精品解析：河北省廊坊市固安县固安县牛驼镇中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024—2025学年度八年级下学期阶段评估（二） 数学 下册第十六～十九章 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一次函数中，当时，y的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 2. 若，则运算符号“”表示（ ） A. B. C. D. 3. 下列各曲线，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形的周长C与其边长a的函数关系式为，其中常量是（ ） A. 4 B. a C. C D. 5. 已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列条件中，能判定是菱形的是（　　） A. B. C. D. 7. 某智能音响正在加载语音数据库，加载速率为，已加载了．设继续加载时长为，总加载量为，则下列函数解析式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，则阴影部分C的面积是（ ） A. B. C. 13 D. 6 9. 如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 关于x的方程的解为 10. 甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800． A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确时 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 11. 如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为a，E是对角线上的动点（不与点B，D重合），过点E分别作于点F，于点G，连接，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：四边形的周长为． 结论Ⅱ：的最小值为． A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 生活中处处皆数学．如图，这是一个交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为________． 14. 将直线y＝2x向上平移3个单位所得的直线解析式是_____． 15. 如图，在矩形ABCD中，对角线与相交于点O，过点O作，垂足为E．若，则的长为________． 16. 将正方形，，按如图所示的方式放置，点，，，…与点，，，…分别在直线与x轴上，则点的纵坐标是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知y关于x的函数． （1）若y是x的正比例函数，求a的值． （2）若，求该函数图象与x轴的交点坐标． 18. 如图，第1个图形中有4颗五角星，第2个图形中有7颗五角星，第3个图形中有10颗五角星，……依照此规律，则第n个图形中有s颗五角星． （1）当时，s的值为________；s关于n的函数关系式为_________． （2）若第个图形与第n个图形共有2399颗五角星，求n的值． 19. 已知，其中． （1）化简P． （2）若点在一次函数的图象上，求P的值． 20. 在学习了勾股定理之后，珍珍想利用所学知识测量如图所示的风筝的垂直高度，她进行了如下操作： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为； ③牵线放风筝的珍珍的身高为． 请根据以上数据解答： （1）求风筝的垂直高度． （2）若要风筝沿方向再上升，求珍珍应该再放出风筝线的长度．（结果保留根号） 21. 已知一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求一次函数的解析式． （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出（1）中所求的函数图象． （3）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且已知点，，设的面积为，的面积为，则________．（填“”“”或“”） 22. 古代手工艺文化作为中华民族珍贵的文化遗产，凝聚了千百年来劳动人民的智慧结晶．定州某传统陶瓷作坊秉承古法工艺，每日制作白瓷、黑釉瓷两类工艺品．已知该作坊每日产量为80件，成本与售价如表所示： 成本/（元/件） 售价/（元/件） 白瓷工艺品 80 150 黑釉瓷工艺品 60 120 设每天生产白瓷工艺品x件，每天的总利润为y元． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）如果该作坊每天最多投入的成本为5800元，那么每天生产多少件白瓷工艺品所获得的利润最大？并求出最大利润值． 23. 如图1，四边形与四边形均为平行四边形，点在边上，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，与相交于点M．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，求AM的长． 24. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点P是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（b为常数）的“友谊点”为． （1）已知点，，则点A的“友谊直线”的解析式为_________；直线的“友谊点”的坐标为________． （2）P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”（）经过点Q与点，求点P的“友谊直线”的解析式． （3）直线l：（）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”． ①若m为整数，求点P的坐标； ②直线l与x轴，y轴分别相交于点A，B，．N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度八年级下学期阶段评估（二） 数学 下册第十六～十九章 注意事项：共8页，总分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一次函数中，当时，y的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了求一次函数值，根据一次函数的解析式，将代入求解即可． 【详解】已知一次函数为 将代入解析式，得： 因此，当时，的值为5， 故选：D． 2. 若，则运算符号“”表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据算式特点和运算结果判断即可． 【详解】解：∵． ∴符号“”表示． 故选：D． 3. 下列各曲线，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念∶对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，此选项不符合题意，排除； B、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，此选项不符合题意，排除； C、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量不是有唯一的值与它对应，所以不是的函数，此选项符合题意； 、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，此选项不符合题意，排除； 故选：C． 4. 正方形的周长C与其边长a的函数关系式为，其中常量是（ ） A. 4 B. a C. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了常量和变量，常量：数值固定不变的量，变量：数值可以变化的量，据此求解即可． 【详解】正方形的周长C与其边长a的函数关系式为， ∴其中常量是4． 故选：A． 5. 已知正比例函数（k是常数，）的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点满足函数解析式成为解题的关键． 先利用已知点求出正比例函数的比例系数k，得到函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入正比例函数解析式，得：，解得：． ∴正比例函数解析式为， A．将代入得，即不在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意； B．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； C．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项符合题意； D．将代入得，即在该正比例函数图象上，故该选项不符合题意． 故选B． 6. 在下列条件中，能判定是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型． 7. 某智能音响正在加载语音数据库，加载速率为，已加载了．设继续加载时长为，总加载量为，则下列函数解析式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列函数解析式，根据总加载量由已加载的和继续加载的增量组成，根据加载速率建立函数关系式即可． 【详解】解：设继续加载时长为，总加载量为， ∵加载速率为，已加载了 ∴． 故选：D． 8. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，则阴影部分C的面积是（ ） A. B. C. 13 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的面积公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据勾股定理以及正方形的面积公式知：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，据此可求得正方形C的面积即可． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 正方形C的面积为：． 故选：C． 9. 如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. y随x的增大而减小 C. 当时， D. 关于x的方程的解为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系等知识点，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 根据函数图象和一次函数的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵图象过第一、二、三象限， ∴，，y随x的增大而增大，故A、B错误； 当时，图象在x轴下方，，故C错误； 又∵图象与x轴交于， ∴的解为，故D正确． 故选：D． 10. 甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800． A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确时 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一次函数解决实际问题．正确的列出函数关系式以及分类讨论是解题的关键．先根据题意分别写出与的关系式分别为：；当时；，当时，．由此可得结论Ⅰ正确，然后分两种情况：若；若，分别求出x的值，即可判断结论Ⅱ． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 当时，．故结论Ⅰ正确； 当时，； 当时，分两种情况： 若，则， 解得； 若，则， 解得． ∴当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为400或800．故结论Ⅱ错误． 故选：A 11. 如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度和时间之间的关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的识别，根据水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢即可求解； 【详解】解：从图可知，水池下部横截面较小，固定流量注水时水位上升较快；当水面超过台阶后，上部横截面变大，水位上升速度随之减慢； 因此水位随时间先快后慢地上升，对应选项 C 图所示的先陡后缓的折线关系； 故选：C ． 12. 如图，正方形的边长为a，E是对角线上的动点（不与点B，D重合），过点E分别作于点F，于点G，连接，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：四边形的周长为． 结论Ⅱ：的最小值为． A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形可得、，再证明，可得，进而有，即可判断结论Ⅰ；如图：连接，根据矩形的性质有，根据垂线段最短可知：当时，最短，此时也最小，再结合正方形的性质、勾股定理即可判断Ⅱ． 【详解】解：∵在正方形中，边长为a，点E是对角线上的动点， ∴，，， ∵，， ∴四边形是矩形，， ∴、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，故结论Ⅰ正确； 如图∶连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 根据垂线段最短可知：当时，最短， ∴此时也最小， 如图∶ 在正方形中，，则有， ∴的最小值为，故结论Ⅱ正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等角对等边、垂线段最短等知识点，掌握正方形的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 生活中处处皆数学．如图，这是一个交通标识，其中四边形为平行四边形．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键． 根据平行四边形的性质的邻角互补即可解答． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴． 故答案为：． 14. 将直线y＝2x向上平移3个单位所得的直线解析式是_____． 【答案】y=2x+3． 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】直线y=2x向上平移3个单位所得的直线解析式是y=2x+3． 故答案为y=2x+3． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移原则是解题的关键. 15. 如图，在矩形ABCD中，对角线与相交于点O，过点O作，垂足为E．若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识．首先根据矩形的性质得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后证明出是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 16. 将正方形，，按如图所示的方式放置，点，，，…与点，，，…分别在直线与x轴上，则点的纵坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、坐标规律、正方形的性质、一次函数性质等知识点，掌握数形结合成为解题的关键． 先求出点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为可归纳出点的坐标为（n为正整数），再令即可解答． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为． 当时，， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…… ∴点的坐标为（n为正整数）， ∴点的纵坐标为． 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知y关于x的函数． （1）若y是x的正比例函数，求a的值． （2）若，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数，一次函数与x轴的交点问题． （1）当y是x的正比例函数时，，由此可解； （2）先求出时一次函数解析式，再令，求出对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：y是x的正比例函数， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：当时，函数解析式为． 令，即， 解得， ∴当时，函数图象与x轴的交点坐标为． 18. 如图，第1个图形中有4颗五角星，第2个图形中有7颗五角星，第3个图形中有10颗五角星，……依照此规律，则第n个图形中有s颗五角星． （1）当时，s的值为________；s关于n的函数关系式为_________． （2）若第个图形与第n个图形共有2399颗五角星，求n的值． 【答案】（1）16， （2）400 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律、一元一次方程的应用等知识点，根据所给图形发现五角星个数变化的规律是解题的关键． （1）依次求出图形中五角星的个数，再归纳规律即可解答； （2）由（1）可得第n个图形中五角星的颗数为：；则第个图形中五角星的颗数为，再根据第个图形与第n个图形共有2399颗五角星列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由所给图形可知， 第1个图形中五角星的颗数为：； 第2个图形中五角星的颗数为：； 第3个图形中五角星的颗数为：； …， 第5个图形中五角星的颗数为：； 所以第n个图形中五角星的颗数为颗，即． 故答案为：、． 【小问2详解】 解：由（1）可得第n个图形中五角星的颗数为：； 第个图形中五角星的颗数为：； 由题意可得：，解得：． 19. 已知，其中． （1）化简P． （2）若点在一次函数的图象上，求P的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、一次函数图象的性质等知识点，灵活运用二次根式的性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质求解即可； （2）根据一次函数的性质得出，再代入（1）中的化简结果求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵点（a，b）在一次函数的图象上， ∴，即． 由（1）知， ∴． 20. 在学习了勾股定理之后，珍珍想利用所学知识测量如图所示的风筝的垂直高度，她进行了如下操作： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为； ③牵线放风筝的珍珍的身高为． 请根据以上数据解答： （1）求风筝的垂直高度． （2）若要风筝沿方向再上升，求珍珍应该再放出风筝线的长度．（结果保留根号） 【答案】（1）米 （2）珍珍应该再放出的风筝线 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）先利用勾股定理求解，再进一步求解即可； （2）如图，延长至点M，连接．由题意得，求解，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得， ∴， ∴风筝的高度为． 【小问2详解】 解：如图，延长至点M，连接． 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴珍珍应该再放出的风筝线． 21. 已知一次函数的图象与直线平行，且经过点． （1）求一次函数的解析式． （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出（1）中所求的函数图象． （3）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且已知点，，设的面积为，的面积为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】（1） （2） 解：函数图象如图所求： （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的图象、三角形面积等知识： （1）根据题意可设一次函数解析式为，再将点代入求解即可； （2）根据一次函数解析式为，过点，作直线即可； （3）设直线的解析式为，求出直线的解析式为，易得，即可得到两条平行线之间的距离相等，从而求出，即． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴设． ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入，则， ∴一次函数图象过点， ∴的函数图象如图1所示． 【小问3详解】 解：如图2所示： 设直线的解析式为， ∵点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴两条平行线之间的距离相等， ∴，即． 22. 古代手工艺文化作为中华民族珍贵的文化遗产，凝聚了千百年来劳动人民的智慧结晶．定州某传统陶瓷作坊秉承古法工艺，每日制作白瓷、黑釉瓷两类工艺品．已知该作坊每日产量为80件，成本与售价如表所示： 成本/（元/件） 售价/（元/件） 白瓷工艺品 80 150 黑釉瓷工艺品 60 120 设每天生产白瓷工艺品x件，每天的总利润为y元． （1）求y与x之间的函数解析式． （2）如果该作坊每天最多投入的成本为5800元，那么每天生产多少件白瓷工艺品所获得的利润最大？并求出最大利润值． 【答案】（1） （2）每天生产50件白瓷工艺品，所获得的利润最大，为5300元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）根据总利润等于两种工艺品的利润之和，列出函数关系式即可； （2）根据题意列出不等式求出的x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， ∴y与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：每天生产50件白瓷工艺品，所获得的利润最大，为5300元． 23. 如图1，四边形与四边形均为平行四边形，点在边上，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）如图2，与相交于点M．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，求AM的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） ，理由如下： 连接交于，如图2 ∵， ∴平行四边形是菱形， 则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即为的中点， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，正方形的判定及性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，，，进而可得，，即可证明结论； （2）连接交于，先证四边形是菱形，则，，利用四边形是平行四边形可得为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可证明结论； （3）利用平行四边形的性质可得，即，再利用当时，证明四边形为正方形，得出，由勾股定理可得， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）得平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，当时， ∴， ∵由（2）可知四边形为菱形， ∴，即， ∴四边形为正方形， ∴， 由勾股定理可得， 24. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点P是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（b为常数）的“友谊点”为． （1）已知点，，则点A的“友谊直线”的解析式为_________；直线的“友谊点”的坐标为________． （2）P，Q两点关于x轴对称，且点P的“友谊直线”（）经过点Q与点，求点P的“友谊直线”的解析式． （3）直线l：（）不经过第二象限，P为直线l的“友谊点”． ①若m为整数，求点P的坐标； ②直线l与x轴，y轴分别相交于点A，B，．N为平面内一点，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）按“友谊直线”的定义可求，求出直线的解析式为，根据“友谊点”的定义，即可求解； （2）将代入解析式求出，根据“友谊点”的定义得P的坐标为， 点的对称得点Q的坐标为，即可求解； （3）①由一次函数的性质得，求出的值为2，即可求解；②可求点B的坐标为，点A的坐标为，由，求出；分类讨论：当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时，即可求解． 【小问1详解】 解：点的“友谊直线”的解析式为． ，， 直线的解析式为， 直线的“友谊点”的坐标为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得：， ． 根据定义，的“友谊点”P的坐标为，且P，Q两点关于x轴对称， 点Q的坐标为． 将代入， 得， 解得， 点P的“友谊直线”的解析式为． 【小问3详解】 解：①直线l不经过第二象限， ， 解得：． 又为整数， 的值为2． 根据题意，直线l的“友谊点”P的坐标为， 点P的坐标为． ②当时，， 点B的坐标为． 当时，即， 解得， 点A的坐标为． 直线l不经过第二象限， ． ， ， 解得， ， ，，． ， ， 直线轴， 当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时， ， ， 解得：， ； 当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时， ， ， 解得：； ； 当以A，B，P，N为顶点的四边形为平行四边形时， ，， 点向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 点向左平移个单位，再向下平移个单位得到， ； 综上所述：点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数的性质，平行四边形的判定及性质，理解新定义，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $