数列凸凹性及其在新概念压轴中的应用讲义-2026届高三数学一轮复习

54.数列凸凹性及其在新概念压轴中的应用 一．基本原理 定义1.若实数列满足条件，则称是一个凸数列.若上述不等式反向,则称数列是一个凹数列. 定义2.若非负实数列满足条件，则称是一个对数凸数列.若上述不等式反向,则称数列是一个对数凹数列. 注1：这个定义完全是类比函数的凸凹性得到的：凸函数自变量的平均数的函数值不大于凌晨讲数学函数值的平均数，几何解释：凸函数的图象上弧线位于线段的下方； 凹函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数 ，几何解释：凹函数的图象上弧线位于线段的上方； (图1：凸函数) (图2：凹函数) 注2.显然，等比数列满足，即既是对数凸数列也是对数凹数列. 二．典例分析 例1．对于数列{}，若对任意，都有，则称该数列{}为“凸数列”．设，若是凸数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2.若数列满足，则称数列为凹数列．已知等差数列的公差为，，且数列是凹数列，则的取值范围为_______. 例3.定义：数列对一切正整数均满足，称数列为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法： ①等差数列一定是凸数列； ②首项，公比且的等比数列一定是凸数列； ③若数列为凸数列，则数列是单调递增数列； ④若数列为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列． 其中正确说法的序号是__________. 例4（2024届浙江金华高三三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 例5.若实数列满足条件，、、，则称是一个“凸数列”. （1）判断数列和是否为“凸数列”? （2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有； （3）若是一个“凸数列”，证明：对，有 例6.（2024届山东青岛高三二模）若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列． (1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由； (2)若函数有三个零点，其中． 证明：数列为“对数凹性”数列； (3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得． 证明：数列为“对数凹性”数列． 例7 ．如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”． （1）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记． ①求数列的前项和； ②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论； （2）设项正数数列是“凸数列”，求证：，， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 54.数列凸凹性及其在新概念压轴中的应用 一．基本原理 定义1.若实数列满足条件，则称是一个凸数列.若上述不等式反向,则称数列是一个凹数列. 定义2.若非负实数列满足条件，则称是一个对数凸数列.若上述不等式反向,则称数列是一个对数凹数列. 注1：这个定义完全是类比函数的凸凹性得到的：凸函数自变量的平均数的函数值不大于凌晨讲数学函数值的平均数，几何解释：凸函数的图象上弧线位于线段的下方； 凹函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数 ，几何解释：凹函数的图象上弧线位于线段的上方； (图1：凸函数) (图2：凹函数) 注2.显然，等比数列满足，即既是对数凸数列也是对数凹数列. 二．典例分析 例1．对于数列{}，若对任意，都有，则称该数列{}为“凸数列”．设，若是凸数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：数列，，，是“上凸数列”，得，， 即， 即，化简得，当时， ，若恒成立，则恒成立， 令 则单调递增，当 时，取最小值，故 又当时，的最大值为，所以 ，则的取值范围是， 故选：D 例2.若数列满足，则称数列为凹数列．已知等差数列的公差为，，且数列是凹数列，则的取值范围为_______. 解析：因为等差数列的公差为，，所以，因为数列是凹数列，所以恒成立，即，恒成立，所以恒成立，即，恒成立， 因为，所以，两边同乘以， 得，即，恒成立，所以，解得，所以的取值范围为，故答案为： 例3.定义：数列对一切正整数均满足，称数列为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法： ①等差数列一定是凸数列； ②首项，公比且的等比数列一定是凸数列； ③若数列为凸数列，则数列是单调递增数列； ④若数列为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列． 其中正确说法的序号是__________. 解析：在①中，由等差数列的性质可得，不满足， 所以数列不是“凸数列”；故不正确 在②中，因为数列的首项，公比且，所以， 所以＝，所以数列一定是凸数列；故正确. 在③中，因为数列为凸数列，所以数列对一切正整数均满足， 所以，所以数列是单调递增数列，故正确的； 在④中，数列为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列是正确的． 综上所述，②③④正确． 例4（2024届浙江金华高三三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若，，求的最大值． 解析：（1）法一：由题意得：，∴， ∴，，，，，将以上式子累乘得：，也即成立． （2）法一：∵，∴， ∴，则， ∴，∴． 法二：∵，∴，也即，同时，由可得：，∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：，也即，同理可得： ，，……， 将以上式子累加得：，∴，∴，∴成立． （3）由可得：，∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：①，另外，，，…，，将以上式子累加得：②，结合①②式可得：，∴，化简得：，另外，显然有符合题意，此时，综上，的最大值为10． 例5.若实数列满足条件，、、，则称是一个“凸数列”. （1）判断数列和是否为“凸数列”? （2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有； （3）若是一个“凸数列”，证明：对，有. 解析：（1）因为， 所以数列不是“凸数列”，因为，所以数列为“凸数列”； （2）由题意得，所以， 而，所以， 又， 所以，故，证毕； （3）①当时，即，由（2）得，所以， 故，成立； ②当时，即，显然成立； ③当时，由（2）得， 所以， 所以，故成立. 综上所述，对，有. 例6.（2024届山东青岛高三二模）若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列． (1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由； (2)若函数有三个零点，其中． 证明：数列为“对数凹性”数列； (3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得． 证明：数列为“对数凹性”数列． 解析（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中不成立， 所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列； （2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根， 所以，又，所以，显然，即不是的零点，又， 令，则也有三个零点，即有三个零点，则有三个零点，所以有两个零点， 所以同上有，故数列为“对数凹性”数列 （3）将互换得：，所以，令，得，所以，故数列是等差数列，记，所以，所以，又因为，所以，所以，所以为单调递增的等差数列，所以. 所以 ，所以，数列是“对数凹性”数列 例7 ．如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”． （1）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记． ①求数列的前项和； ②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论； （2）设项正数数列是“凸数列”，求证：，， 解析：（1）①设的公比为，的公差为，由题意可得解得或（舍去），，因此，．故， 从而，（i） ，（ii） （i）－（ii）得，，即．②由①，，所以，故数列是“凸数列”． （2）记，则原不等式等价于 ，即，因而只需证明，因为，所以，故，而 ，从而，即，结论得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$