精品解析：2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷

2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（河北专密） 本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若与互为相反数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义，求代数式的值等知识，新根据相反数的定义得出，然后根据绝对值的非负性可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2. 如图，一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为，则a的值是（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及一元一次方程的应用，根据题意列式，求出a的值即可． 【详解】解：， 解得， 故选：B． 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查从不同角度观察图形．画出从左边看到的图形即可求解． 【详解】解：从左面看到的平面图形为 故选：A 4. 我国研制的“曙光3000超级服务器”排在全世界运算速度最快的500台高性能计算机的第80位，它的峰值速度达到每秒运算403200000000次，将数据403200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念，科学记数法的形式为，其中，n为整数. 将原数移动小数点使a满足范围，并确定n的值． 【详解】解：∵原数为403200000000，将小数点向左移动11位得到，满足， ∴，故表示为． 故选：D． 5. 按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入程序中计算得到结果，判断是否大于输出即可． 【详解】解：当输入时， 第一次： ，不输出； 第二次： ，输出； ∴输出结果为． 故选：． 6. 如图，，点、分别在、上，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质，首先根据两直线平行内错角相等可知，根据角平分线的性质可知，根据两直线平行同旁内角互补可求． 【详解】解：如下图所示， ，， ， 平分交于点， ， 又， ， ．   故选： D． 7. 如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠着数轴平移到平行四边形的位置．点、表示的数分别为、，则点平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键．根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，点平移的距离为， 故选C． 8. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形， 设大正方形的边长为， 大正方形的对角线长为，面积为， 阴影部分的边长为， ， (该点取到阴影部分)， 故选：A． 9. 如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数，，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用−日历问题，根据横排相邻的日期，下面的数总比上面的数多7，判断各结论即可． 【详解】解：根据图示知：，， 所以， 观察选项可知，选项C符合题意． 故选：C． 10. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：三角形是等边三角形，边长为1， ，， 第一段圆弧圆心角：， 第二段圆弧圆心角：， 以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）， ， ， 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为， 故选：B． 11. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标， ∴，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线开口向上， ∴，故①正确， ∴，， ∴在正半轴，在第二象限 ∴经过两点的直线一定不经过第三象限，故②正确， 由，当时， 解得： ∴抛物线交x轴于，， ∴若方程有两个根，且，则，正确，故③正确， 若方程有四个根，设方程的两根分别为， 则，可得， 设方程的两根分别为， 则，可得， 所以这四个根的和为，故④错误， 故选：C． 12. 如图，正方形边长为6，E为线段上一点，F为边上一点，满足，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，由勾股定理求得，推出，，，证明，求得，在和求得，，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点，过点作直线分别交和于点，，作于点， ∵正方形， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∵E为对角线上一点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形边长为6， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 卷II（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的加减，先根据分母有理化得出，再根据二次根式的加减运算法则计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，则点表示的数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键，点、在数轴上表示的数为、，则、两点之间的距离为．设出点所表示的数，根据点、所表示的数，可以表示出的距离，在根据，表示出，由折叠得，，列方程求解即可． 【详解】解：设点所表示的数为，则，， ，点表示的数为， 点表示的数为， 根据折叠得， ， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，反比例函数的图象经过等边的顶点，且原点刚好落在上，已知点的坐标是，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，由点，勾股定理得到的值，是等腰直角三角形，再根据等边三角形的性质得到，，由此得到，且是等腰直角三角形，由此求出即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过等边的顶点， ∴，，， ∴，， ∴， 解得，， ∵轴，轴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即2， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数与结合图形的综合，掌握等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，当为直角顶点时，与重合，可得；当为直角顶点时，过作于，可得结合旋转性质可得，用可判定，得到，可推出，在中用勾股定理即可求得；当为直角顶点时，共线，可得，在即可求得． 【详解】解：（1）当为直角顶点时，与重合，如图： 此时； （2）当为直角顶点时，过作于，如图： 由旋转性质可得， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ③当为直角顶点时，如图： 此时共线， ， 在中， 综上所述：的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质，三角形全等的判定、勾股定理，分情况讨论是解题关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： （1）在“接力游戏”中，从____同学开始出现计算错误，错误的原因是_______________； （2）请写出正确解答过程． 【答案】（1）甲，分子分母没有同乘以 （2） ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算：一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． （1）甲在通分时，分子没有乘； （2）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【小问1详解】 解：在“接力游戏”中，从甲同学开始出现计算错误，错误的原因是分子分母没有同乘以； 故答案为：甲，分子分母没有同乘以； 【小问2详解】 略 18. 若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． （1）把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ （2）若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； （3）已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 【答案】（1），不是； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的大小比较，有理数的混合运算，对新定义的正确理解是解答问题的关键． （1）用和谐多项式的定义即可判断； （2）按b的降幂排列后，由和谐多项式的定义可知，即可求得； （3）计算出后，分情况分别讨论，求得m的值，代入整式即可求得式子的值． 【小问1详解】 解：按的降幂排列：， 因为，，所以， 所以多项式 不是“和谐多项式”． 【小问2详解】 解：把多项式 按的降幂排列为． 因为多项式 是的“和谐多项式”， 所以．因为为整数，所以． 【小问3详解】 解：． 因为，所以不是的和谐多项式． 把原多项式按的降幂排列为． 由题意，得，所以，． 而，所以．所以． 所以． 19. 某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求点D到直线的距离； （2）求古塔的高度． 【答案】（1）点D到直线的距离为 （2）古塔的高度是 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点D作于点M，解直角三角形求出即可； （2）证明，在中，解直角三角形求出，再在中求出即可． 【小问1详解】 解：过点D作于点M， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， ∴， ∴． 即点D到直线的距离为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：古塔的高度是． 20. 2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全国面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 组别 分组x（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C m 9 D 3 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）表格中 ______，所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组； （2）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； （3）估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 【答案】（1）， （2）万元 （3）户 【解析】 【分析】（1）用组的户数除以组户数占比即可得出抽取的总户数，再减去其他各组户数，即可得出组的户数；由各组的户数及中位数的定义即可得出所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在哪一组； （2）根据平均数的定义和计算方法进行计算即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（户）， 抽取的总户数为，且，， 所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在组， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（万元）， 所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为万元； 【小问3详解】 解：（户）， 估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的约有220户． 【点睛】本题主要考查了由扇形统计图求总量，频数分布表，根据数据描述求频数，中位数的定义，求一组数据的平均数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握频数、平均数、中位数的概念及扇形统计图、频数分布表是解题的关键． 21. 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象． （1）放入的长方体的高度为 ； （2）求所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 【答案】（1）20 （2） （3）容器注满水所用的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解图象的意义是解题的关键． （1）分析函数图象即可求解； （2）利用待定系数法求一次函数解析式； （3）将代入，即可求解容器注满水所用的时间． 【小问1详解】 解：由函数图象得，当时，， 3分钟后图象发生变化，即水面超过小长方体， ∴放入的长方体的高度为， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：设所在直线的函数表达式为：， 则代入得：, 解得：， ∴所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，则， 解得：， ∴该容器注满水所用的时间为． 22. 淇淇陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． （1）在图1中，求弦的长； （2）在图2中，求的长； （3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）如图，连接，，与交于点，可得四边形为矩形，得到，，进而得，由可得，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （）如图，连接，，延长交于点，可得四边形为矩形，得到，，，由可得，进而由勾股定理得，即得，得到的长为， （）如图，连接，由切线长定理可得，设，则，由（）得，则，在中由勾股定理得，解得，得到，再根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，，与交于点， ∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，，延长交于点， ∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴的长为， 【小问3详解】 解：如图，连接，由切线长定理可得， 设，则，由（）得，则， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，在一次实践活动中，晓冬在矩形平台的上方，距地面米的点E处向上抛出一个小球．当小球行至距出发点的水平距离为1米时，到达最高点，此时距地面竖直高度为12米，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系，从抛出到下落的过程中，小球的铅垂高度与水平距离近似满足二次函数的关系，小球在空中运动路线是抛物线的一部分（不计空气阻力，小球的大小忽略不计）．已知平台宽米，高米，与平台连接着一个斜坡．请解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （2）若以斜坡的中点为参照点，请判断小球能否越过参照点M且落在斜坡上？并说明理由； （3）小球在空中从抛出到达最高点的高度或从最高点到下落的高度与时间均满足（其中为常数，表示重力加速度，取）．求小球抛出后经过多长时间，刚好到达B点正上方？ （4）在平面上放置一发射器，由发射器射出的小球满足关系式：（发射器的高度忽略不计），其中是小球距离发射点的高度，是初速度，是重力加速度（取），是小球射出后所经历的时间．若晓雪在平台B处，在晓冬抛出小球的同时，用发射器竖直向上射出一个小球，小球在上升过程中恰好与晓东抛出的小球相撞，请直接写出晓雪用发射器射出的小球初速度的值． 【答案】（1） （2） ∵， 当时，， 解得：（舍去），， ∵，，为的中点， ∴， ∵， ∴小球能越过参照点M且落在斜坡上． （3）小球抛出后经过秒，刚好到达B点正上方 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用； （1）由题意可设抛物线为：，把代入可得答案； （2）求解时，，由为的中点，可得，结合可得答案； （3）由题意可得：小球从抛出到达最高点时，上升了米，可得，当时，，此时下落的高度为：米，可得，再分别解方程可得答案； （4）由（3）得：的正上方抛物线上的点的坐标为，此时晓雪用发射器射出的小球上升高度为米，而此时抛出的小球的飞行时间为秒，代入可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：抛物线的顶点坐标为：， ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得：小球从抛出到达最高点时，上升了米， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴此时下落的高度为：米， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴小球抛出后经过秒，刚好到达B点正上方； 【小问4详解】 解：由（3）得：的正上方抛物线上的点的坐标为， 此时晓雪用发射器射出的小球上升高度为米， 而此时抛出的小球的飞行时间为秒， ∴， 解得：； 24. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作的延长于H，，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，求出或，由（2）知：，，利用等腰三角形与赼有三角形的性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）过点作的延长于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）在上截取，使，连接． ，， ． ∵菱形， ∴， ， ． ． ， ， ． ． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．如图， ，点G为边的三等分点， ∴或， ，或，． ∵菱形， ∴ ∴ ，， 由（2）知， ， ． 或 ∴或． 由（2）知：，， ∴或， ∵，， ∴或， ∵，， ∴ ∴ 由勾股定理，得，即， ∴或． 【点睛】此题考查菱形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟悉菱形性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（河北专密） 本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若与互为相反数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 如图，一个点在数轴上从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动a个单位长度后，该点所表示的数为，则a的值是（ ） A. B. 8 C. D. 4 3. 篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（ ） A. B. C. D. 4. 我国研制的“曙光3000超级服务器”排在全世界运算速度最快的500台高性能计算机的第80位，它的峰值速度达到每秒运算403200000000次，将数据403200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的程序输入进行计算，则输出结果为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，，点、分别在、上，连接，平分交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠着数轴平移到平行四边形的位置．点、表示的数分别为、，则点平移的距离为（ ） A. B. C. D. 8. “七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数，，，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（ ） A. B. C. D. 11. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，有下列结论： ① ②经过两点的直线一定不经过第三象限 ③若方程有两个根，且，则一定满足 ④若方程有四个根，且这四个根的和为 其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ③④ C. ①②③ D. ①③ 12. 如图，正方形边长为6，E为线段上一点，F为边上一点，满足，与相交于点G，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 卷II（非选择题，共84分） 注意事项： 1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚 2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，，则 __________． 14. 一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且，则点表示的数是_________． 15. 如图，反比例函数的图象经过等边的顶点，且原点刚好落在上，已知点的坐标是，则的值为____． 16. 如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 老师设计了一个数学“接力游戏”，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给甲同学，他完成一步计算后，再将结果传递给乙同学，依次进行，最后完成计算．规则是每位同学只能看到前一位同学传过来的式子． 根据上面同学的接力过程，回答以下问题： （1）在“接力游戏”中，从____同学开始出现计算错误，错误的原因是_______________； （2）请写出正确解答过程． 18. 若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是的“和谐多项式”． （1）把多项式按的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ （2）若关于，的多项式是的“和谐多项式”，求的值； （3）已知，均为关于，的三次三项式，其中，（，为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 19. 某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，，且点A，B，C，D，E在同一平面内． （1）求点D到直线的距离； （2）求古塔的高度． 20. 2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全国面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 组别 分组x（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C m 9 D 3 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）表格中 ______，所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组； （2）求所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； （3）估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 21. 如图1，在一个深的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2是容器水面高度随时间的变化图象． （1）放入的长方体的高度为 ； （2）求所在直线的函数表达式； （3）求该容器注满水所用的时间． 22. 淇淇陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示． （1）在图1中，求弦的长； （2）在图2中，求的长； （3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值． 23. 如图，在一次实践活动中，晓冬在矩形平台的上方，距地面米的点E处向上抛出一个小球．当小球行至距出发点的水平距离为1米时，到达最高点，此时距地面竖直高度为12米，取水平线为x轴，铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系，从抛出到下落的过程中，小球的铅垂高度与水平距离近似满足二次函数的关系，小球在空中运动路线是抛物线的一部分（不计空气阻力，小球的大小忽略不计）．已知平台宽米，高米，与平台连接着一个斜坡．请解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （2）若以斜坡的中点为参照点，请判断小球能否越过参照点M且落在斜坡上？并说明理由； （3）小球在空中从抛出到达最高点的高度或从最高点到下落的高度与时间均满足（其中为常数，表示重力加速度，取）．求小球抛出后经过多长时间，刚好到达B点正上方？ （4）在平面上放置一发射器，由发射器射出的小球满足关系式：（发射器的高度忽略不计），其中是小球距离发射点的高度，是初速度，是重力加速度（取），是小球射出后所经历的时间．若晓雪在平台B处，在晓冬抛出小球的同时，用发射器竖直向上射出一个小球，小球在上升过程中恰好与晓东抛出的小球相撞，请直接写出晓雪用发射器射出的小球初速度的值． 24. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $