专题02 空间向量的数量积运算（3知识点+六大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量的数量积运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． （2）如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点03：空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 【题型01：空间向量的数量积运算】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型02：空间向量的夹角运算】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 【题型03：空间向量模长的运算】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，均为单位向量，且.若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 5．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型04：投影向量的运算】 一、单选题 1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影数量为（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 3．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是 (结果用表示). 【题型05：空间向量中的垂直关系的运算】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型06：空间向量中的最值与范围问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 4．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 9．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 10．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图（1），其简化结构如图（2），其中是两两互相垂直的线段，为斗拱，满足，且和都为钝角．若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 12．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 15．（24-25高二上·安徽淮南·阶段练习）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 17．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 18．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知棱长为2的正四面体满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的取值范围为 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量的数量积运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． （2）如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点03：空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 【题型01：空间向量的数量积运算】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再利用数量积的定义求解. 【详解】由题意可知：. 故选：A 3．（24-25高二上·四川宜宾·期末）如图所示，在平行六面体中，，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向基本定理可得，，利用向量的数量积的运算律可求解. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 4．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 5．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 【题型02：空间向量的夹角运算】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 5．（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出 【详解】如图连接, 则 由题可知， ∴ ， ， ， ∴， 在中,, , 在中, 故选：D. 【题型03：空间向量模长的运算】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据向量数量积的定义和运算律，可求得，由此可得结果. 【详解】由题意，，，，， ， . 故选：A. 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据及数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以，即线段的长为. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，，均为单位向量，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设与，与的夹角，再由已知得出，分，应用同角三角函数关系结合数量积的定义计算求解. 【详解】设与的夹角为，与的夹角为， 由 ，知,所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以. 故选：B 4．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 5．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，二面角的平面角为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：B. 【题型04：投影向量的运算】 一、单选题 1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 2．（24-25高二下·全国·随堂练习）在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影数量为（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算用基底表示，再求出在在投影数量即可. 【详解】因为向量，， 因此， ， 所以向量在上的投影数量为. 故答案为：A. 3．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 4．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取分别为的中点，连接，结合题意，由面面垂直的性质定理结合共线向量的定义即可求解. 【详解】取分别为的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以向量在平面上的投影向量为，且. 故选：. 二、填空题 5．（2024高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 ； . 【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证平面，再由投影向量的几何法确定投影向量. 【详解】空（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． 空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知．      故答案为：； 6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是 (结果用表示). 【答案】 【分析】运用投影向量的概念，结合数量积，基底只是求解即可. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为. 运用运用余弦定理求得. ，， ，展开化简得到， ，由于且面，则, 则. 代入，得到.则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：.    【题型05：空间向量中的垂直关系的运算】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）三棱锥中，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算，表示出，根据可得，结合数量积运算，即可求得答案. 【详解】由题意可知， 而，故， 即，所以， 则，解得， 即， 故选：A 3．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知、、均为单位向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量数量积的定义与运算性质可求得的值. 【详解】因为、、均为单位向量，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 所以，， 因此，. 故选：C. 4．（2025高二·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 【题型06：空间向量中的最值与范围问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用极化恒等式：，根据长方体的几何性质，可得答案. 【详解】取中点为，由极化恒等式，. 又是长方体表面上任意三点， 所以当位于体对角线的两个端点时，最大，最大值为； 此时为长方体的中心，则当位于长方形中心时，的值最小，最小值为1， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 4．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 5．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据垂直关系证明，再转化向量表示，最后结合基本不等式，即可求解. 【详解】连结，因为平面，平面，    所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为点是的中点，所以， 又， 所以 , 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 一、单选题 1．（2024·上海长宁·一模）已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）在棱长为1的正方体中，设，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在正方体中，， 所以. 故选：B 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 5．（24-25高二上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 6．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求，需有，利用空间向量的线性运算将转化为即可. 【详解】 如图： ， ， . 故选：B. 8．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 9．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】以为基底，表示出向量，利用空间向量的数量积求向量的模. 【详解】以为基底，则，，，，. 因为，所以， 则 ， 所以. 故选：D 10．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图（1），其简化结构如图（2），其中是两两互相垂直的线段，为斗拱，满足，且和都为钝角．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，设点，得到，根据题意，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，可得， 所以， 设点，可得，则， 由，可得， ，可得， 所以， 即，所以. 故选：D. 11．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【详解】设，由题意得， 则. 设， 则,故. 由得， 得， 所以 ， 故选：D 12．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 13．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 14．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案. 【详解】根据题意，在中， ， 所以 所以== 则时，取得最小值， 则的最小值为. 故选：B 15．（24-25高二上·安徽淮南·阶段练习）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，连接，设中点为，连接，，，利用转化法求向量数量积的最值即可. 【详解】设中点为，连接，设中点为，连接，，， 则， ， 当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：. 二、多选题 16．（24-25高二上·辽宁·期中）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 17．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AB 【分析】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D. 【详解】 如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确； 取BD的中点H，连接HE，HF，则，， ∴HE⊥FH，即，又，∴，， ∴，故B正确； 由B知，在上的投影向量为，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 18．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知棱长为2的正四面体满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】选为空间内的基底向量，利用向量的线性运算，可得，即可由模长公式，结合不等式即可判断A；根据数量积的运算即可判断B；根据模长可得，即可由不等式以及一元二次不等式判断C；，结合，可求的范围，可判断D. 【详解】由正四面体，可知， 选为空间内的基底向量，， 因为， 故 ，当时，取到等号，故，故A正确； 当，， 所以,故B正确， 当时，，可得，解得，故当且仅当时，取最小值为，故C错误， ， 所以 ， 由于当，故， 因此， 由于，故，因此，故D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是用基底表示，再利用模的计算公式运算求得最值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$