：，同理可得： ，故，则与中点重合. 结论12：已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，直线与两渐近线分别交于两点，则（1）为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为； （2）为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为. 证明 （1）由结论1知线段与线段的中点重合，则为线段的三等分点等价于， 又，，则等价于，即，又， 所以等价于，故为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为； （2）同理（1）得为线段的三等分点等价于，即，即，即，所以为线段的三等分点的充要条件是两点的横坐标之积为 二．典例分析 例1.已知双曲线:，以的右焦点为圆心且与的渐近线相切的圆的半径是 ( ) A. B. C. D. 例2.双曲线的渐近线与圆相切，则= ( ) A. B.2 C.3 D.6 例3.以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 ( ) A. B. C. D. 例4.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 ( ) A. B. C. D. 例5.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　 　. 例6．过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________ 例7．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 练习1．已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（      ） A．2 B． C． D． 练习3．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为______. 练习4．已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______． 例8.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________． 例9.．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D． 例10.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 例11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 例12．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$