精品解析：广东省江门市新会第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

新会二中2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学选择性必修第二册模块试题 第I卷（选择题） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 2. 在等差数列中，，则（ ） A 14 B. 15 C. 16 D. 18 3. 各项均为正数的等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 6. 在等比数列中，已知，，则公比的值为　　 A. 1或 B. 1或 C. 1 D. 7. 记为数列前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本共3小题，每小题满分6分，部分选对得部分分) 9. 等差数列是递增数列，其公差为，前项和为，满足，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. 当时，最小 D. 当时，的最小值为 10. 函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 的极小值点为，； B. 的极大值点为； C. 在区间上单调递增； D. 函数在上的极值点的个数为 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 有两个极值点 C. 有三个零点 D. 直线是曲线切线 三、填空题（共3小题，每小题满分5分） 12. 已知数列的前n项和满足，则__________． 13. 已知数列满足，且，则数列前四项和的值为________ 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 四、解答题：（共6小题，共77分，必须写出详细解答过程） 15. 求下列函数的导数 （1） （2） 16. 设为等差数列的前n项和，若. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值； （3）若数列的通项公式，求证： 17. 已知函数，，且．求： （1）求a的值及曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数单调性及求函数极值． 18. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及前n项和 19. 已知函数，讨论的单调性； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新会二中2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学选择性必修第二册模块试题 第I卷（选择题） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，四个选项中，只有一项符合题目要求) 1. 已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 【答案】C 【解析】 【分析】由已知通项公式，令并求解，即可确定答案. 【详解】令，解得． 故选：C． 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求出. 【详解】在等差数列中，，则，公差， 所以. 故选：D 3. 各项均为正数的等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等比数列的等比中项可得选项. 【详解】因为各项均为正数的等比数列中，，，所以，所以（负值舍去） 故选：A. 4. 已知函数，则该函数在处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为， ， 所以斜率， ． 故选：C 5. 设为等差数列的前项和，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果. 详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果. 6. 在等比数列中，已知，，则公比的值为　　 A. 1或 B. 1或 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，符合题意； 当时，利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，能求出公比的值． 【详解】在等比数列中， ，， 当时，， 当时，， 解得． 公比的值为1或，故选B． 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式以及等比数列的求和公式，是基础题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 7. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 8. 函数是上的单调函数，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可． 【详解】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立 ，解得 故选：D 【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题． 二、多选题(本共3小题，每小题满分6分，部分选对得部分分) 9. 等差数列是递增数列，其公差为，前项和为，满足，则下列结论正确的是（       ） A. B. C. 当时，最小 D. 当时，的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列基本量计算可得，进而根据单调性判断可得时，，当时，即可判断ABC，根据及时，得时，即可判断D. 【详解】由可得，故， 由于是递增数列，故，，故A正确，B正确， 进而可得当时，，当时， 因此或时，取得最小值，C正确， 由于，故当时，，因此时n的最小值为6，D错误， 故选：ABC 10. 函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（       ） A. 的极小值点为，； B. 的极大值点为； C. 在区间上单调递增； D. 函数在上的极值点的个数为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值点，即可求解. 详解】由图可知，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以函数在上的极值点的个数为，极小值点为，极大值点为， 所以选项A和C错误，选项B和D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B 有两个极值点 C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线 【答案】BD 【解析】 【分析】利用奇函数定义判断A，求得，得出函数的单调区间，求得函数的极值点和极值，以及结合曲线在点处的切线方程，判断BCD. 【详解】函数定义域为R，但， 所以不是奇函数，故A错误； 由函数，可得，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数极大值，极大值， 当时，函数极小值，极小值为， 又由当无限趋向于负无穷大时，，且函数连续不间断， 所以函数在上有且仅有一个零点，所以B正确，C不正确； 当时，可得， 所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题（共3小题，每小题满分5分） 12. 已知数列的前n项和满足，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据和的关系求解即可. 【详解】由，则. 故答案为：6. 13. 已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用等比数列的前n项和公式即可求得结果. 【详解】因为，且，所以数列为以2为首项，为公比等比数列， 所以， 故答案为： 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四、解答题：（共6小题，共77分，必须写出详细解答过程） 15. 求下列函数的导数 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数和求导法则直接求导即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 设为等差数列的前n项和，若. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和，并求当n为何值时，数列前n和最大，求其最大值； （3）若数列的通项公式，求证： 【答案】（1） （2），，最大值为16 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和基本量运算得，代入通项公式求解即可. （2）法一：根据等差数列是递减数列，且，即可得为的最大值； 法二：，利用二次函数性质求解最大值即可. （3）先利用裂项相消法求和，然后利用证明即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由题意得： 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 法一：由得，又等差数列的公差， 所以等差数列是递减数列，因为，所以等差数列前4和最大， 此时； 法二：因为， 所以当时，取到最大值. 【小问3详解】 ， 因为，所以，即. 17. 已知函数，，且．求： （1）求a的值及曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性及求函数极值． 【答案】（1）1， （2）增区间为：和，减区间为，的极大值是0，极小值是. 【解析】 【分析】（1）求导可得，由得，再由导数的几何意义求出切线方程即可； （2）求的根，与的解集，列表格，根据极值的概念即可求解. 【小问1详解】 由得，由得， 所以，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为R，，由得或， 0 + 0 - 0 + 增函数 极大值0 减函数 极小值 增函数 由上表可知，的增区间为：和，减区间为， 所以的极大值是0，极小值是. 18. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及前n项和 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义证明即可； （2）由（1）可知，然后结合等比数列求和公式，利用分组求和思想求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为，所以，， 所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，，即， 所以 . 19. 已知函数，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解. 【详解】∵，定义域为，∴， 当时，由于，则，故恒成立， ∴在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$