专题23 椭圆的简单几何性质（3知识点+9大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题23 椭圆的简单几何性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点02：直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点03：中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 ． . 【题型01：椭圆的简单几何性质】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定、、及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形. 【详解】（1）将化为标准方程为：， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为， 椭圆图象如下：    （2）将化为标准方程为：， 因为，所以椭圆的焦点落在轴上， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为， 椭圆图象如下：    二、单选题 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【分析】先确定焦点位置，再根据计算即可. 【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得. 故选：D. 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B 4．（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断 【详解】由，得， 所以椭圆的标准方程为，则， 因为点在椭圆上， 所以． 故选：C 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【详解】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 【题型02：由椭圆的简单几何性质求标准方程】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为6，离心率为； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)根据离心率与长轴的定义，求解出椭圆的、、，再按焦点所在坐标轴分别写出椭圆的标准方程即可； (2)根据离心率与顶点坐标的定义，求解椭圆的、、即可 (3)根据为等腰直角三角形，利用勾股定理求解出、、的关系即可. 【详解】（1）由题意得：，则， 又因为，所以， 则由椭圆的几何性质得：，所以， 所以椭圆的标准方程为：或. （2）因为椭圆的焦点在轴上，由题设得：， 又因为，所以， 则由椭圆的几何性质得：，所以， 所以椭圆的标准方程为：. （3）设椭圆标准方程为：， 如图所示，为等腰直角三角形，为斜边上的中线，且，， 又因为焦距为6，所以， 则由椭圆的几何性质得：， 所以椭圆的标准方程为：. 2．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点； (2)离心率，焦距为12. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程. （2）根据给定条件，由离心率求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程. 【详解】（1）当椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为， 由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得， 则所求椭圆的标准方程为； 当焦点在y轴上，设其标准方程为， 由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得， 则所求椭圆的标准方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. （2）令椭圆长半轴长为a，半焦距为c，由，得， 由离心率，得，即，因此椭圆短半轴长， 当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为； 当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 3．（24-25高二上·江西宜春·月考）（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得. （2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求解. 【详解】（1）椭圆焦点为，设所求椭圆的标准方程为且， 由点在椭圆上，得，整理得， 而，解得，所以所求椭圆的标准方程为. （2）椭圆离心率， 令所求椭圆的长短半轴长分别为，则，， 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为； 当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为， 于是，解得，方程为， 所以所求椭圆的标准方程为或. 4．（24-25高二上·天津静海·月考）已知椭圆， (1)已知椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.求椭圆的方程； (2)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，求椭圆的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合椭圆中的关系即可求解； （2）由题意利用点到直线的距离可得，根据离心率公式可得，继而即可求解. 【详解】（1）由题意得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为， 解得， 由题意得， 解得， 所以椭圆的方程为. 【题型03：求椭圆离心率的值】 一、单选题 1．（24-25高二下·云南丽江·月考）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出、、的值，结合椭圆离心率公式求解即可. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，则， 又因为，则，因此，该椭圆的离心率为. 故选：B. 2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆C：（）的左顶点到上焦点的距离为2，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，即可得离心率. 【详解】由题意知，左顶点，上焦点， 则，解得，∴ ∴离心率. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 4．（24-25高二下·广西·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解. 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 5．（2025·广东·一模）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由椭圆的定义可得， 所以，， 因为,由余弦定理可得 所以， 整理可得，所以，即. 故选：A. 6．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，过上顶点作直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率. 【详解】如图： 因为的周长为，，，所以，. 又， 所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：D 【题型04：求椭圆离心率的取值范围】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆，根据点总在椭圆内部，可得，再根据椭圆的性质能够推导出椭圆离心率的取值范围． 【详解】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为，，， 因为，所以点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆． 又点总在椭圆内部， 所以该圆内含于椭圆，即，所以，则． ，，即椭圆离心率的取值范围是． 故选：C． 2．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合离心率公式即可求得范围. 【详解】由题可知，所以． 又因为，所以，， 所以C的离心率的取值范围是， 故选：D． 3．（24-25高二上·江苏无锡·月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 4．（24-25高二上·河南焦作·期末）阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数．若，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，，，进而得到则，，，代入，结合计算即可. 【详解】设椭圆的方程为，，，， 则，，，所以， 而，则． 由及，可得. 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高二上·浙江·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据点关于直线对称结合焦半径的范围化简得出离心率范围. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， ， ， ，即，又， 椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：.    6．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点， 则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即， 所以，即椭圆离心率， 故答案为： 【题型05：椭圆离心率中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距. 【详解】设椭圆方程为，依题意可知，， 解得，所以椭圆的焦距为. 故选：A 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，M是圆O上动点，M在y轴上身影为N，则满足（）的动点P的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率,则λ=（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由相关点法求出椭圆的轨迹方程，再由，列方程代入解方程即可得出答案. 【详解】设圆的方程为， 设，因为， 则，所以，即 因为是圆上一点， 所以，所以，即， 所以，而椭圆的离心率为：， 所以，解得：. 故选：D. 二、填空题 4．（24-25高二上·天津红桥·月考）已知椭圆的离心率，则实数 ． 【答案】或 【分析】对焦点的位置进行分类讨论，根据离心率的定义结合方程运算求解. 【详解】①若焦点在轴上，则，即，， 则， 可得，解得； ②若焦点在轴上，则，即， 则 可得，即； 故答案为：或. 5．（2024·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由椭圆离心率为，可得，则， 所以. 故答案为：. 【题型06：直线与椭圆的位置关系】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 二、解答题 3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【答案】(1)m∈（－3，3） (2)m＝±3 (3)m∈（－∞，－3）∪（3，＋∞） 【详解】解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组 消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0 ③. 判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144. （1） 当Δ＞0，即m∈（－3，3）时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． （2） 当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知直线l与椭圆C有且只有一个公共点． （3） 当Δ＜0，即m∈（－∞，－3）∪（3，＋∞）时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 【考查意图】 直线和椭圆的位置关系的判断． 4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组即可求解； （2）设所求直线方程为，联立椭圆方程结合判别式等于0求出参数的值即可得解. 【详解】（1）由题意得，从而可得， 椭圆的标准方程为. （2）设与直线平行的直线的方程为：， 联立，得， 由，得， 直线的斜截式方程为：. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 【题型07：弦长及三角形面积问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 2．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. (1)求弦长； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值； （2）求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）在椭圆中，，，所以，，则点， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，其方程为， 联立消去可得， ，设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得. （2）原点到直线的距离为， 故的面积为. 4．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知动点到两定点，的距离之和为定值，且过点． (1)求动点的轨迹方程C； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)为或. 【分析】（1）根据给定条件，利用两点间距离公式求出定值并确定轨迹图形，进而求出方程. （2）设出直线的方程，与的方程联立，结合韦达定理及三角形面积求出参数即可. 【详解】（1）依题意，点到点的距离和为， 因此动点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为4的椭圆，短半轴长为， 所以动点的轨迹方程C：. （2）直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，， 的面积 ，解得， 所以直线的方程为或. 5．（24-25高二下·辽宁朝阳·开学考试）已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的离心率可得结果. （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示三角形面积，分析函数性质可得结果. 【详解】（1） 由椭圆的定义得，的周长为 ，故. 由离心率得，∴， ∴椭圆C的方程为. （2） 设， 由得，， 由得，， ∴， ∴ ， ∵点到直线的距离为， ∴的面积， 令，则 ∵二次函数对称轴为直线， ∴当时，， ∴. 6．（2025·江西·二模）在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，借助，构造方程组，求出，代入，整理计算即可； （2）依题意，知道直线不垂直于轴，设其方程为，直曲联立，借助韦达定理和三角形面积公式得，令，变形，结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）设，则，过作轴的垂线，垂足为,则， 因为，则， 则整理得代入中得， 整理得，所以曲线C的方程为． （2） 依题意知道，直线不垂直于轴， 则设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则 则， 令，则，且 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为． 【题型08：中点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津·月考）椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该直线与椭圆的两个交点坐标为，则由和作差即可计算得解. 【详解】由题意可知以点为中点的弦所在直线斜率存在且不为0， 设该直线与椭圆的两个交点坐标为， 则①，②，由②①得， 所以以点为中点的弦所在直线斜率为. 故选：D. 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 4．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设椭圆的方程为，利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程． 【详解】设椭圆的方程为， 由题意知，且直线的斜率， 设，则， 两式相减得， 由的中点坐标为，知， 所以， 所以，即， 又，所以， 故椭圆C的方程为． 故选：C． 5．（24-25高二上·天津和平·期末）已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 二、填空题 6．（24-25高二上·广东广州·月考）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【答案】 【分析】用点差法求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程，结合弦长公式即可求出结果. 【详解】设，，因为线段的中点为， 根据中点坐标公式得：，， 由，在椭圆上，有，两式相减化简得： ， 所以，即直线的斜率为， 可得直线的方程为：，即， 联立方程，消去得：， 则，， 所以线段的长度是： ， 故答案为： 【题型09：椭圆中的定点、定值问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）证明：由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 3．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论. 【详解】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示：    联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 4．（23-24高二上·重庆·月考）已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的离心率公式即可求解； （2）设，，设直线方程为，由及韦达定理得，，由平面向量数量积的坐标运算得，故，求解即可. 【详解】（1）双曲线的焦点为，， 对椭圆：有， 又椭圆的离心率为，则由，得， 又有， 椭圆的标准方程为； （2）设，，设直线方程为， 由，整理得：， 由， ，， ，， ， 要使为定值，则， 即，即， 解得：或舍， 故． 5．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由焦距为可求得，再将点代入椭圆C方程即可求得，进而求解即可； （2）结合题意易得，转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理代入运算得解. 【详解】（1）由题意，，即，则①； 又点在椭圆C上，故②， 联立①②解方程组得，，， 所以椭圆C的方程为. （2）假设存在点，使得恒成立， 易知点，设点，， 设直线的方程为：， 联立方程组得，， 则由根与系数的关系得，，，（*） 若满足，则，即， 整理得，， 又，，代入上式得，， 整理得，， 将（*）式代入得，， 又，解得， 故存在点使得恒成立. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 2．（2024·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线中关系和离心率公式即可得到答案. 【详解】由双曲线方程知，且焦点在轴上， 所以在椭圆中，则，离心率. 故选：A. 4．（24-25高二上·安徽·月考）已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的一个焦点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与坐标轴的交点即得椭圆的两顶点，从而可得焦点坐标. 【详解】解：由已知与坐标轴的交点为， 所以椭圆的两个顶点分别为， 故椭圆， 焦点在y轴上，一个焦点为. 故选：A. 5．（24-25高二上·河北唐山·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出可得答案. 【详解】若，则， 所以， 可得，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 6．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，建立方程求出离心率. 【详解】由椭圆定义得，而，则， 又，，于是，解得， 所以椭圆的离心率为， 故选：A 7．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的性质，得，结合条件得到，即可求解. 【详解】易知， 则，又，则， 得到，所以，解得或（舍）， 故选：C. 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 9．（23-24高二上·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆离心率求得，设，表示出的表达式，结合椭圆方程化简，即可得答案. 【详解】由题意知椭圆C：的离心率为， 即， 设，则，又， 故， 又，故， 故选：C 10．（24-25高二下·湖南·月考）设，为椭圆的两个焦点，若在上存在点，满足，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，只需在左右顶点时，，据此计算即可求得的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆，可知焦点，在轴上，且， 所以， 在上存在点，满足，在左右顶点时，取到最大值， 只需在左右顶点时，， 所以，所以，所以，解得， 又椭圆的离心率小于1，所以的离心率的取值范围为. 故选：B. 11．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆上（异于，设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，再根据，结合椭圆的方程，可得，再根据离心率公式求解范围即可. 【详解】设，则，故，即， 故，即. 故，故. 故选：A 12．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合已知得出，根据勾股定理得出.根据离心率公式，结合椭圆的定义，即可得出.根据焦点即可得出答案. 【详解】    由正弦定理得. 又，则， 又，得， 所以，，， 所以椭圆C的离心率. 又，所以. 故选：A. 13．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法可得，因为点为直线与圆的切点，所以，可求解. 【详解】设， 设直线，且， 则，作差得：， 由，所以，① 因为点为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得，解得. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用点差法解决圆锥曲线中点弦有关问题，以及圆的切线有关性质的灵活运用. 二、填空题 14．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则 ． 【答案】或. 【分析】根据离心率定义求椭圆的离心率，结合条件确定椭圆的离心率，讨论焦点位置列方程求. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则， ， ， 所以椭圆的离心率，又， 所以， 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，所以， 所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 所以或. 故答案为：或. 15．（23-24高二上·安徽亳州·月考）已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的性质分析可得，进而可求离心率. 【详解】设椭圆E的上顶点为Q， 则，则， 又因为，则， 即E的离心率的取值范围是． 故答案为：. 16．（23-24高二上·广西玉林·月考）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点， 因为，即点为线段的中点， 设,，,，显然，则，， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 故答案为： 17．（24-25高二上·上海·月考）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 18．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】先设，再结合椭圆定义及垂直关系得出即可求出离心率. 【详解】设，则，，， 所以. 在中，，所以， 解得，所以，， 所以， 所以离心率. 故答案为：. 19．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】设线段的中点为，连接， 由题意知，， 因为为的中点，所以，是的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率， 故答案为：. 三、解答题 20．（2024高二·全国·专题练习）写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据焦点位置可假设方程，结合所过点和椭圆关系即可求解； （2）根据所过点可得长轴为轴，假设椭圆方程，结合所过点可得结果； （3）采用待定系数法，代入所过点坐标即可求得结果. 【详解】（1）椭圆焦点在轴上，可设其方程为：； 椭圆过点，，又，， 椭圆标准方程为：； （2），椭圆长轴为轴，可设其方程为， 则，，椭圆标准方程为：； （3）椭圆焦距为，， 设椭圆方程为：或， 椭圆过点，，解得：， 椭圆标准方程为：或. 21．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，联立方程组，结合，即可求解； （2）根据题意，结合，求得的值，代入方程，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，联立方程组，整理得到， 由，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：由（1）中，令，解得或， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 所以公共点的横坐标为或. 22．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆的短轴长和焦距均为. (1)求的方程； (2)若直线与没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得，得，则， 所以的方程为. （2）解：联立得， 因为与没有公共点，所以， 得或，即的取值范围为. 23．（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 24．（24-25高二下·河南·期中）已知椭圆经过点，且的离心率． (1)求的方程； (2)若直线经过点且与相切，求的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，得到直线的方程为，联立方程组，结合，求得的值，即可得到的方程. 【详解】（1）解：由椭圆经过点，且的离心率， 可得，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：当过的直线的斜率不存在时，此时，显然不符合题意， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，所以， 整理得，解得， 所以的方程为，即. 25．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，表示椭圆离心率，将点代入椭圆方程，联立方程求解； （2）分别表示出直线方程，结合弦长公式求解. 【详解】（1）因为椭圆，其中离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 联立，得， 设直线与椭圆的交点为， 则，， 则， 解得， 所以直线的方程. 26．（24-25高二下·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）设直线：，且，联立方程，设，，由韦达定理结合椭圆弦长公式得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为的离心率为，且焦距为， 可得且，解得，，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部， 设直线：，且， 联立方程组，整理得， 设，，则，， 因此 ， 由，可得，即， 所以的取值范围为. 27．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆定义求出即可. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出三角形面积，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，右焦点，则左焦点，而，轴， 则，于是， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去并整理得， ，解得， 设，则 则面积， 令，则，且， ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 28．（24-25高二下·重庆·月考）已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线. （i）若是椭圆在第一象限的切线，求的方程. （ii）若直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据椭圆离心率及焦点三角形面积的最大值结合关系列方程求解； （2）（i）先设直线方程再联立方程组根据相切得出判别式为0计算求解；设直线联立方程组结合弦长公式及点到直线距离得出面积，最后换元后应用基本不等式计算得出面积最大值. 【详解】（1）因为焦点三角形面积的最大值是， 根据题意可得，解得，则椭圆方程为； （2）（i）设直线为：， 联立，得， 则，即或， 因为是椭圆在第一象限的切线，所以， 所以方程为 （ii）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ，则， 点到直线的距离为， 则， 令，则，则， 当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为. 29．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知椭圆右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，结合可求出； （2）假设设直线的方程，与椭圆联立，进而由韦达定理可得；求出直线的方程，令可求出其横坐标，再结合的值代入化简即可. 【详解】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）由题意，可设直线的方程为 ，，则 联立方程组消去得方程：， ， 所以， 所以直线的方程为：， 令，则， 故直线过定点. 30．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，列方程组，求出的值，即得椭圆方程； （2）设，直线方程为并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长，利用两点之间距离公式化简 ，将韦达定理代入计算即得证. 【详解】（1）由题可知，解得， 故椭圆C的标准方程是 （2）设，依题可设直线方程为， 由，消去可得：， 故 于是，， 故 ， 故为定值. 31．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦距，短轴概念，计算即可； （2）（ⅰ）先设出直线方程，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得出与的值，再根据公式算出其值.最后根据三角形面积公式求出面积. （ⅱ）本题先设出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到与的表达式.再根据已知条件列出等式，通过化简等式并结合韦达定理求出的值，进而得到直线的方程. 【详解】（1）由题意知 椭圆方程为 （2）（ⅰ）设 联立，消去x得 （ⅱ）已知直线的方程为，与椭圆方程联立： 将代入可得. 展开并整理得. 所以. 由韦达定理可得，.   因为，根据斜率公式可得： ，即. 又因为，，所以. 展开得. 移项可得.   将，代入： 因为，等式两边同时除以得. 即. 两边同时乘以得. 移项可得，解得.   把代入得. 整理得. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 椭圆的简单几何性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 ①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： ②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点02：直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点03：中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 ． . 【题型01：椭圆的简单几何性质】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它们的草图： (1)； (2). 二、单选题 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【题型02：由椭圆的简单几何性质求标准方程】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为6，离心率为； (2)经过点，离心率为，焦点在x轴上； (3)x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 2．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点； (2)离心率，焦距为12. 3．（24-25高二上·江西宜春·月考）（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程. （2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程. 4．（24-25高二上·天津静海·月考）已知椭圆， (1)已知椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.求椭圆的方程； (2)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，求椭圆的方程； 【题型03：求椭圆离心率的值】 一、单选题 1．（24-25高二下·云南丽江·月考）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆C：（）的左顶点到上焦点的距离为2，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广西·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·一模）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，过上顶点作直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【题型04：求椭圆离心率的取值范围】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京石景山·期末）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏无锡·月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南焦作·期末）阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数．若，则该椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·浙江·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 . 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知椭圆C：（）的左、右两焦点分别是、，其中．椭圆C上存在一点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 【题型05：椭圆离心率中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期中）记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆可以看作圆沿定直线方向拉伸或压缩而得.如图，M是圆O上动点，M在y轴上身影为N，则满足（）的动点P的轨迹是椭圆.若椭圆的离心率,则λ=（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·天津红桥·月考）已知椭圆的离心率，则实数 ． 5．（2024·上海普陀·一模）设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为 . 【题型06：直线与椭圆的位置关系】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 二、解答题 3．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【题型07：弦长及三角形面积问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 2．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. (1)求弦长； (2)求的面积. 4．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知动点到两定点，的距离之和为定值，且过点． (1)求动点的轨迹方程C； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程． 5．（24-25高二下·辽宁朝阳·开学考试）已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为 (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于两点，求面积的最大值． 6．（2025·江西·二模）在直角坐标平面内，设是圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交于两点，求面积的最大值． 【题型08：中点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津·月考）椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津和平·期末）已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高二上·广东广州·月考）过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是 ． 【题型09：椭圆中的定点、定值问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 3．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 4．（23-24高二上·重庆·月考）已知椭圆：的焦点与双曲线的焦点重合，椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，交椭圆于两点，点，若为定值，求点的坐标． 5．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，若C的焦距为且经过点，过点F的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽淮南·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．（24-25高二上·福建福州·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·月考）已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的一个焦点为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北唐山·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知，分别为椭圆E：的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 9．（23-24高二上·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·湖南·月考）设，为椭圆的两个焦点，若在上存在点，满足，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·天津·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在椭圆上（异于，设直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 13．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则 ． 15．（23-24高二上·安徽亳州·月考）已知椭圆E：的左、右焦点分别为A，B，若E上存在点P满足：，则E的离心率的取值范围是 ． 16．（23-24高二上·广西玉林·月考）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 . 17．（24-25高二上·上海·月考）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 18．（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，且，则椭圆的离心率为 . 19．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 三、解答题 20．（2024高二·全国·专题练习）写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； (3)焦距等于，且椭圆经过点． 21．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 22．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆的短轴长和焦距均为. (1)求的方程； (2)若直线与没有公共点，求的取值范围. 23．（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 24．（24-25高二下·河南·期中）已知椭圆经过点，且的离心率． (1)求的方程； (2)若直线经过点且与相切，求的方程． 25．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 26．（24-25高二下·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线的斜率为，且与坐标轴的交点均在椭圆内部，直线与椭圆交于两点，求线段的长度的取值范围. 27．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求面积的最大值. 28．（24-25高二下·重庆·月考）已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线. （i）若是椭圆在第一象限的切线，求的方程. （ii）若直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 29．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知椭圆右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点. 30．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 31．（2025·广西南宁·模拟预测）已知椭圆，分别为椭圆E的左，右焦点，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且． (1)求椭圆E的方程； (2)已知过的直线与椭圆E交于M，N两点，且直线l不过椭圆四个顶点． （ⅰ）若直线的倾斜角为，求的面积； （ⅱ）若M在x轴上方，直线与直线的斜率分别为，且，求直线l的方程． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$