精品解析：广东省江门市新会第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

新会二中2024-2025学年第一学期期中考试 高二级数学试题 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 2. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 3. 已知空间向量，，若，则实数的值是（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 同时掷两个骰子，向上的点数之和是8的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 关于事件的以下结论，其中一定正确的为（ ） A. 若为对立事件，则不可能是互斥事件 B. 若为互斥事件，则不可能是对立事件 C. 若为互斥事件，则不可能为相互独立事件 D. 若为相互独立事件，则也可能为互斥事件 6. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了40名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如表所示： 党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第75百分位数分别是（ ） A. 8，10 B. 8，10.5 C. 9，10 D. 8，9.5 7. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 8. 已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题满分6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C. 丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 11. 以下命题正确的是（　　） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则， 12. 某企业为普及法制教育，对本单位1500名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动.现从中随机抽取100人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（ ） A. 估计该企业的员工得分在区间内 B. 该企业员工竞赛得分不小于90的人数估计为195人 C. 估计该企业员工的平均竞赛得分约为74.5 D. 该企业员工竞赛得分的第75百分位数约为83 三、填空题（共4小题，每小题满分5分） 13. 一个袋子中有3个红球、4个白球、5个绿球，若随机地摸出一个球，记A=“摸出红球”，B=“摸出白球”，C=“摸出绿球”，则___________ 14. 已知，则 等于_______ 15. 设直线的方向向量，平面的法向量，若，则__________ 16. 在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为______． 四、解答题：（共5小题，共66分，必须写出详细解答过程） 17. 一个袋子中有2个红球，3个白球，采用不放回的方式从中依次随机地取2个球. （1）用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； （2）求第二次取到的球是红球的概率 （3）求两次取到的球颜色相同的概率 18. 某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人的血样中恰有2人呈阳性，4人呈阴性，现从这6人的血样中再随机抽取2人的血样作进一步检查，求至少有1人的血样呈阳性的概率． 19. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设． （1）试用 表示向量，， （2）求； （3）求证： 20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，， ，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计样本成绩的中位数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差. 21. 如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新会二中2024-2025学年第一学期期中考试 高二级数学试题 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 点关于平面的对称点为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果. 【详解】由对称关系可知，点关于平面对称的点为 故选 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点的对称问题，需明确点关于平面对称点的坐标为，属于基础题. 2. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　) A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据已知可得：，故选择A 考点：分层抽样 3. 已知空间向量，，若，则实数的值是（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，因此有. 故选：C 4. 同时掷两个骰子，向上的点数之和是8的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出所有可能的结果数和点数之和为8的所有结果数，根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】同时掷两个骰子，向上的点数共有种结果。 其中向上的点数之和是8的有：，，，，，共有种， 所以根据古典概型公式可知：向上的点数之和是8的概率为：. 故选：C. 5. 关于事件的以下结论，其中一定正确的为（ ） A. 若为对立事件，则不可能是互斥事件 B. 若为互斥事件，则不可能是对立事件 C. 若为互斥事件，则不可能为相互独立事件 D. 若为相互独立事件，则也可能为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件与互斥事件的关系，及相互独立事件的定义即可求解. 【详解】因为对立事件一定是互斥事件，故选项A错误； 因为互斥事件可能是对立事件，也可能不是对立事件，故选项B错误； 若为互斥事件，则；若为相互独立事件，则， 所以若既为互斥事件，又相互独立，则，即，至少有一个为， 即对于，， 若为互斥事件，则不可能为相互独立事件，故选项C正确； 若为相互独立事件，则也不可能为互斥事件，故选项D错误. 故选：C. 6. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了40名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如表所示： 党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第75百分位数分别是（ ） A. 8，10 B. 8，10.5 C. 9，10 D. 8，9.5 【答案】A 【解析】 【分析】由众数和百分位数的定义求解． 【详解】该单位党员一周学习党史时间中，8出现的次数最多，众数是8， 学习时间小于10小时的比例是，小于11小时的比例是，因此第75百分数是10． 故选：A． 7. 如图所示，三棱柱中，是的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为. 故选：B 8. 已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，最小时，有最小值，求的最小值即可. 【详解】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径， 则有，， 点在圆锥的侧面上运动， 则， 最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离， 中，，，则，点到的距离， 则的最小值为，的最小值为. 故选：A 二、多选题（共4小题，每小题满分6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 10. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ） A. 甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是 C. 丙同学随机选择选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 【答案】ABC 【解析】 【分析】 对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项. 【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为， 随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确. 乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件， 分别为：， 随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确. 丙同学随机选择选项（丙至少选择一项）， 由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为： 选择一项：； 选择两项：； 选择三项或全选：，， 随机事件“能得分”中有基本事件， 故“能得分”的概率为，故C正确. 丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个， 随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为， 故D错. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）. 11. 以下命题正确的是（　　） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 两个不同平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则， 【答案】CD 【解析】 【分析】计算是否成立，可判断A；判断与是否平行即可判断B；判断与是否平行即可判断C；，求出和的坐标，利用求出和的值即可判断D；进而可得正确选项. 【详解】对于A，因为，，所以， 所以，不垂直，故直线与直线不垂直，故选项A错误； 对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量， 所以与不平行，故直线与不垂直，故选项B错误； 对于C，因为两个不同平面，的法向量分别为，，所以，故，所以，故选项C正确； 对于D，因为，，，所以， ，又因为是平面的法向量， 则，即，解得，，故选项D正确． 故选：CD． 12. 某企业为普及法制教育，对本单位1500名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动.现从中随机抽取100人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（ ） A. 估计该企业的员工得分在区间内 B. 该企业员工竞赛得分不小于90的人数估计为195人 C. 估计该企业员工的平均竞赛得分约为74.5 D. 该企业员工竞赛得分的第75百分位数约为83 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，即可判断A，再求出得分在区间内的频率，即可判断B，根据平均数公式判断C，根据百分位数公式判断D. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 对于A：由频率分布直方图可知得分在区间内的频率为， 即估计该企业的员工得分在区间内，故A错误； 对于B：得分在区间内的频率为， 故该企业员工竞赛得分不小于的人数估计为人，故B正确； 对于C：估计该企业员工的平均竞赛得分约为 ，故C正确； 对于D：因为， 故第百分位数位于之间，设为， 则，解得， 故企业员工竞赛得分的第百分位数约为，故D正确； 故选：BCD 三、填空题（共4小题，每小题满分5分） 13. 一个袋子中有3个红球、4个白球、5个绿球，若随机地摸出一个球，记A=“摸出红球”，B=“摸出白球”，C=“摸出绿球”，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】，， 由题意得事件与事件互斥， 所以. 故答案为：. 14. 已知，则 等于_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量加法、数量积的坐标运算求解即可. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 15. 设直线的方向向量，平面的法向量，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间位置关系的向量法可得，列式求解即可. 【详解】因为直线的方向向量，平面的法向量，， 所以，所以，解得. 故答案为：. 16. 在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线所成的角为，则． 故答案为：. 四、解答题：（共5小题，共66分，必须写出详细解答过程） 17. 一个袋子中有2个红球，3个白球，采用不放回的方式从中依次随机地取2个球. （1）用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； （2）求第二次取到的球是红球的概率 （3）求两次取到的球颜色相同的概率 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本空间及样本点的定义即可求解； （2）根据古典概型公式计算即可； （3）根据古典概型公式计算即可； 【小问1详解】 设两个红球为，三个白球为， 第一次取到的球为，第二次取到的球为，一次试验结果为， 则样本空间为， 共含有20个样本点，且每个样本点发生是等可能的. 【小问2详解】 设事件“第二次取到的球是红球”， 则，共有8个样本点， 所以； 【小问3详解】 设两次取到的球颜色相同的事件为， 则，共有8个样本点， 所以. 18. 某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查． （1）求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？ （2）若所抽取的6人的血样中恰有2人呈阳性，4人呈阴性，现从这6人的血样中再随机抽取2人的血样作进一步检查，求至少有1人的血样呈阳性的概率． 【答案】（1）甲3人，乙2人，丙1人；；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出三个部门的员工人数之比，即可求出各部门分别抽取的人数，求出总人数即可求出概率； （2）求出随机抽取2人的血样的所有可能结果，再得出至少有1人的血样呈阳性的结果，即可求出概率. 【详解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：1， 由于采用分层抽样的方法从中抽取6人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人． 该企业总共有名员工， 记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等， 所以每一位员工被抽到的概率为． （2）记事件：“至少有1人的血样呈阳性” 记其中呈阳性的2人的血样分别为，，呈阴性的4人的血样分别为，，，，则从6人的血样中随机抽取2人的血样的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中至少有1人的血样呈阳性的结果有：，，，，，，，，，共9种， 故至少有1人的血样呈阳性的概率为． 19. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设． （1）试用 表示向量，， （2）求； （3）求证： 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为， 所以， ，     ，  所以. 【小问3详解】 因为． 所以. 20. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，， ，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计样本成绩的中位数； （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2）中位数为75 （3）平均数是，总方差是 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为，即可求解； （2）中位数即第50百分位数，根据成绩落在内的频率为，落在内的频率为，可知中位数落在内.设中位数为，则，解方程即可求解； （3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，根据分层随机抽样的均值公式和方差公式即可求解. 【小问1详解】 ∵每组小矩形的面积之和为， ∴，解得. ∴频率分布直方图中的值为. 【小问2详解】 中位数即第50百分位数，成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 故中位数落在内. 设中位数为，则，解得， 故中位数为75. 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， . 所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是. 21. 如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】 （1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，易知平面的一个法向量为， ，则， 平面，故平面； （2）设平面的法向量为，，， 由，得，取，可得， 所以，，故平面. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可证得结论成立. 【详解】（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $