浙江省杭州第四中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

杭州第四中学2024学年高二年级期末考试 数学试题卷 2025年6月 考生须知： 1. 本试卷分试题卷与答题卷两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2. 请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效。 3.考试结束后，只需上交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，若,则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2． 设点是平行四边形的对角线的交点，点是平面内任意一点，则( ) A. B. C. D. 3. 已知直线和平面，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（     ） A． B． C． D． 7. 已知椭圆C的左、右焦点分别为，，下顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点若，则C的离心率为 （ ） A. B. C. D. 8. 校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将 侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将 球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为，）均服从正态分布，其中，．如图，已知，，，，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知的部分图象如图所示，则（     ） A．的最小正周期为π B．满足 C．在区间的值域为 D．在区间上有3个极值点 11. 已知点P在圆上，点，，则（ ） A.点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当最小时， D. 当最大时， 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．复数满足，则_________. 13. 已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为_________. 14．如图，在数轴上一个质点在外力的作用下，从原点出发，每隔向左或向右移动一个单位，向右移动的概率是，共移动，设随机变量为移动后的质点的坐标，求移动后质点的坐标为正数的概率________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的内角的对边分别为． (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，点，分别在棱，上，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当三棱柱的体积最大时，求平面 与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(，0)，且C的一条渐近线经过点D(，1)． (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点P(2,1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）求单调区间； （3）已知，且，证明：对任意的，． 19．（17分）对于给定的正整数，如果正整数能整除，则称是的因子；如果正整数共同的因子只有，则称正整数和互素．已知函数表示正整数的因子个数，数列满足以下条件： ① 对于任意素数和正整数，都有； ② 对于任意的正整数和，若和互素，则 ． （1）求的值，并写出和的关系（无需证明）； （2）当是偶数时，证明：； （3）设数列的前项和为，证明： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州第四中学2024学年高二年级期末考试 数学参考答案 2025年6月 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B C A A B C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 BC AD ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.（1）解：因为，由正弦定理得，可得， 即，因为，可得，所以，即， 所以. （2）解：由（1）知， 因为若的面积为，可得，即，解得，又因为， 由余弦定理得， 整理得，解得，所以， 所以的周长为. 16. （1）解：连结，交于点，连结， 因为，，所以，且， 则，，所以， 所以，又点是的中点，所以， 平面，平面，所以平面； （2）由已知，， 当时，的面积最大，此时三棱柱的体积最大， 如图，以点为原点建系，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 即平面的法向量为，平面的法向量为, ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 解　(1)因为双曲线C的右焦点为F(，0)， 所以c＝，所以a2＋b2＝6， 又因为双曲线C的一条渐近线经过点D(，1)， 可得＝，即a2＝2b2， 联立 解得a2＝4，b2＝2， 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)假设存在符合条件的直线l，易知直线l的斜率存在， 设直线l的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得x－x＝2(y－y)， 所以·＝， 因为AB的中点为P(2,1)， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 所以k×＝，解得k＝1， 直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1， 把直线y＝x－1代入－＝1，整理得x2－4x＋6＝0， 可得Δ＝(－4)2－4×6<0，该方程没有实根，所以假设不成立， 即不存在过点P(2,1)的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P. 18.（1）解：，则．因为，所以， 解得，． （2）解：．令，则，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立，即恒成立， 故在上单调递增，无单调递减区间． （3）证明：由，可得． 又，所以． 因为，，所以只需证明，， 即证明，． 先证明，即，令， 则，所以在上单调递增． 只需证，， 即，． 令，，则， 所以，故． 再证明，即．同理，只需证明， 即． 令，，则． 令，，则，所以在上单调递增．又因为，， 则存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，，所以，故． 综上，对任意的，． 19.(1)解：注意到，对于任意的正整数，和总是互素的, 因此恒成立，即. 又, 故. 通过计算特殊的和的值，可以发现：. (2)证明：设，若是的因子，则且 故，即 因此，偶数的因子除了外，至多有个 故 (3)考虑奇数，设，若是的因子，则且 故，即，又，故 即 结合(2)问结论，有： 故 且，故原命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $$