专题2.6 函数的图象（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题2.6 函数的图象（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 作出函数的图象】 2 【题型2 函数图象的识别】 7 【题型3 根据函数图象选择解析式】 10 【题型4 函数图象的变换】 12 【题型5 根据实际问题作函数图象】 15 【题型6 利用图象研究函数的性质】 18 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 20 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 23 1、函数的图象 考点要求 真题统计 考情分析 (1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 (2)会画简单的函数图象 (3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题 2024年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第7题，5分 2025年北京卷：第4题，4分 2025年天津卷：第3题，5分 函数图象是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大. 知识点1 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 知识点2 函数图象的应用及其解题策略 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 【题型1 作出函数的图象】 【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)请画出函数的图象，并求的解集； (2)，，求的最大值. 【答案】(1)作图见解析， (2). 【解题思路】（1）分类讨论求得，即可作出图形； （2）由（1）知的图象与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最小值为，则，，即可求解. 【解答过程】（1）∵，∴. 函数图象如右所示： 由图可知的解集为. （2）由（1）知，的图象与轴交点的纵坐标为， 且各部分所在直线斜率的最小值为， 故当且仅当，时，恒成立， 此时有最大值. 即的最大值是. 【变式1-1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【答案】(1)， (2)图象见解析，最大值为4 【解题思路】（1）根据自变量的取值，代入分段函数解析式即可； （2）根据图象最高点即可写出最大值. 【解答过程】（1）因为， 所以，，则. （2） 如图，由图象可知，最大值为4. 【变式1-2】（2025·四川乐山·三模）已知函数． (1)画出f（x）的图象，并写出的解集； (2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足，证明：． 【答案】(1)作图见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）由绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号得分段函数解析式，然后分段作出函数图象，由图象得不等式的解集； （2）由（1）得最小值，然后用基本不等式得出的范围，再用基本不等式得，利用二次函数性质得的范围，从而可得不等式成立，注意等号取得的条件是否一致． 【解答过程】（1）由题，得，图象如图所示． 由图可知，的解集为． （2）由（1）知，函数f（x）的最小值为，则． 只需证明即可． 由已知，，，则，所以． 于是， 因为 ， 由于，则，即， 所以，当且仅当时，等号成立． 【变式1-3】（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 【答案】(1)作图见解析； (2)最大值为，. 【解题思路】（1）把代入，再画出函数图象即可. （2）作出函数与直线围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得. 【解答过程】（1）当时，， 在坐标平面内作出函数的图象，如图：    （2）依题意，，其图象如图：    令，得函数的图象与直线的两个交点， 直线与直线交于点， 显然，即点， 函数的图象与直线围成多边形为四边形，其面积为： ， 显然函数在上单调递增，当时，， 所以函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值为，此时. 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项. 【解答过程】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 【变式2-1】（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【解答过程】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C. 【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【解答过程】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A. 【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数与的图象可知函数的定义域与奇偶性，即可选出求解. 【解答过程】由图可知函数的定义域为函数和函数的定义域的交集为， 故函数的图象不经过坐标原点，排除选项BC； 又因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以函数是奇函数，排除选项D. 故选：A. 【题型3 根据函数图象选择解析式】 【例3】（2025·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解. 【解答过程】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，， 对于C，当时，，C不可能； 对于D，当时，，D不可能； 对于A，当时，，而当时，，则，A可能； 对于B，当时，，而当时，，则，B不可能. 故选：A. 【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入判断C错误，则可得到D正确. 【解答过程】根据函数 的图象， 知 ， 而对A选项排除A； 对B选项，因为，则， 则，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B； 根据C选项的解析式， ， 而根据函数 的图象， 知 ， 排除 C. 故选：D. 【变式3-2】（2025·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【解答过程】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 【变式3-3】（2025·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【解答过程】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 【题型4 函数图象的变换】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【解答过程】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据函数图象的变换得到答案. 【解答过程】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】找出与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可. 【解答过程】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 【变式4-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用平移变换可得，判断函数的奇偶性，结合赋值法可得结论. 【解答过程】因为，所以，其定义域为， 且，所以为偶函数，故排除BC； 又时，， 当时，，故排除A， 故选：D. 【题型5 根据实际问题作函数图象】 【例5】（2025·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分，，求出解析式，然后可知图象. 【解答过程】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 【变式5-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得. 【解答过程】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 故选：A. 【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项. 【解答过程】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【解答过程】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 【题型6 利用图象研究函数的性质】 【例6】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【解题思路】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【解答过程】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C. 【变式6-1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【解答过程】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解. 【解答过程】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【答案】C 【解题思路】利用为定义域在的奇函数，结合图象逐项进行判断即可. 【解答过程】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，, 由图知，则，故A正确； 对于B，，为奇函数，则，故B正确； 对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为， 因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误； 对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确. 故选：C. 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 【例7】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 【变式7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C. 【变式7-2】（2025·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据奇函数的图象特征补全图象，再应用符号法列不等式组，进而应用数形结合求解不等式即可. 【解答过程】根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示， 由，得， 等价于或 解得或，或． 故不等式解集为． 故选：C. 【变式7-3】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由已知，讨论的范围，求出函数的解析式，画出函数的图象，然后判断方程根的个数即可． 【解答过程】是定义在上的函数，且有， 当时，， 则时，，则 时， 时， 时， 画出函数与函数的图象， 由图象可知方程的根的个数为3. 故选：C. 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【解答过程】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 【变式8-1】（2025·湖北·三模）已知，且，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断函数的奇偶性，再结合函数的图像，逐个判断即可. 【解答过程】函数的定义域为R， ， 所以函数为奇函数， 又， 所以函数在R上单调递增， 又， 所以可得： ， 画出的图像， 当，，时，不成立， 当时，可能成立， 故选：D. 【变式8-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围. 【解答过程】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 对于： 当时，，即，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 【变式8-3】（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数可得函数在,上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得，再由对数函数的性质可得，结合，，是方程的三个根，可得，即可求得答案． 【解答过程】因为当时，， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，所以， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 由此可得， 当时，令，解得或， 所以， 又因为， 所以， 所以； 由题意可得，，是方程，即的三个根， 所以， 即， 所以， 即， 所以． 故选：． 一、单选题 1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【解答过程】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D. 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【解答过程】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 3．（2025·全国·模拟预测）函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的对称变换，伸缩变换，平移变换，即可求解． 【解答过程】函数的图象如图①关于轴对称可得，    再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得，    再将的图象向右平移2个单位得，即得    再将的图象沿轴翻折可得，即得图2． 故选：B． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案. 【解答过程】的定义域为，不符合函数图像，A不满足； 的定义域为，不符合函数图像，B不满足； ，，不符合函数图像，D不满足. 故选：C. 5．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可. 【解答过程】，排除A. 既不是奇函数，也不是偶函数，排除D. 在上单调递减，排除C. 的图象符合题中图象，B正确. 故选：B. 6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用偶函数的图象特征，将不等式转化成或 【解答过程】根据偶函数的图象特征， 可知当时，，当时， 由，得， 等价于或 解得，或． 所以不等式解集为： 故选：D. 7．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动．过点作交于点，设点的运动路程为，图②表示的是与的函数关系的大致图象，则矩形的面积是（    ） A．20 B．18 C．10 D．9 【答案】A 【解题思路】设，则，由正切值，代入数值后得出二次函数关系，再结合图象和对称轴，顶点坐标求出，最后求出面积即可. 【解答过程】由图②可知，，设，则， 如图，当点在上时， 则， 因为，所以， 即，化简为， 当时，代入上式并结合图②可得， 解得或（舍去），所以， 所以矩形的面积是， 故选：A. 8．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【解答过程】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用函数图象变换依次判断可得出结论. 【解答过程】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确； 对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确； 对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误； 对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确． 故选：ABD. 10．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）下列可能是函数（其中）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【解题思路】根据题意，结合各选项中函数的定义域及函数图象与轴的交点，可得答案． 【解答过程】A选项中的图象关于y轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误； B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，函数满足题意，B选项正确； C选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确； D选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确； 故选：BCD. 11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】由函数的定义域可判断的符号，分别令可判断的符号. 【解答过程】函数的定义域为， 由图可知，则， 由图可知，所以， 由，得， 由图可知，得，所以， 综上，． 故选：AB. 三、填空题 12．（2025·全国·模拟预测）把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，得到的图象对应的函数解析式是 ． 【答案】 【解题思路】利用指数函数图像平移的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，且设新函数为， 因为把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的倍， 所有，故新函数为，即. 故答案为：. 13．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式. 【解答过程】观察图象知，奇函数在上单调递增，则在上单调递增，且， 不等式，当时，不等式成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（2025·全国·模拟预测）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解题思路】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集. 【解答过程】根据题意有：， 在同一坐标中作出函数与的图象: 当时，，所以与的交点为， 由图可有的解集为：. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 【答案】(1)0； (2)或或 (3)图像见解析 【解题思路】（1）由函数解析式即可求解； （2）由解析式分类讨论求解即可； （3）由解析式即可直接作图； 【解答过程】（1）， （2）， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上的值为：或或 （3） 16．（24-25高一上·全国·课前预习）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据一次函数和二次函数的图象特征画图即可； （2）根据题意可得的图象，再结合图象求解即可. 【解答过程】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：    （2）结合的定义，可得函数的图象：    由，得，解得，或． 由图易知的解析式为. 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数的解析式并画出的图象. 【答案】，作图见解析 【解题思路】由题意，分析点在正方形不同的边上运动时三角形的面积即可写出分段函数得解. 【解答过程】当点P在上运动，即时，； 当点P在上运动，即时，； 当点P在上运动，即时，. 综上可知，， 画出图象如下图所示： 18．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 19．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据图象所过的点求不同区间上的解析式，进而写出函数的分段函数形式； （2）根据解析式画出函数大致图象判断实根个数，再讨论不同区间，应用方程思想及零点存在性定理确定各区间零点个数，即可得答案. 【解答过程】（1）在曲线段OA中，由，即 又，且，解得 设射线AB：．由，解得 故所求解析式为. （2）函数的大致图象如图 从“形”的角度直观判断： 因为函数与的图象有且仅有两个交点， 所以方程，即有且仅有个不等实根． 从“数”的角度严格论证如下： 显然，只考虑的情形． ①当时，函数在上单调递增． 而且，，所以在有且仅有一个零点． 所以方程，即在有且仅有个实根． ②当时，由，得，即． 解得，或（舍去）． 所以方程在有且仅有个实根． （或解：因为函数在上单调递增． 且，，所以在有且仅有一个零点． 综上所述，方程有且仅有个不等实根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 函数的图象（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 作出函数的图象】 2 【题型2 函数图象的识别】 4 【题型3 根据函数图象选择解析式】 6 【题型4 函数图象的变换】 7 【题型5 根据实际问题作函数图象】 8 【题型6 利用图象研究函数的性质】 10 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 12 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 13 1、函数的图象 考点要求 真题统计 考情分析 (1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数 (2)会画简单的函数图象 (3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题 2024年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第7题，5分 2025年北京卷：第4题，4分 2025年天津卷：第3题，5分 函数图象是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大. 知识点1 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 知识点2 函数图象的应用及其解题策略 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 【题型1 作出函数的图象】 【例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)请画出函数的图象，并求的解集； (2)，，求的最大值. 【变式1-1】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数的解析式为. (1)求，的值； (2)画出这个函数的图象，并写出的最大值. 【变式1-2】（2025·四川乐山·三模）已知函数． (1)画出f（x）的图象，并写出的解集； (2)令f（x）的最小值为T，正数a，b满足，证明：． 【变式1-3】（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】（2025·云南玉溪·二模）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据函数图象选择解析式】 【例3】（2025·浙江台州·一模）函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型4 函数图象的变换】 【例4】（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据实际问题作函数图象】 【例5】（2025·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用图象研究函数的性质】 【例6】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【变式6-1】（2025高三下·全国·专题练习）函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C．在定义域上不存在最小值 D．在的最大值与最小值之和为 【题型7 利用图象确定零点个数、解不等式】 【例7】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-2】（2025·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·河北保定·一模）已知是定义在上的函数，且有，当时，，则方程的根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 利用图象求参数的取值范围】 【例8】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·湖北·三模）已知，且，则下列可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·四川南充·二模）已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动．过点作交于点，设点的运动路程为，图②表示的是与的函数关系的大致图象，则矩形的面积是（    ） A．20 B．18 C．10 D．9 8．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 二、多选题 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）下列可能是函数（其中）的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   11．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·全国·模拟预测）把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，得到的图象对应的函数解析式是 ． 13．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为 . 14．（2025·全国·模拟预测）如图，函数的图象为折线，且线段的中点坐标为，则不等式的解集是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 16．（24-25高一上·全国·课前预习）给定函数，，． (1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象； (2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和解析法表示函数． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数的解析式并画出的图象. 18．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 19．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$