专题26 抛物线及其标准方程（3知识点+6大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题26 抛物线及其标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02：抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. （5）求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 知识点03：焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【题型01：抛物线的定义及辨析（含焦半径公式应用）】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东·开学考试）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，列出关于p的式子，即可求得结果. 【详解】由题意可得，解得，则焦点F到坐标原点O的距离是2. 故选：B 2．（24-25高二上·贵州黔西·月考）已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】将抛物线转化为的形式，求出，求出抛物线C的焦点到准线的距离. 【详解】由抛物线可得， 所以，，故抛物线C的焦点到准线的距离是． 故选：B． 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线定义即可求解. 【详解】设，根据抛物线定义可知，， 又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1， 则，解得. 故选：B 4．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【详解】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A 5．（24-25高二上·天津东丽·月考）已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据焦半径，以及锐角三角函数即可求解. 【详解】过作垂直抛物线的准线，垂足为，过作于点， 由于，则，故,进而，故. 故选：A    【题型02：抛物线的焦点与准线】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)，，草图见解析 (2)，，草图见解析 (3)，，草图见解析 (4)，，草图见解析 【分析】根据抛物线的方程，即可得焦点坐标以及准线方程，进而作出图形. 【详解】（1）的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （2）即，它的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （3）的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    （4）即，它的焦点坐标为，准线方程为， 如图：    2．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】根据抛物线的标准方程，可确定焦点位置，即可求得焦点坐标以及准线方程. 【详解】（1）对于，焦点在x轴正半轴上，且， 焦点坐标为，准线方程为； （2）对于，焦点在y轴负半轴上，且有， 焦点坐标为，准线方程为； （3）对于即，焦点在y轴负半轴上，且有， 焦点坐标为，准线方程为； （4）对于， 当时，焦点在x轴正半轴上，且有， 焦点坐标为，准线方程为； 当时，，焦点在x轴负半轴上，且有， 焦点坐标为，准线方程为； 综合可得焦点坐标为，准线方程为. 【题型03：求抛物线方程】 一、单选题 1．（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用准线的性质求出，再求出标准方程即可. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，则该抛物线的标准方程为，故D正确. 故选：D 2．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到圆心为，可得，再利用标准方程的形式，即可求解. 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 3．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 4．（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 5．（24-25高二上·河南洛阳·月考）顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】由题意设抛物线方程为，将代入得， 所以所求抛物线方程为. 故选：C. 6．（23-24高二上·陕西渭南·期中）点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化为标准形式，利用抛物线定义可得答案. 【详解】将化为，准线，由已知得：，所以， 即，所以抛物线方程为. 故选：D 7．（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【详解】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 【题型04：与抛物线有关的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【详解】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解. 【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 5．（24-25高二下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【题型05：抛物线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据焦点求得抛物线方程，由抛物线的定义结合图形即得. 【详解】因为抛物线的焦点为，则，得， 所以抛物线的方程为，令，则， 设过P作抛物线准线的垂线于点B，可得，则. 故点在抛物线内部，过点A作抛物线准线的垂线交抛物线于点P，此时取得最小值，最小值为. 故选：C. 2．（24-25高二下·安徽·月考）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，根据抛物线定义，结合图象，可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点F作，交直线m于点E， 由抛物线的定义可知，， 所以当P在线段上时，取得最小值，． 故选：B. 3．（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义及点与圆的位置关系，通过数形结合计算最值即可. 【详解】如图，过点作垂直准线于点，连接交于点. 由题意可得的准线方程为. 因为，所以， 当三点共线时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 二、填空题 4．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 【题型06：抛物线在实际问题中的应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·月考）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程即可得解. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上， 因此，解得， 所以该抛物线的焦点到准线距离为10. 故选：C 2．（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【详解】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 3．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 4．（23-24高二上·湖南长沙·月考）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D 2．（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由准线方程求出抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由题意可知抛物线开口向下，故设抛物线方程为. 因为抛物线的准线方程为，所以，即，所以该抛物线的标准方程为． 故选：D. 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 4．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，， 故抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 6．（23-24高二上·四川德阳·月考）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案. 【详解】如图，设抛物线的方程为，抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线顶点到焦点的距离为， 故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为米. 故选：A. 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据焦点即可求解抛物线方程. 【详解】直线与坐标轴的交点为以及， 所以抛物线的焦点为或， 当焦点为，此时抛物线方程为， 当焦点为时，此时抛物线的方程为， 故选：C 8．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【详解】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B 9．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．    设抛物线的方程为． 易知抛物线过点，则，得， 所以，所以． 故选：B． 10．（24-25高二上·广东湛江·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义列式计算得解. 【详解】抛物线的准线方程为，依题意，， 所以. 故选：A 11．（24-25高二上·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等边三角形的边长为，由对称性可得在抛物线上，代入，即可求. 【详解】设等边三角形的边长为， 则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B 12．（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用几何意义求解即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 则，即， 所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3. 故选：B 13．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点，准线，过作于，则，将问题转化为求，由图可知当三点共线时最小. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 当时，，因为，所以在抛物线内， 过作于，则， 所以， 由图可知当三点共线时，最小，则最小值为. 故选：D 14．（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 15．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【详解】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D 16．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 17．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用抛物线定义将 转化为 ，数形结合根据线段和的几何意义求得 的最小值, 即可求得答案. 【详解】在抛物线 中， , ∴, 又 , 故 在抛物线 的外部, ∴, ∵抛物线 的焦点为 , 准线方程为 , ∴， ， ∵, 当三点共线（ 在之间）时， 取到最小值 , ∴ 的最小值为 , 故选: C 18．（24-25高二下·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得其所过定点，根据两直线位置关系可得其焦点的轨迹，根据抛物线的定义与圆外一点到圆上点的距离最值问题，结合图象，可得答案. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上，此时圆心为，半径． 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为． 故选：B． 二、填空题 19．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 【答案】2或18 【分析】由抛物线的定义求得坐标，代入抛物线方程即可求解. 【详解】由题意，，则． 又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18． 故答案为：2或18 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求得抛物线的准线方程为，根据题意，利用抛物线的定义，得到，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得准线方程为， 因为，根据抛物线定义可知点到准线的距离为， 又因为到轴的距离为5，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 21．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 22．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    【答案】4 【分析】求出抛物线的准线方程并作出，过M作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答. 【详解】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：    则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 23．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点P作垂直于准线，易知当三点共线时，的周长最小，即可求解． 【详解】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线， 由题可知，的周长为， 又， 易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为． 故答案为： 24．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 25．（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据抛物线定义可得，再根据结论两点之间线段最短求结果. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 因为为抛物线上的动点，到直线，的距离分别，， 所以，， 因为关于的对称点为， 所以， 所以， 又， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立， 所以当点为线段与抛物线的交点时，取最小值， 的最小值为， 故答案为：. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26 抛物线及其标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02：抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. （5）求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 知识点03：焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 【题型01：抛物线的定义及辨析（含焦半径公式应用）】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东·开学考试）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25高二上·贵州黔西·月考）已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（   ） A．4 B． C．3 D． 3．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 5．（24-25高二上·天津东丽·月考）已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型02：抛物线的焦点与准线】 一、解答题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图. (1)； (2)； (3)； (4). 2．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型03：求抛物线方程】 一、单选题 1．（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南洛阳·月考）顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·陕西渭南·期中）点到抛物线（）的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【题型04：与抛物线有关的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型05：抛物线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·安徽·月考）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．4 D．8 二、填空题 4．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【题型06：抛物线在实际问题中的应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·月考）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 2．（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 4．（23-24高二上·湖南长沙·月考）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津河西·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 6．（23-24高二上·四川德阳·月考）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（    ）（结果精确到0.01） A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（    ）    A．3m B．4m C．5m D．6m 10．（24-25高二上·广东湛江·期末）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则（   ） A．4 B． C．8 D． 11．（24-25高二上·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 13．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 16．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 18．（24-25高二下·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ． 21．（24-25高二上·上海·课后作业）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为 . 22．（24-25高二上·广西柳州·期中）如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    23．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ． 24．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 25．（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为 . 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$