72.立体几何与空间解析几何讲义-2026届高三数学一轮复习

72.空间解析几何方法与应用 随着向量法的引出，新教材也在习题位置介绍了空间平面与直线的方程. 类似于平面解析几何思想，在涉及到空间直线的交点或者平面的交线时，我们当然也可以通过它们的方程来求得具体的位置或者轨迹，这样的话，就降低了对几何方法的需求. 实际上，根据笔者的教学经验，学生在利用几何关系寻找交点，截线，轨迹时，往往很难找到解题思路. 所以，我们需要思考和探寻能够更加有效地帮助学生突破这类问题的方法，本文所涉及的空间解析几何思想就是其中重要的一种，下面我将通过近年的高考试题与模考试题做详细分析和说明. 一．基本原理 1.平面的点法式方程[1] 在人教版选择性必修第一册44页习题中出现如下结论：在空间直角坐标系中，已知向量，点. 若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则我们可以得到平面的点法式方程：. 2.点到直线的距离公式 已知直线上两点，则由可知直线的单位方向向量为，则线外一点到直线的距离满足的公式为：. 3.点到平面的距离公式[1] 显然，若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程，进一步，若点到平面：的距离为： . 证明：如图所示，设平面的方程为，向量为的法向量，平面外一点，在平面内取一点，则点到平面的距离为，其中为向量与向量的夹角，则，所以 而，由于点在平面上，因此有，即，由此可得，所以，空间中点平面距离公式可看成平面内点到直线的距离公式的推广.    4.直线的交线式方程[1] 若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程： .进一步，两个平面的交线的方程为： ， 该三元一次方程组称为直线由平面的相交的交线式方程，此时，直线的方向向量为： ，即平面法向量的向量积. 在得到上述平面的方程与点到平面的距离后，我们就可以将一些立体几何问题利用“解析几何”的思想来计算，特别是一些截线，交点问题，倘若我们无法通过几何手段找到“隐点”，“隐截线”的位置，那我们还可通过解析的方法来实现，下面通过实例予以说明. 二．典例分析 例1．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解析：由题意，平面和平面的法向量分别是，， 设平面和平面的夹角为，故选：B. 例2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 解析：对于，可以整理为， 由题意可得：平面过点，且法向量，联立方程，整理可得，由题意可得：直线l过点，且方向向量为，∵，∴故直线l与平面所成角的正弦值为.故选：A. 例3.已知直四棱柱的棱长为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_________. 解析：建立如图1所示的直角坐标系，由已知条件，，则各点坐标分别为：. 那么，设为面的法向量，则可得： ，故面的方程为：，整理可得： ①.而球的方程为：②. 根据球的截面性质，先计算球心到平面的距离，根据公式可知：.进一步，假设球心在平面的小圆半径为，则. 最后，为了算得截线长，我们假设球心在小圆面的投影为，经过分析，球与面的交点在侧棱上，设交点分别为.则联立①②，以及 ，我们可计算得坐标分别为：，于是，那么，，则球与面的截线为 图1 图2 注：利用解析几何的思想，我们只需把握住球的小圆面的基本性质就可通过解析方法找到结果，全程并未通过几何作图找具体位置，不失为一种好的方法！ 计算与“隐直线”有关的夹角 例4.在正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为__________． 解析：设正方体的棱长为2，建立如图2所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，建立如图2所示的空间直角坐标系.则， .设平面的法向量为，由上述可得，由于，取，则可求得： . 同理，设平面的法向量为，由于，由可求得：. 设直线的方向向量为，那么，即，而，则，故答案为. 例5．（多选题）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于的任何一个三元一次方程都表示一个平面 解析：对于A：根据题设可知平面的方程为， 即为，故A正确； 对于B：因为平面的方程为，由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，所以是平面的法向量，故B正确； 对于C：， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误； 对于D：设，其等价于， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；故选：ABD. 例6．在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为． 阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（    ） A．平面与垂直 B．平面与所成角的余弦值为 C．直线与平面平行 D．直线与是异面直线 解析：由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量； 对于A，，，则平面与垂直，A正确； 对于B，， 平面与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，，直线平面或直线平面， 直线过点，又满足，直线平面，C错误； 对于D，与不平行，直线与直线相交或异面， 由得：，此时无解，直线与直线无交点， 直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD. 例7．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足： ①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解； ②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为． （1）写出坐标平面的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由； （2）已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）； （3）已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值． 解析：（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为， 当时，平面截曲面所得交线上的点满足， 即，也即在平面上到原点距离为定值1， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆. （2）设是直线上任意一点，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即， 则，解得，所以点的坐标为， 于是，因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. （3）直线在曲面上，且过点，设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，则，解得，所以点的坐标为， ∵在曲面上，∴，整理得，由题意，对任意的，有恒成立，∴，且，∴，或， 不妨取，则，或，∴，或，又直线的方向向量为， 则异面直线与所成角的余弦值均为 习题演练 1．（多选题）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于的任何一个三元一次方程都表示一个平面 解析：对于A：根据题设可知平面的方程为， 即为，故A正确； 对于B：因为平面的方程为，由题设可知平面的一个法向量为，且即共线，所以是平面的法向量，故B正确； 对于C：， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误； 对于D：设，其等价于， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确；故选：ABD. 2．在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为． 阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（    ） A．平面与垂直 B．平面与所成角的余弦值为 C．直线与平面平行 D．直线与是异面直线 解析：由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量； 对于A，，，则平面与垂直，A正确； 对于B，， 平面与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，，直线平面或直线平面， 直线过点，又满足，直线平面，C错误； 对于D，与不平行，直线与直线相交或异面， 由得：，此时无解，直线与直线无交点， 直线与直线是异面直线，D正确.故选：AD. 3．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过的直线的点方向式方程； (2)已知平面，平面，平面，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【详解】（1）由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． （2）由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 4．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值； (3)若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程. 【详解】（1）由直线的标准式方程为可知，直线l的一个方向向量坐标为， 由平面的点法式方程为可知，平面的一个法向量为， 设直线l与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线l与平面所成角的余弦值为. （2）由平面的点法式方程为可知，平面的法向量为， 设点在平面内的投影点为，易知与共线， 故，又由点在平面上，则满足， 令，则把代入可得： ，解得， 再代入，即可得， 由点A及点B在平面外的同侧，点C为平面内任意一点，要求的最小值， 利用将军饮马问题，可设点关于平面的对称点为， 则为中点，故由中点公式可得， 所以由两点间距离公式可得， 因为，所以， 由几何关系可知. （3）由平面为可知，平面的法向量， 由交线方程为可知，的方向向量， 设平面的法向量，则有， 整理得，不妨设，解得或； 故平面的法向量或 又直线在平面内，不妨取其上一点， 若，则平面为； 若，则平面为 综上，平面的点法式方程为： 或 学科网（北京）股份有限公司 $$ 72.空间解析几何方法与应用 随着向量法的引出，新教材也在习题位置介绍了空间平面与直线的方程. 类似于平面解析几何思想，在涉及到空间直线的交点或者平面的交线时，我们当然也可以通过它们的方程来求得具体的位置或者轨迹，这样的话，就降低了对几何方法的需求. 实际上，根据笔者的教学经验，学生在利用几何关系寻找交点，截线，轨迹时，往往很难找到解题思路. 所以，我们需要思考和探寻能够更加有效地帮助学生突破这类问题的方法，本文所涉及的空间解析几何思想就是其中重要的一种，下面我将通过近年的高考试题与模考试题做详细分析和说明. 一．基本原理 1.平面的点法式方程[1] 在人教版选择性必修第一册44页习题中出现如下结论：在空间直角坐标系中，已知向量，点. 若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则我们可以得到平面的点法式方程：. 2.点到直线的距离公式 已知直线上两点，则由可知直线的单位方向向量为，则线外一点到直线的距离满足的公式为：. 3.点到平面的距离公式[1] 显然，若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程，进一步，若点到平面：的距离为： . 证明：如图所示，设平面的方程为，向量为的法向量，平面外一点，在平面内取一点，则点到平面的距离为，其中为向量与向量的夹角，则，所以 而，由于点在平面上，因此有，即，由此可得，所以，空间中点平面距离公式可看成平面内点到直线的距离公式的推广.    4.直线的交线式方程[1] 若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面的一般式方程，即三元一次方程： .进一步，两个平面的交线的方程为： ， 该三元一次方程组称为直线由平面的相交的交线式方程，此时，直线的方向向量为： ，即平面法向量的向量积. 在得到上述平面的方程与点到平面的距离后，我们就可以将一些立体几何问题利用“解析几何”的思想来计算，特别是一些截线，交点问题，倘若我们无法通过几何手段找到“隐点”，“隐截线”的位置，那我们还可通过解析的方法来实现，下面通过实例予以说明. 二．典例分析 例1．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 例3.已知直四棱柱的棱长为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为_________. 注：利用解析几何的思想，我们只需把握住球的小圆面的基本性质就可通过解析方法找到结果，全程并未通过几何作图找具体位置，不失为一种好的方法！ 计算与“隐直线”有关的夹角 例4.在正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则直线与所成角的余弦值为__________． 例5．（多选题）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于的任何一个三元一次方程都表示一个平面 例6．在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为． 阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（    ） A．平面与垂直 B．平面与所成角的余弦值为 C．直线与平面平行 D．直线与是异面直线 例7．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足： ①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解； ②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为． （1）写出坐标平面的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由； （2）已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）； （3）已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值． 习题演练 1．（多选题）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于的任何一个三元一次方程都表示一个平面 2．在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为． 阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（    ） A．平面与垂直 B．平面与所成角的余弦值为 C．直线与平面平行 D．直线与是异面直线 3．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过的直线的点方向式方程； (2)已知平面，平面，平面，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 4．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值； (3)若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$