精品解析：江苏省无锡市普通高中2024-2025学年高二下学期期终调研考试数学试卷

无锡市普通高中2025年春学期高二期终调研考试试题 数学 2025.6 命题单位：惠山区教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的零点，则整数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知车轮旋转的角度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则车轮转动开始后第4s时的瞬时角速度为（ ） A B. C. D. 4 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 已知是单调递增函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌4台，B品牌6台．如果从中随机挑选2台，则下列事件中概率为是（ ） A. 恰有1台A品牌 B. 恰有2台A品牌 C. 至少1台A品牌 D. 至多1台A品牌 7. 一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位，其中甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上，则不同的坐法有（ ） A 4320种 B. 3600种 C. 2880种 D. 2520种 8. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为6 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的图象是一个中心对称图形 C. 曲线有且只有一条斜率为的切线 D. 存在实数，，使得函数的定义域，值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数其中为正实数，则________． 13. 已知两个变量和的统计数据如下表： 13 16 17 18 15 16 19 22 根据上表可解得回归直线方程：，则实数的值为________． 14. 已知为三次函数的导函数，若，且满足，则极小值的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5．每个人射击的结果互不影响． （1）求三人中恰有两人命中目标的概率； （2）在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率． 16. 已知关于的一元二次不等式的解集． （1）求实数，的值； （2）集合，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 17. 某中学共有2000名学生，为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了该校的200名学生，整理得如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 70 70 140 不喜欢跳绳 20 40 60 合计 90 110 200 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，假设经过训练后，每人每分钟的跳绳个数都增加了10个．请估计经过训练后，该校2000名学生每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）； （3）对某同学每分钟跳绳的个数做次测量，并以这次测量数据的平均值作为该同学每分钟跳绳个数的测量成绩．已知测量成绩，为使在的概率不小于0.9545，则至少需测量多少次？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3841 6.635 若，则，， 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求的取值范围． 19. （1）求证：； （2）计算：； （3）已知随机变量，现规定：当时，记，求随机变量的期望值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市普通高中2025年春学期高二期终调研考试试题 数学 2025.6 命题单位：惠山区教师发展中心 制卷单位：无锡市教育科学研究院 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，结合，可得，然后可求. 【详解】，， ， 故. 故选：B 2. 已知函数的零点，则整数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理列不等式求解. 【详解】由已知和均为单调递增函数， 故在定义域内也为单调增函数， 因为， 所以函数的零点在区间上， 又函数的零点在区间上， 所以， 故选：C. 3. 已知车轮旋转角度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则车轮转动开始后第4s时的瞬时角速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数关系求导，利用导数几何意义把代入求值即可. 【详解】，， 所以车轮转动开始后第4s时的瞬时角速度. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由指数式对数式互化公式把，解出来代入即可. 【详解】由 ，得 ；由 ，得 ； 因此， . 故选：C 5. 已知是单调递增函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在R上为增函数，可得，再求出函数的正负即可判断. 【详解】因为函数在R上为增函数，且是单调递增函数， 所以， 又因为函数定义域为， 且时，，排除A； 当时，；当时，； 所以C，D选项错误； 故选：B 6. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌4台，B品牌6台．如果从中随机挑选2台，则下列事件中概率为的是（ ） A. 恰有1台A品牌 B. 恰有2台A品牌 C. 至少1台A品牌 D. 至多1台A品牌 【答案】D 【解析】 【分析】利用超几何分布的概率计算公式逐一判断即可. 【详解】设挑选的2台电脑中A品牌的台数为， 的取值分别为， 则，， ，A错误，B错误． 这2台电脑中至少有1台A品牌电脑的概率为，C错误． 这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是，D正确． 故选：D． 7. 一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位，其中甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上，则不同的坐法有（ ） A. 4320种 B. 3600种 C. 2880种 D. 2520种 【答案】B 【解析】 【分析】先求出所有可能的排列数；再减去甲乙相邻的情况. 【详解】当一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位时， 不同的坐法有种； 当一排座位共有7个，现有6位同学来坐，每人只能坐一个座位，其中甲乙两人坐在相邻的两个座位上时， 不同的坐法有种； 综上可得：甲乙两人不能坐在相邻的两个座位上时，不同的坐法有种. 故选：B. 8. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对立事件及全概率公式可求、，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，所以， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项分布可求即可判断AB，利用二项分布得，根据，计算即可. 【详解】由随机变量， 所以，故A正确； ，故B错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误； 故选：AC. 10. 已知正数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据和为定值求积的最大值，利用基本不等式可得，即可确定A；由可得到选项B；再由可判断C；由，再利用“1”的妙用可的即可判断D. 【详解】由，当且仅当时取等，故A正确； ， ，当且仅当时取等，故B正确； ， 当且仅当时取等，，故C错误； 由， 又, 当且仅当，即时取等， 所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的图象是一个中心对称图形 C. 曲线有且只有一条斜率为的切线 D. 存在实数，，使得函数的定义域，值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D. 【详解】因为， 当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确； ，所以函数的一个中心对称为，B选项正确； ，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误； 令，，所以， 有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数其中为正实数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的解析式求解函数值即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知两个变量和的统计数据如下表： 13 16 17 18 15 16 19 22 根据上表可解得回归直线方程：，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由回归直线的方程过样本点的中心，代入求解即可. 【详解】由题意，， 由于在回归直线方程：上，代入得，所以. 故答案为： 14. 已知为三次函数的导函数，若，且满足，则极小值的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目条件分析得出三次函数的三个零点，进而得出，，，表示出；再利用导数判断函数的单调性，求出极小值；最后根据即可求解. 【详解】由可得： . 由可得：三次函数的三个零点为，，， 则， 整理可得：，，. 所以. 令，得，. 因为， 所以 令，得或；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，为. 因为， 所以， 则. 即极小值的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5．每个人射击的结果互不影响． （1）求三人中恰有两人命中目标的概率； （2）在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解； （2）根据条件概率公式计算求解. 【小问1详解】 设甲、乙、丙命中目标分别为事件， 则， 所以三人中恰有两人命中目标的概率， 【小问2详解】 设目标至少被击中一次为事件D， 则, ， 所以. 16. 已知关于的一元二次不等式的解集． （1）求实数，的值； （2）集合，且“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得和是方程的两个根，由韦达定理求解即可； （2）先求出集合，由“”是“”的充分条件，得，求解实数的取值范围即可. 【小问1详解】 关于的一元二次不等式的解集， 所以和是方程的两个根，且. 所以，所以，. 【小问2详解】 由，所以，即， 故，， “”是“”的充分条件，所以， 所以，所以 故实数的取值范围为. 17. 某中学共有2000名学生，为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了该校的200名学生，整理得如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢跳绳 70 70 140 不喜欢跳绳 20 40 60 合计 90 110 200 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？ （2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，假设经过训练后，每人每分钟的跳绳个数都增加了10个．请估计经过训练后，该校2000名学生每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）； （3）对某同学每分钟跳绳的个数做次测量，并以这次测量数据的平均值作为该同学每分钟跳绳个数的测量成绩．已知测量成绩，为使在的概率不小于0.9545，则至少需测量多少次？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 若，则，， 【答案】（1）答案见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由独立性检验的原理求解即可； （2）由正态分布求出训练后跳绳个数在内的概率，然后估计即可； （3）由正态分布结合原则可知使在的概率不小于0.9545，则，求解即可. 【小问1详解】 零假设为：学生的性别和是否喜欢跳绳无关. ， 所以根据的独立性检验,有充分的证据推断不成立，因此不成立，即认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关. 【小问2详解】 训练前该校学生每分钟的跳绳个数，设，， 设训练后该校学生每分钟的跳绳个数为， 因为训练后，每人每分钟的跳绳个数都增加了10个． 所以，设，， 即训练后学生每分钟的跳绳个数在，， . 故该校2000名学生每分钟的跳绳个数在内的人数有人. 【小问3详解】 测量成绩，为使在的概率不小于0.9545， 则，且，， 则，解得，所以至少需测量次. 18. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）有极小值，无极大值. （2）当时，函数在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导函数，令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. （2）先求出的导函数，再分类讨论，结合导函数的符号即可求解. （3）先结合（2）的结论得出，；再构造函数，，利用导数判断单调性，结合，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 则函数的定义域为，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由可得：函数的定义域为，. 当时，，有，此时函数在区间上单调递减； 当时，令，得；令，得； 此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问3详解】 当时，函数在区间上单调递减，此时函数在区间上至多有一个零点. 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时当时，函数有极小值. 因为当时， 所以要使函数有两个零点，须满足. 构造函数，， 则， 所以函数在区间上单调递增. 又因为， 所以当时，. 故的解集为. 此时，取， 所以上函数存在一个零点； 设，则， 则时单调递减；时，单调递增． 所以有最小值，即． ， 因此， 而，即，所以在上函数存在一个零点． 综上，函数有两个零点，的取值范围为． 19. （1）求证：； （2）计算：； （3）已知随机变量，现规定：当时，记，求随机变量的期望值． 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）对组合公式进行变形化简即可证明； （2）利用及结合（1）的结论可求解； （3）利用均值的性质及二项分布均值和方差的计算公式求解即可. 【详解】（1）左边右边，得证； （2）因为， 所以 ， 所以 （3）解法一：因为随机变量，当时，， 所以， 对于二项分布， 所以， 所以， 因此，随机变量的期望值为. 解法二：由题意可知，因此随机变量的期望值为 , 由（1）可得 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$