专题02 集合中的含参问题（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02 集合中的含参问题（举一反三专项训练） 【人教A版（2019）】 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 2 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 2 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 3 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 4 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 5 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 6 【类型7 集合新定义中的求参问题】 8 知识点 集合中含参问题的解题策略 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则的值为 ． 5．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 6．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 7．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 8．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 14．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 15．（多选）（24-25高一上·广西·开学考试）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 16．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 17．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 18．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 21．（多选）（24-25高一上·山东日照·阶段练习）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 22．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 23．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 24．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 25．（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（多选）（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，，且，则的值可取（       ） A．1 B． C．0 D．任意实数 28．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知集合，，且，则a的取值范围为 ． 29．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 30．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 31．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 32．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 33．（多选）（2025高一上·江苏·专题练习）已知，，若，则实数a的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 . 35．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 36．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【类型7 集合新定义中的求参问题】 37．（24-25高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 38．（24-25高一上·海南三亚·期中）设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 39．（多选）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若集合与“相交”，则等于（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 40．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 41．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 42．（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合中的含参问题（举一反三专项训练） 【人教A版（2019）】 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 2 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 2 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 5 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 8 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 10 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 13 【类型7 集合新定义中的求参问题】 19 知识点 集合中含参问题的解题策略 集合中的含参问题是集合学习中的一个重点问题，也是一个易错点.对于学生来说，要想解决好此类问题，其要点在于能够正确判断端点值能否取到，注意考虑空集的情况；含参问题的考查题型丰富，有时以小题形式出现，有时出现于解答题之中，求解此类问题时常常用到分类讨论思想，需要灵活求解. 常考的含参类型如下： 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元一次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【类型1 元素与集合关系中的含参问题】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【解答过程】由且，得，解得． 故选：A. 2．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【解答过程】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A. 3．（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【解题思路】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【解答过程】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC. 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【解答过程】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 【答案】(1)且且且 (2) 【解题思路】（1）根据集合元素的互异性列不等式来求得正确答案. （2）结合（1）求得正确答案. 【解答过程】（1）根据集合元素的互异性可知， 解得且且且. （2）由于，结合（1）的结论可知， 所以，解得（舍去）. 6．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【解题思路】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【解答过程】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 【类型2 集合中元素个数的含参问题】 7．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【解题思路】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【解答过程】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 8．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【解答过程】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A. 9．（多选）（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【解答过程】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD. 10．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【解答过程】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【解题思路】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 11．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【解答过程】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【解题思路】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【解答过程】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 【类型3 根据集合的相等关系求参数】 13．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，．若，则实数m的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合相等得，解方程即可求解. 【解答过程】因为集合，，且，所以，解得. 故选：D. 14．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【解答过程】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 15．（多选）（24-25高一上·广西·开学考试）已知集合，若，则的值可能是（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【解题思路】利用集合相等，解出对应参数的值，然后利用元素的性质判断即可. 【解答过程】因为，所以或解得或 则或. 故选：BC. 16．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【解题思路】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解. 【解答过程】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【答案】(1)且 (2) 【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果； （2）由集合相等构造方程组即可求得. 【解答过程】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 18．（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【解答过程】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2. 【类型4 根据集合的包含关系求参数】 19．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合的包含关系直接得到参数的取值范围. 【解答过程】因为，且， 所以，即的取值范围是. 故选：D. 20．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由条件可得或或，列方程求即可. 【解答过程】因为，，， 所以或或， 若，则方程的解集为空集，故， 若，则方程有且仅有解，故， 若，则方程有且仅有解，故， 故的所有可能取值组成的集合为. 故选：D. 21．（多选）（24-25高一上·山东日照·阶段练习）设集合，若满足，则实数可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【解题思路】求出，分，和三种情况，得到实数a的值. 【解答过程】，因为， 当时，，满足要求， 当时，，当时，， 综上，或或. 故选：ABC. 22．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据集合的包含关系列不等式可求的取值范围. 【解答过程】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 23．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【解答过程】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 24．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【类型5 根据交集、并集或补集结果求参数】 25．（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据交集的计算结果可得集合间的关系，即可得解. 【解答过程】由知， 又，，所以， 故选：B. 26．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据补集的定义，由求解. 【解答过程】解：因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2， 故选：B. 27．（多选）（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，，且，则的值可取（       ） A．1 B． C．0 D．任意实数 【答案】ABC 【解题思路】理解集合和的定义，利用这一条件推导出的值. 【解答过程】由可得，所以中元素可以为，或为空集，代入相应值，可求得的值为或或. 故选：ABC. 28．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知集合，，且，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】由集合之间的关系列不等式求解即可. 【解答过程】集合，，且， 所以，所以， 故a的取值范围为. 故答案为：. 29．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【解题思路】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【解答过程】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 30．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围. 【解答过程】（1）由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． （2）考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 【类型6 根据交并补集混合运算结果求参数】 31．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】由，得到，分与讨论即可. 【解答过程】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A. 32．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 33．（多选）（2025高一上·江苏·专题练习）已知，，若，则实数a的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】先化简集合,求出，由已知得，可得端点间的关系，从而即可求解． 【解答过程】解：由题意知，， ， 由，， 则，解得 所以选项BD，满足条件. 故选：BD． 34．（24-25高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 【解答过程】由已知得：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为：. 35．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 36．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【类型7 集合新定义中的求参问题】 37．（24-25高一上·北京·阶段练习）设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（    ） A．0 B．0， C．0， D．，0， 【答案】D 【解题思路】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【解答过程】解：由可得或， 又因为，， 所以集合中的元素个数为1个或3个， 当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解， 所以，解得； 当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解， 所以，解得或， 综上所述，或或. 故选：D. 38．（24-25高一上·海南三亚·期中）设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解题思路】根据题意，首先分析出集合的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对的把握，即可得答案． 【解答过程】根据题意，对于集合,含2个元素的子集 共10个， 其中只能取一个， 故满足条件的2个元素的集合有9个. 故选：C. 39．（多选）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合，，若集合与“相交”，则等于（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】AC 【解题思路】根据两个集合“相交”的定义，利用元素与集合的关系求解即可. 【解答过程】由题意，集合与“相交”， 当时，由，解得， 此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”； 当时，由，解得， 此时方程的解为，，则，满足集合与“相交”； 综上所述，或； 故选：AC. 40．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为 . 【答案】14 【解题思路】根据新定义列不等式组求解即可. 【解答过程】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 41．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【解答过程】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 42．（24-25高一上·浙江温州·期中）对于给定的非空集合M，定义集合，，当时，则称具有“对称性”，而，称为的对称集合． (1)试判断集合，是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由 (2)若集合，且集合具有"对称性"，求的最小值． (3)已知，且，记，若集合B具有“对称性”，求m的最小值． 【答案】(1)有，，； (2)； (3)． 【解题思路】（1）利用集合的“对称性”定义判断集合的对称性，有对称性的，可求得对称集合； （2）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值； （3）先根据集合的“对称性”定义求出中的元素，比较元素大小，即得的范围，继而求得的最小值. 【解答过程】（1）对于集合，，，， 所以具有“对称”性质，且对称集合为，； 对于集合，，，， 所以不具有对称性． （2）因，故或，于是2、3、4、、、， 0、1、、，因为，所以，，又，． （3）， 因为，所以，解得，又， 故． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$