第03讲 探索与表达规律（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第03讲 探索与表达规律（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数字类规律探索 典型例题二 图形类规律探索 典型例题三 探索与表达规律之排列问题 典型例题四 探索与表达规律之新定义问题 典型例题五 探索与表达规律之日历问题 典型例题六 探索与表达规律之表格数据问题 知识点01 数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 【即时训练】 1．（2025·吉林松原·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的规律探索．根据所给多项式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给多项式可知， 的次数依次为，，，…， 所以第个多项式中的次数为； 的系数依次为，，，…， 所以第个多项式中的系数为， 所以第个多项式为． 故选：B． 【即时训练】 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2025个格子中的整数是 ． 2 a b c 6 b … 【答案】 【分析】本题考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是可得，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2025除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， 解得， ， 解得， ∴数据从左到右依次为2、6、b、2、6、b， 第9个数与第三个数相同，即， ∴每3个数“2、6、”为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为． 故答案为：． 知识点02 图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 验证： 将得到的 sₙ 代入 n=1,2,3 计算，看是否与之前数的结果一致。 【即时训练】 1．（2025·广东广州·模拟预测）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有个正方形是解题的关键． 根据图形的变化规律得出第n个图形中有个正方形即可． 【详解】解：由题知，第①个图案中有1个正方形， 第②个图案中有3个正方形， 第③个图案中有5个正方形， 第④个图案中有7个正方形， …， 第n个图案中有个正方形， ∴第⑧个图案中正方形的个数为， 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有 个小黑点． 【答案】 【分析】本题考查了探索图形规律问题，总结出图形的变化规律是解题的关键． 根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第⑥个图形中小黑点的个数． 【详解】解：由图形①、②、③可以看出， 第①个图形小黑点的个数：； 第②个图形小黑点的个数：； 第③个图形小黑点的个数：； ∴第⑥个图形小黑点的个数：． 故答案为：． 知识点03 日历规律 1、基本概念 在给定的日历表中（通常给出局部），探索方框圈定的若干数字（如 3x3 九宫格、2x2 方块、一行、一列、对角线）之间的关系。 核心方法： 设定中心/起点： 用字母（如 a）表示关键位置（如中心数、左上角数）。2、利用等差关系 日历中横行相邻数差 1，竖列相邻数差 7（一周天数）。这是最核心的规律！ 代数表示其他位置： 用含 a 的式子表示方框中其他位置的数。 3、运算与化简 对方框内所有数进行求和、求积或比较特定位置数的差/和，将表达式化简，观察结果（往往是常数或与 a 无关的简单式子）。 得出结论： 如“九宫格中9个数的和等于中心数的9倍”，“2x2 方框中对角线和相等”。 【即时训练】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）某月的月历表如图所示，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要求这三个数的和不可能的是多少，就要分析这三个数的和，先设出一个未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．注意：横行相邻的数字相差是，竖行相邻的数字相差是． 【详解】解：若圈出的是一横行，则相邻的数字相差是，设中间的数字是，那么其它的两个数字是，，． ∴横行三个数的和是， 若圈出的是一竖行，则相邻的数字相差是，设中间的数字是，那么其它的两个数字是，， ∴竖行三个数的和是， ∴横行、竖行的三个数的和应是的倍数， 选项的，，则圈出的是； 选项的，，则圈出的是； 选项的，，不符合题意； 选项的，，则圈出的是． 故选：． 【点睛】此题考查列代数式，用一元一次方程解实际问题，注意数学和实际生活的联系，善于观察日历中数与数之间的关系，掌握用字母表示数量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ． 【答案】51 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，设“横3”中间数为，“竖3”中间数为，求出,，根据，得出，根据日历得出y的最小值为8，即可得出x的最小值为，然后求出结果即可． 【详解】解：设“横3”中间数为，“竖3”中间数为， 由题意得：, ， ∴， ∴， ∴x、y为同一横行上，相邻的两个数， ∵， ∴当最小时，最小， 根据图可知，y的最小值为8， ∴x的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 故答案为：51． 【典型例题一 数字类规律探索】 【例1】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 【例2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若第一个三角数记为，第二个三角数记为，…第个三角数记为，计算的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查数字找规律，解答本题的关键在于找出数字变化的规律，通过给定数字发现，相邻两个数字作差即可得出规律． 【详解】解：∵ ．．． ∴． 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·全国·假期作业）将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式．观察规律，第20行的第3个数是 ． 【答案】193 【分析】本题主要考查数字规律，由图可知第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，由此规律可得第19行有19个数；且第19行最后一个数为，计算出第19行的最后一个数，则第20行的第3个数为第19行最后一个数，据此解答． 【详解】解： ， ． 因此第20行的第3个数是193． 故答案为：193． 【例4】（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到，将原式化简得到，再由得到规律即可确定答案．由式子的特点化简，并找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）有一串数字：2、3、6、8、8、4……它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字乘积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？ 【答案】4 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案．我们将这串数写下去：2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、4、2、8、6……，不难发现：从第三个数字开始，6、8、8、4、2、8这六个数字循环出现，即以这六个数字为一个周期，那么第2022个数字：用算式计算看余数，余数是几就是这个周期里的第几个数，没有余数就是这个周期里的最后一个数． 【详解】解： …… 答：这串数字的第2022个数字是4． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在等差数列中，已知，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合是等差数列，，得，再结合，则，即； （2）先得出，再整理得以及，计算化简得，即可作答． 【详解】（1）解：∵是等差数列，， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴． 依题意，，，…… 以此类推得， ∴； （2）解：∵，且由（1）得， ∴， 当时，则； 当时，则； 当时，则； ……， ∴， 则 ， 则 ， 即． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 【答案】(1) (2)210 【分析】本题考查找规律，有理数的混合运算，观察算式，找到算式的规律，应用发现的规律解决问题是解题的关键． （1）观察算式，发现规律，相邻两个自然数（0除外）的平方差等于这两个数的和，据此规律写出用字母n表示的式子； （2）直接用算式的规律计算出算式的结果即可． 【详解】（1）解： ， 所以用含有字母n的式子表示规律：， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第4个等式：________________； (2)用含有的代数式表示第个等式：________________（为正整数）； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目中的式子的特点，可以写出第4个等式； （2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式； （3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值． 【详解】（1）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； ∴第4个等式：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： ； 第2个等式：； 第3 个等式：； 第4个等式：； ∴第个等式：， 故答案为： ； （3）解：． ． 【典型例题二 图形类规律探索】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒．照这样，摆12个三角形用（　　）根小棒． A．25 B．24 C．36 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，找出规律是解题的关键． 根据题意，摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒……发现：每增加一个三角形，小棒的数量增加2根，据此找出规律，并按规律解答． 【详解】解：观察图形可知： 摆1个三角形用3根小棒，； 摆2个三角形用5根小棒，； 摆3个三角形用7根小棒，； …… 规律：摆n个三角形用根小棒． 当时，（根） 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·云南·阶段练习）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有个小圆圈，第个图形中一共有个小圆圈，第个图形中一共有个小圆圈，按此规律，第个图形中小圆圈的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示数量关系，找出规律是关键． 根据图示的数量得到第个图形中一共有个小圆圈，由此即可求解． 【详解】解：由题知，第①个图形中一共有个小圆圈， 第②个图形中一共有个小圆圈， 第③个图形中一共有个小圆圈， ， ∴第个图形中一共有个小圆圈， ∴第⑧个图形中小圆圈的个数为， 故选：C． 【例3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要 根小木棒． 【答案】81 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要根， 故答案为：81． 【例4】（2024七年级上·河南郑州·专题练习）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律；由第1个图有个点，第2个图有个点，第3个图有个点，第4个图有个点，所以第n个图有个点，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知： 第1个图有个点，第2个图有个点，第3个图有个点，第4个图有个点，…..； ∴第n个图有个点， ∴第6个三角形数是； 故答案为28． 1．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形 (1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________； (2)求第2024个图形中三角形的个数． 【答案】(1)14；； (2)第2024个图形中三角形的个数为6074个． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并从中发现规律，然后利用发现的规律解题即可． （1）通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． （2）根据（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：∵第1个图形的三角形个数为； 第2个图形的三角形的个数为； 第3个图形的三角形的个数为； ∴第4个图形的三角形的个数为； …； ∴第n个图形的三角形的个数为． 故答案为：14；； （2）解：当时，． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼”． (1)搭1条、2条、3条“小鱼”各用多少根火柴棒？ (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用多少根火柴棒？ (3)如果用n表示所搭“小鱼”的条数，那么搭n条这样的“小鱼”需要多少根火柴棒？ 【答案】(1)搭1条，2条，3条“小鱼”各用8根，14根，20根火柴棒 (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用122根火柴棒 (3)搭n条这样的“小鱼”需要根火柴棒 【分析】本题考查了图形的变化类问题，对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，注意由特殊到一般的分析方法． （1）根据题干内容求解即可； （2）找出规律，得出搭20条这样的小鱼需要的火柴根数即可； （3）根据规律，总结出公式即可． 【详解】（1）搭第1条小鱼需要的火柴棒个数为：； 搭第2条小鱼需要的火柴棒个数为：； 搭第3条小鱼需要的火柴棒个数为：； （2）由（1）得，搭第20条小鱼需要的火柴棒个数为：； （3）由（1）得，搭第n条小鱼需要的火柴棒个数为：． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)， (2)，，见解析 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为，即可得出答案； （2）先根据（1）得出第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为，再求出周长即可． 【详解】（1）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， 故答案为：4，； （2）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， ∴第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为， ∴周长为． 【典型例题三 探索与表达规律之排列问题】 【例1】（24-25七年级上·重庆·期中）如图，用相同幸运星图案“＋”按一定规律排列成如下图形，其中图形①有1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥中幸运星图案个数为    （   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中幸运星个数，找出第个幸运星个数为是解题的关键．仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：∵第①个图案幸运星个数为， 第②个图案幸运星个数为， 第③个图案幸运星个数， 第④个图案幸运星个数， …， 则第⑥个图案三角形个数为， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·重庆江津·期中）如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第1个图形中有6个等边三角形，第2个图形中有10个等边三角形，第3个图形中有14个等边三角形，……按照此规律排列下去，则第9个图形中等边三角形的个数是（   ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，找到图形中等边三角形个数的变化规律是解答的关键．根据前几个图形中等边三角形个数，得到变化规律，即可求解． 【详解】解：第1个图形中有个等边三角形， 第2个图形中有个等边三角形， 第3个图形中有个等边三角形，…… 按照此规律排列下去， 则第9个图形中有个等边三角形， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 个；第2008个图案是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的排列总结出图形的排列规律是解题的关键． ①根据图形的排列可知个图案一组，依次循环，故答案为：第个图案与第个相同，是； ②因为，所以在前16个图案中有个； ③因为，所以第2008个图案与第个相同是． 【详解】解：本题考查了图形的变化规律，根据图形的排列总结出图形的排列规律是解题的关键． ①根据图形的排列可知个图案一组，依次循环， 第个图案与第个相同，是， 故答案为： ②， 在前16个图案中有个， 故答案为：； ③， 第2008个图案与第个相同是， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，第1个图形中实心圆的个数为，第2个图形中实心圆的个数为，…第n个图形中实心圆的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现实心圆的个数依次增加2是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中实心圆的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中实心圆的个数为：； 第2个图形中实心圆的个数为：； 第3个图形中实心圆的个数为：； …， 所以第n个图形中实心圆的个数为个， 即． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 【答案】（1）；；（2）个 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形变化的规律是解题的关键． （1）根据所个图形的基础图形的数量发现规律即可解决问题； （2）根据发现的规律解决问题即可． 【详解】解：（1）第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； ； 第个图案基础图形的个数为个； 故答案为：；； （2）摆第个图案的基础图形的个数为个． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察图①，②，③，④得 ； ； ； ； …… (1)观察面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？你能表示出来吗？ (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 【答案】(1)从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为， (2)10000 (3)9775 【分析】本题考查了图形的变化类，解题的关键是仔细观察图形并找到规律． (1)根据图形的变化寻找规律：从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为，用代数式表示即可； (2)根据(1)中的规律即可求解； (3)根据(1)中的规律即可求解． 【详解】（1）解：观察图形的变化可知： ； ； ； ； 发现规律∶ 从1开始，1个奇数的和是1；前2个奇数的和等于2的平方，即；前3个奇数的和等于3的平方，即；前4个奇数的和等于4的平方，即，…… ∴从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和为． ∴ (n是正整数)； （2）解： ； （3）解： ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 4．（24-25七年级上·湖北随州·期中）图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．    (1)如图1所示，第100层有_____个小圆圈，从第1层到第n层共有_____个小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第6个数是_____； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第10层的所有数的绝对值的和_____． 【答案】(1)100， (2)196 (3)4675 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第6个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第10层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第10层所有数的绝对值和． 【详解】（1）图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号周期变化，绝对值依次加， 则第层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第层所有数的绝对值和为： 故答案为：4675． 【典型例题四 探索与表达规律之新定义问题】 【例1】（23-24七年级上·河南南阳·期末）学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，代数式求值， 分别求出，进而得出数字变化规律，再根据规律得出答案即可． 【详解】因为， 所以，，， 可知三个数一个循环，， 所以． 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·山东济南·期中）新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一），，， ， ， 运算（二），，，，利用以上规律计算：（   ） A． B．4049 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据题意发现当x为整数时，；当x为分数时，，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，利用规定的运算方法，得出数字之间的循环规律，利用规律解决问题．根据规定的运算方法，依次计算出，，、，即可发现每3个数为一个周期依次循环，然后用2023除以3，根据规律，即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， ∴这列数以，2，三个数依次不断循环出现； ， ，，， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是．若，则第次“运算”的结果是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了数字规律，掌握代数式的计算，找出规律是解题的关键． 根据题意，当时，按照题意计算，找出从第次开始，偶数次的结果为，奇数次的结果为，即可求解． 【详解】解：当时， 第次“运算”：； 第次“运算”：； 第次“运算”：； 第次“运算”：； 第次“运算”：； 第次“运算”：； ， ∴从第次开始，偶数次的结果为，奇数次的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故答案为：8 ． 1．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． (1)填空：、的“友好数”分别是___________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了合并同类项、理解“友好数”的定义，按照定义分析是解题的关键。 （1）由“友好数”的定义可得答案； （2）由题意得这个两位数是，它“友好数”是，计算两个数的和，即可得证． 【详解】（1）解：由“友好数”的定义可得，、的“友好数”分别是：，， 故答案为：，； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数为：， 它的“友好数”为：， 这两个数的和为：， 因为，为正整数， 所以，对于任意一个两位数，这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)39 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． （1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：当时，； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)不是“隔一数对” (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得∶，， ∴， ∴不是“隔一数对”． （2）解：由题意可得∶ ． 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）【概念学习】 我们已经知道：求n个相同乘数的积的运算叫做乘方． 类比乘方的定义，我们规定：求n个相同有理数（均不等于0） 的商的运算叫做除方．如∶，等， 我们把记作， 读作“2的3次商”； 记作，读作“的4次商”．一般地， 我们把n个a（a≠0）相除记作，读作“a 的n次商”． 根据以上信息，完成下列问题： （1）请直接写出计算结果： 【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： （3）将“a的n次商”写成幂的形式是： _________； 【结论应用】 （4）计算： 【答案】（1）；2；（2）；；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可． （2）根据题目要求，将所给运算写成幂的形式即可． （3）根据（2）中发现的规律即可解决问题． （4）根据题意，对所给算式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知，，． 故答案为：；2． （2）由题知， ； ． 故答案为：；． （3）由（2）中计算过程可知， ． 故答案为：． （4） ． 【典型例题五 探索与表达规律之日历问题】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【详解】A．左上角的数字为，不正确；B．左下角的数字为，不正确；C．右下角的数字为，不正确；D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，正确． 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期， ∵年是乙巳年，且，， ∴天干的确定方法为年份减去3后再除以10取余，地支的确定方法为：年份减去3后再除以12取余； ∴，， ∴1900年为庚子年，故A正确；不符合题意； ∴，， ∴1861年为辛酉年，故B正确；不符合题意； ∴，， ∴1617年为丁巳年，故C正确；不符合题意； ∴，， ∴1543年为癸卯年，故D错误；符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·海南海口·期末）在图所示的2019年1月份日历中，带阴影的十字框框出5个数，十字框可移动位置，若设中间的数为a，则这5个数字之和为 ．（用含a的代数式表示） 【答案】5a． 【分析】根据题意和图中的数据，可以求得这5个数字之和． 【详解】由题意可得， 中间的数为a，则这5个数字之和为：a+（a+1）+（a﹣1）+（a+7）+（a﹣7）＝a+a+1+a﹣1+a+7+a﹣7＝5a， 故答案为：5a． 【点睛】本题考查了归纳总结以及代数式的应用，掌握代数式的运算是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）新年将至，如图1是2023年1月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个代表日期的数，如图2若设交叉框中的五个数分别为a，b，c，d，m，且，则m的值为 ． 【答案】16 【分析】根据图1得出，，再根据，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：根据图1中所框出的这5个数的规律可知，，， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了日历中的方程，解题的关键是根据图1得出，． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再用积较大的数减去较小的数，例如：，你发现了什么规律？ (1)将每个方框的左上角数字设为，请用含的式子表示你发现的规律：______． (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【详解】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，， 规律用含的式子可表示为 故答案为：； （2）证明： 2．（2025七年级上·全国·专题练习）观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论． (2)小强一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小强一家是几号外出的？ 【答案】(1)结论1：每列上下相邻两数均相差7；结论2：每行左右相邻两数均相差1 (2)小强一家是13号外出 【分析】（1）结合题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； （2）设小强一家号外出，根据一元一次方程的性质列式并求解，即可得到答案. 【详解】（1）解：由图形得结论1：每列上下相邻两数均相差7； 结论2：每行左右相邻两数均相差1； （2）解：设小强一家号外出， 根据题意得： 去括号并合并同类项： 解得： ∴小强一家是13号外出． 【点睛】本题考查了图形和数字规律、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解. 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察日历找规律． (1)观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ (2)观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ (3)你还能在日历中找到什么规律？ 【答案】(1)如果左上的数字为x，则右上为，左下为：，右下为：． (2)方框中9个数的和是中间数的9倍． (3)表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 【分析】本题主要考查了数表中的规律，用代数式表示， （1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：每行相邻两数差1，每一列相邻两数差7，解答即可； （2）直接写出这9个数，求出和，再根据结果解答； （3）根据（1）解答即可． 【详解】（1）解：利用日历中各数之间的关系，发现规律： 如果左上的数字为x，则右上为，左下为，右下为； （2）解： 答：方框中9个数的和是中间数的9倍； （3）解：我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1． 4．（24-25七年级上·北京海淀·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是年月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______（请完成填空），______，不难发现，结果都等于_______； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为，那么中间位置上的数______． 【答案】(1)；； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，有理数的混合运算， （1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果； （2）设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可得证； （3）中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为，根据题意列出方程求解即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都等于， 故答案为：；；； （2）证明：设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，依题意得， ； （3）解：设中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为， 依题意得，， ， ， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴中间位置上的数． 故答案为：． 【典型例题六 探索与表达规律之表格数据问题】 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如表中记录了一次实验中不同时间对应温度的数据，假设温度的变化是均匀的． 时间 0 3 6 9 … 温度 8 11 14 17 … 实验进行时的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确由表格中的数据得到每过，温度升高是解题的关键． 根据表格中的数据，得到规律是每过，温度升高，即可求解． 【详解】解：由表格中的数据得∶每，升高， 所以规律是每过，温度升高， 所以第时的温度是， 故选B． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表那么，当输入数据是时，输出的数据是（    ） 输入 输出 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据已知数据总结出规律是解题关键．通过观察表中的数据得出规律：输出的数的分子就是输入的数值，分母是输入的数的平方加上1，然后根据规律计算即可求解． 【详解】解：当输入时，输出的数为， 当输入时，输出的数为， 当输入时，输出的数为， 当输入时，输出的数为， …… ∴输出的数的分子就是输入的数值，分母是输入的数的平方加上， ∴输入数据是时，输出的数据是． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如表．由表中数据的规律可知，当克时， 毫米． /克 0 2 4 6 8 /毫米 10 14 18 22 26 【答案】 【分析】本题考查找规律，根据题意，结合表格数据，得到当增加时，增加，从而确定与的变化满足规律：，将代入即可得到答案，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：根据表格数据，当增加时，增加， 与的变化满足规律：， 则当克时，毫米， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·河南开封·期末）观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题： 梯形个数 1 2 3 4 5 图形周长 5 8 11 14 17 当梯形个数为时，这时图形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】利用表格中的数据，寻找n与周长的关系，即可得到答案．本题考查了图表的理解与应用，由图表中的数据得出图形规律，考查了逻辑推理能力与归纳总结能力，属于中档题． 【详解】解：时，图形的周长为5； 时，图形的周长为； 时，图形的周长为； 时，图形的周长为； 时，图形的周长为； 当梯形个数为时，这时图形的周长为． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）观察下表中和 两个代数式的值． x 0 1 2 3 4 5 10 7 1 10 9 6 1 (1)将上面的表格补充完整； (2)观察表格，估计代数式 的值先小于 (3)请你写出一个代数式，要求当x的值每增加1，代数式的值就增加2． 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一，系数为2即可） 【分析】本题考查了求代数式的值，数字类规律探究． （1）把分别代入和 计算即可； （2）根据表格中两个代数式的值变化特点解答即可； （3）根据当x的系数为，x的值每增加1，代数式的值就减小n；当x的系数为，x的值每增加1，代数式的值就增加n解答即可． 【详解】（1）解：当时， ， ． 故答案为：，； （2）解：由表格中两个代数式的值变化特点可知，的值比的值下降的快， 所以的值先小于； （3）解：观察表格可知，当x的系数为，x的值每增加1，代数式的值就减小n， 则当x的系数为，x的值每增加1，代数式的值就增加n， 所以这个代数式可以为（答案不唯一，系数为2即可）． 2．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，桌面上碗的高度（）与碗数（个）的变化情况如下表. 碗数（个） 高度（cm） 请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)上表中的值为______________； (2)求出叠放在桌面上碗的高度（cm）与碗数（个）之间的关系式； (3)把这些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里，求一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】(1)； (2)； (3)个． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式． 根据表中的数据可知，第增加一个碗，高度增加，所以当有个碗时，高度为； 设桌面上碗的高度（cm）与碗数（个）之间的关系式为，因为当时，，当时， ，可得方程组：，解方程组求出和的值即可； 因为柜子的内侧高为，可得方程：，解方程可得：，因为碗的个数为整数，所以一摞最多能叠个碗一次性放进柜子里. 【详解】（1）解：个碗的高度是， 个碗的高度是， 个碗的高度是， 个碗的高度是， ， 故答案为：； （2）解：设桌面上碗的高度（cm）与碗数（个）之间的关系式为， 当时，，当时， ， 可得：， 解得：， 桌面上碗的高度（cm）与碗数（个）之间的关系式为； （3）解：当时， 可得：， 解得：， 碗的个数必须为整数， 一摞最多能叠个碗一次性放进柜子里. 3．（23-24七年级上·山东济南·期末）下列图形均由边长相等的黑、白两色小正方形按规律拼接而成． (1)观察图形，将下面的表格填写完整： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … (2)第个图形中白色小正方形的个数为______；黑色小正方形的个数为______； (3)若某个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个，则这个图形是第几个图形？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)第个图形 【分析】本题考查图形规律变化，解题的关键是根据图形的变化，找到黑色正方形，白色正方形的变化规律，进行解答，即可． （1）根据上述图形，第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个；第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有；第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个，依次可知，黑色小正方形的个数依次为：，，，，；白色小正方形的个数依次为：，，，，，即可； （2）由上述图形，推出黑色小正方形和白色小正方形规律，即可； （3）由（2）可知，黑色小正方形的个数规律为：；白色小正方形的个数规律为：；则白色正方形比黑色正方形多，则，解出，即可 【详解】（1）上述图形可知： 第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个； 第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有； 第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形个， ∴黑色正方形的个数依次为：，，，，；白色正方形的个数依次为：，，，，． ∴ 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … 故答案为：，，；，，，，． （2）上述图形可知： 第一个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有个； 第二个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形有； 第三个图形中，黑色小正方形有个，白色小正方形个； ∴第个图形中，黑色小正方形有个；白色小正方形有个． 故答案为：；． （3）设第个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个， ∴， 解得：， 答：第个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】 请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二： （1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 【答案】活动一：特例研究：见解析；类比发现：见解析；猜想分析：45；活动二：（1），；（2）从左数起，往下移动的为第x根小棒；． 【分析】特例研究：根据题意可知第四种情况为三条直线两两相交，有3个交点，据此画图即可； 类比发现：根据分析可知n条直线最多有n条直线最多有个交点，运用结论求解即可； 猜想分析：根据类比发现的结论求解即可； 活动二： （1）根据材料观察分析可知当弯下的手指为第n根手指，左边剩根手指，右边还剩根手指，进而得解； （2）同（1）思路求解即可． 本题主要考查了规律的图形变化、有理数的运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：特例研究：第四种情况如图所示： 类比发现： 由题意得，2条直线最多只有1个交点， 3条直线最多有个交点， 4条直线最多有个交点， 以此类推可知，5条直线最多有个交点， 补全表格如图， 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 3 6 10 … 猜想分析： 由类比发现的结论可知：n条直线最多有个交点， 10条直线最多有个交点， 故答案为：45； 活动二： （1）当弯下的手指为第n根手指，则左边还剩根手指，即十位是， 右边还剩根手指，即个位是， ∴， 故答案为：，； （2）根据材料可发现与（1）思路基本一致， 设从左数起，往下移动的为第x根小棒，则左边还剩木棒，右边还剩木棒， 因此规律为： 故答案为：从左数起，往下移动的为第x根小棒：． 1．（2025·云南德宏·模拟预测）若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的规律探索，根据前几个多项式找到规律是解题的关键； 根据前几个多项式的构成可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是，即可得到答案. 【详解】解：因为第1个多项式是， 第2个多项式， 第3个多项式是， 第4个多项式是， …， 可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是， 则第个多项式是； 故选：C. 2．（2025·云南文山·模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个．根据此规律可得，那么经过（为正整数）小时后可分裂成（    ）个细胞 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 规律：每分裂一次，细胞数量扩大到原来的2倍，据此求解即可． 【详解】一个细胞1小时分裂成2个，即个细胞； 一个细胞2小时分裂成4个，即个细胞； 一个细胞3小时分裂成8个，即个细胞； … 依此类推，一个细胞小时分裂成个细胞； 故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）对在整式、之间插入它们的平均数：记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第二个整式为：； ②若，经过次操作后，所有数之和为； ③经过次操作后，将得到个整式； ④第次操作后，从左往右第个整式为：      以上四个结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索，根据操作方式找出变化规律是解题的关键．①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第二个整式即可判断；②代入，求出经过3次操作后所得数据，求和即可判断．③根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过8次操作后所得整式个数即可判断；④根据操作方式得出每次操作后从左往右第2个整式的规律，然后求出第10次操作后，从左往右的第10个整式即可判断． 【详解】结论①：第一次操作后序列为．第二次操作时，在与之间插入，在与之间插入．新序列为．从左往右第二个整式为，结论①正确． 结论②：当时，初始值为．第一次操作后为（和为）．第二次操作后为（和为）．第三次操作后序列为，求和得，结论②正确． 结论③：每次操作后项数规律为：初始项，第次操作后项数为．第8次操作后项数为，而非，结论③错误． 结论④：第次操作后第个整式可表示为．当，时，表达式为，而题目中为，分母错误，结论④错误． 综上，正确结论为①、②，共2个， 故选：B． 4．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，正方形的边长为1，电子蚂蚁从点以1个单位长度/秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点以3个单位长度/秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2025次相遇在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可以得到前几次相遇的地点，从而可以发现其中的规律，由此即可得． 【详解】解：设电子蚂蚁和的运动时间为秒， 则当电子蚂蚁和第1次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第2次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第3次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第4次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 当电子蚂蚁和第5次相遇时，，解得，此时电子蚂蚁运动距离为，相遇在点， 归纳类推得：每四次为一个循环， ∵， ∴电子蚂蚁和第2025次相遇的地点与第1次相遇的地点相同，即为点， 故选：D． 5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形，…… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形． 故选：C． 6．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）已知下列各数：，按此规律第100个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数的规律，根据题意可得分子从1开始逐次增加1，分母从2开始逐次增加1，第偶数个分数为负，第奇数个分数为正，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得分子从1开始逐次增加1，分母从2开始逐次增加1，第偶数个分数为负，第奇数个分数为正， 即第一个分数是，第二个分数是，第三个分数是，第四个分数是， ∴第100个数是， 故答案为： ． 7．（2025·湖南怀化·模拟预测）现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出 根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双） 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，根，摸出第二双，需要根，摸出第三双，需要根，以此类推，摸出第双，需要（根），掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：假设先摸的是红、橙、黄、绿、蓝、紫根，再摸一根就可成为一双筷子，（根）， 摸出第二双，需要（根），摸出第三双，需要（根）， ； 以此类推，摸出第双，需要（根）， ∴闭上眼至少随机摸出根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双， 故答案为：． 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）为筹办牡丹花展，植物园设计牡丹的摆放造型，如图是牡丹造型和牡丹盆数（圆点）的数量规律，那么按照此规律排列，第13个牡丹花造型有 盆牡丹花（圆点）． 【答案】40 【分析】本题考查了图形规律，先根据题干的图形，总结得出第个牡丹花造型：（盆），把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，第1个牡丹花造型：（盆）， 第2个牡丹花造型：（盆）， 第3个牡丹花造型：（盆）， 第4个牡丹花造型：（盆）， …… 依次类推：第个牡丹花造型：（盆）， 把代入，得（盆）， 故答案为：． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 个． 【答案】38 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，发现规律，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：由图形可得：第①个图形有个， 第②个图形有个， 第③个图形有个， 第④个图形有个， …， 故第⑩个图形有个, 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）公元11世纪，北宋数学家贾宪（约）在其数学著作中给出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚失．世纪，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了数学家贾宪的三角形图表，后来得以流传，人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．“杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律如下：                                                                  … 根据上述规律，请计算的展开式中倒数第三项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索数字与图形的规律，根据杨辉三角中的第三项系数的变化规律，可知的第三项系数是． 【详解】解：由题意可知， 的第三项系数是， 的第三项系数是， 的第三项系数是， 的第三项系数是， ， 由规律可得：的第三项系数是． 故答案为：． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）自然数的因数有，，，，这几个因数具有关系．像这样的数叫作完全数（也称完美数）．判断下列各数是否是“完全数”： (1)8； (2)28． 【答案】(1)8不是“完全数” (2)28是“完全数” 【分析】本题主要考查的目的是需理解完美数的概念，并能熟练掌握求一个数因数的方法。 （1）依照“完美数”的概念，列举出8的所有因数，并通过求和的方法来验证； （2）依照“完美数”的概念，列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证． 【详解】（1）解：8的因数有1，2，4，8，， 所以8不是“完全数”． （2）解：28的因数有1，2，4，7，14，28，， 所以28是“完全数”． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）佳佳在用等长的木棒设计图案探索规律： 图案标号 1 2 3 4 所需木棒根数 8 14 (1)请填写上表； (2)用含n的代数式表示图n所需木棒的根数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了图形类规律问题，用代数式表示， 对于（1），第一个图形的木棒的根数为8， 第二个图形的木棒的根数为； 第三个图形的木棒的根数为； 第四个图形的木棒的根数为． 填写表格即可； 对于（2），根据（1）中的规律可知第n个图形中有根，整理得出答案． 【详解】（1）解：如表所示， 图案标号 1 2 3 4 所需木棒根数 8 14 20 26 （2）解：根据（1）中的规律可知第n个图形中有（根）． 13．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． 【发现】请直接写出第5个等式； 【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）； 【论证】请证明你的猜想． 【答案】【发现】：；【猜想】：；【论证】：见解析 【分析】本题考查了数字的变化-规律型，观察数字的变化，找出变化规律是解题的关键． 观察题目中的4个等式，得到第5个等式为； 观察题目中的4个等式，得到第（为正整数）个等式为； 因为等式左边等式右边，可得到猜想成立． 【详解】解：【发现】第5个等式是； 【猜想】； 【论证】证明：等式左边 等式右边， 猜想成立． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去…． (1)第4次操作后共得到等边三角形的个数为______，第n次操作后共得到等边三角形的个数为______； (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，，求： （ⅰ）______； （ⅱ）______． 【答案】(1)， (2)； 【分析】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每剪一次，等边三角形的个数增加3，据此写出代数式即可； （2）（ⅰ）依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答； （ⅱ）运用（ⅰ）中的结论进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 剪1次共得到的等边三角形个数为：； 剪2次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； 剪3次共得到的等边三角形个数为：； …， 所以剪n次共得到的等边三角形个数为个． 故答案为：，． （2）解：（ⅰ）因为原等边三角形的边长为1， 所以第1次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第2次所剪出的小等边三角形的边长为：； 第3次所剪出的小等边三角形的边长为：； …， 所以第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； （ⅱ）由（ⅰ）题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． ∴ 故答案为：． 15．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学探究课上，老师带着大家-起探究（n为正整数）的结果，如图1，2，3所示． (1)通过观察，得出的结果为_________． (2)在接下来的探究中，小明提出了探究（n为正整数）的结果的方案，如图4，5，6所示． 由图5可以写出，由图6可以写出． ①推算_________． ②根据以上结果，求解的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察图象可得连续的正整数之和等于最大的数乘以最大的数加1后除以2，据此规律求解即可； （2）①观察图象可知，连续的正整数的立方和等于这些正整数的和的平方，据此规律求解即可；②根据前面总结的规律计算求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得， 由图2可得， 由图3可得， ……， 以此类推可得，； （2）解：①由图4可知，， 由图5可知， 由图6可知，， ……， 以此类推可得，； ② ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 探索与表达规律（3大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数字类规律探索 典型例题二 图形类规律探索 典型例题三 探索与表达规律之排列问题 典型例题四 探索与表达规律之新定义问题 典型例题五 探索与表达规律之日历问题 典型例题六 探索与表达规律之表格数据问题 知识点01 数字序列规律 概念： 给出看似无规律或规律不明显的数列，要求学生找出通项公式（第 n 项）。 ①核心方法 观察相邻项关系： 计算相邻项的差（看是否等差）、比（看是否等比）。差或比本身也可能有规律（如二级等差）。 ②拆项法 将每一项拆分成几部分（如符号、整数部分、分子分母）分别找规律。特别强调符号规律（正负交替）的处理。 与序号 n 建立联系： 列出表格，写出序号 n 和对应项 aₙ，寻找 aₙ 关于 n 的表达式（可能是 n 的一次式、二次式、乘方等）。这是最关键的一步。 特殊值验证： 将得到的代数式 aₙ = f(n) 代入 n=1, 2, 3 等小值，看结果是否与已知项匹配。 【即时训练】 1．（2025·吉林松原·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2025个格子中的整数是 ． 2 a b c 6 b … 知识点02 图形/图案规律 1、基本性质 点阵（小圆点、小正方形排列）、火柴棒拼搭图形（搭三角形、正方形、小鱼等）。 核心问题： 求第 n 个图形中点的总数、火柴棒的根数、某种基本图形的个数（如三角形的个数）。 核心方法： 数形结合 & 列表： 画出或想象前几个图形 (n=1,2,3,4)，数出目标量（如火柴棒数 sₙ），列表记录序号 n 和 sₙ。 2、分析增量 观察相邻图形之间目标量的增加量是否有规律？增加量本身是否有规律？（例如，每次增加固定根数 -> 等差数列；每次增加量递增 -> 可能与 n 有关）。 3、分解图形结构 将第 n 个图形分解成不变的“底座”部分和随 n 变化的“增长”部分，或者分解成若干种基本单元。 ①（火柴棒三角形）： 第 n 个三角形可以看作由 n 行组成，第1行1根，第2行2根...第n行n根，则总根数 sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。 ②（火柴棒正方形）： 第 n 个正方形可能由 n x n 个小正方形组成，需要分析横放和竖放火柴棒的数量规律。 ③（点阵）： 点阵可能按矩形 (n x m)、三角形、或者特定形状排列，分析行数、列数与 n 的关系。 寻找与序号 n 的关系： 基于列表或结构分析，尝试将 sₙ 表达为 n 的代数式（一次、二次等）。 【即时训练】 1．（2025·广东广州·模拟预测）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（    ） A．19 B．17 C．15 D．13 【即时训练】 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有 个小黑点． 知识点03 日历规律 1、基本概念 在给定的日历表中（通常给出局部），探索方框圈定的若干数字（如 3x3 九宫格、2x2 方块、一行、一列、对角线）之间的关系。 核心方法： 设定中心/起点： 用字母（如 a）表示关键位置（如中心数、左上角数）。2、利用等差关系 日历中横行相邻数差 1，竖列相邻数差 7（一周天数）。这是最核心的规律！ 代数表示其他位置： 用含 a 的式子表示方框中其他位置的数。 3、运算与化简 对方框内所有数进行求和、求积或比较特定位置数的差/和，将表达式化简，观察结果（往往是常数或与 a 无关的简单式子）。 得出结论： 如“九宫格中9个数的和等于中心数的9倍”，“2x2 方框中对角线和相等”。 【即时训练】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）某月的月历表如图所示，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ． 【典型例题一 数字类规律探索】 【例1】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若第一个三角数记为，第二个三角数记为，…第个三角数记为，计算的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【例3】（24-25七年级下·全国·假期作业）将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式．观察规律，第20行的第3个数是 ． 【例4】（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）有一串数字：2、3、6、8、8、4……它的规律是：从第三个数开始，每一个数都是前面两个数字乘积的个位数字，那么这串数字的第2022个数字是多少？ 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）在等差数列中，已知，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察右边算式的规律：，，，，… (1)用含有字母的式子表示规律：（　　） (2)用规律进行计算：（　　） 4．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第4个等式：________________； (2)用含有的代数式表示第个等式：________________（为正整数）； (3)求的值． 【典型例题二 图形类规律探索】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒，摆3个三角形用7根小棒．照这样，摆12个三角形用（　　）根小棒． A．25 B．24 C．36 【例2】（24-25七年级上·云南·阶段练习）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定的规律组成，其中，第个图形中一共有个小圆圈，第个图形中一共有个小圆圈，第个图形中一共有个小圆圈，按此规律，第个图形中小圆圈的个数为（     ） A． B． C． D． 【例3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑩个图形需要 根小木棒． 【例4】（2024七年级上·河南郑州·专题练习）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是 ． 1．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形 (1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________； (2)求第2024个图形中三角形的个数． 2．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）按下图的方式，用火柴棒搭“小鱼”． (1)搭1条、2条、3条“小鱼”各用多少根火柴棒？ (2)按同样方式，搭20条“小鱼”要用多少根火柴棒？ (3)如果用n表示所搭“小鱼”的条数，那么搭n条这样的“小鱼”需要多少根火柴棒？ 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【典型例题三 探索与表达规律之排列问题】 【例1】（24-25七年级上·重庆·期中）如图，用相同幸运星图案“＋”按一定规律排列成如下图形，其中图形①有1个幸运星，图形②有5个幸运星，图形③有9个幸运星…按此规律排列，则图形⑥中幸运星图案个数为    （   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【例2】（24-25七年级上·重庆江津·期中）如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第1个图形中有6个等边三角形，第2个图形中有10个等边三角形，第3个图形中有14个等边三角形，……按照此规律排列下去，则第9个图形中等边三角形的个数是（   ） A．36 B．38 C．40 D．42 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是 ；在前16个图案中有 个；第2008个图案是 ． 【例4】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，第1个图形中实心圆的个数为，第2个图形中实心圆的个数为，…第n个图形中实心圆的个数为 ．（用含n的代数式表示） 1．（24-25七年级上·河南商丘·期末）【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）观察图①，②，③，④得 ； ； ； ； …… (1)观察面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？你能表示出来吗？ (2)根据（1）中的规律，计算：； (3)根据（1）中的规律，计算：． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 4．（24-25七年级上·湖北随州·期中）图1由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了n层．    (1)如图1所示，第100层有_____个小圆圈，从第1层到第n层共有_____个小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第6个数是_____； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第10层的所有数的绝对值的和_____． 【典型例题四 探索与表达规律之新定义问题】 【例1】（23-24七年级上·河南南阳·期末）学习情境·新定义a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山东济南·期中）新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一），，， ， ， 运算（二），，，，利用以上规律计算：（   ） A． B．4049 C．0 D． 【例3】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…，以此类推，则 ． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“运算”的结果是．若，则第次“运算”的结果是 ． 1．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数称之为互为“友好数”；如的“友好数”是． (1)填空：、的“友好数”分别是___________； (2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被整除． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）定义一种新运算“f”：表示n在运算f作用下的结果．若表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）【概念学习】 我们已经知道：求n个相同乘数的积的运算叫做乘方． 类比乘方的定义，我们规定：求n个相同有理数（均不等于0） 的商的运算叫做除方．如∶，等， 我们把记作， 读作“2的3次商”； 记作，读作“的4次商”．一般地， 我们把n个a（a≠0）相除记作，读作“a 的n次商”． 根据以上信息，完成下列问题： （1）请直接写出计算结果： 【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式： （3）将“a的n次商”写成幂的形式是： _________； 【结论应用】 （4）计算： 【典型例题五 探索与表达规律之日历问题】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（   ） A．庚子赔款——1900年 B．辛酉政变——1861年 C．丁巳京察——1617年 D．壬寅宫变——1543年 【例3】（24-25七年级上·海南海口·期末）在图所示的2019年1月份日历中，带阴影的十字框框出5个数，十字框可移动位置，若设中间的数为a，则这5个数字之和为 ．（用含a的代数式表示） 【例4】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）新年将至，如图1是2023年1月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个代表日期的数，如图2若设交叉框中的五个数分别为a，b，c，d，m，且，则m的值为 ． 1．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再用积较大的数减去较小的数，例如：，你发现了什么规律？ (1)将每个方框的左上角数字设为，请用含的式子表示你发现的规律：______． (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）观察某月日历，回答下列问题： (1)观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论． (2)小强一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小强一家是几号外出的？ 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察日历找规律． (1)观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ (2)观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ (3)你还能在日历中找到什么规律？ 4．（24-25七年级上·北京海淀·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是年月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______（请完成填空），______，不难发现，结果都等于_______； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为，那么中间位置上的数______． 【典型例题六 探索与表达规律之表格数据问题】 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如表中记录了一次实验中不同时间对应温度的数据，假设温度的变化是均匀的． 时间 0 3 6 9 … 温度 8 11 14 17 … 实验进行时的温度为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表那么，当输入数据是时，输出的数据是（    ） 输入 输出 A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如表．由表中数据的规律可知，当克时， 毫米． /克 0 2 4 6 8 /毫米 10 14 18 22 26 【例4】（24-25七年级上·河南开封·期末）观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题： 梯形个数 1 2 3 4 5 图形周长 5 8 11 14 17 当梯形个数为时，这时图形的周长为 ． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）观察下表中和 两个代数式的值． x 0 1 2 3 4 5 10 7 1 10 9 6 1 (1)将上面的表格补充完整； (2)观察表格，估计代数式 的值先小于 (3)请你写出一个代数式，要求当x的值每增加1，代数式的值就增加2． 2．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，桌面上碗的高度（）与碗数（个）的变化情况如下表. 碗数（个） 高度（cm） 请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)上表中的值为______________； (2)求出叠放在桌面上碗的高度（cm）与碗数（个）之间的关系式； (3)把这些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为的柜子里，求一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 3．（23-24七年级上·山东济南·期末）下列图形均由边长相等的黑、白两色小正方形按规律拼接而成． (1)观察图形，将下面的表格填写完整： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ … 黑色小正方形个数 … 白色小正方形个数 … (2)第个图形中白色小正方形的个数为______；黑色小正方形的个数为______； (3)若某个图形中白色小正方形比黑色小正方形多个，则这个图形是第几个图形？ 4．（24-25七年级上·广东深圳·期末）问题解决策略：归纳 活动一：在城市规划中，街道的设计需要考虑到交通流量和交汇点的管理．每条街道可以看作平面上的一条直线，街道的交汇点即直线与直线的交点．通过计算交汇点数量的最大值，可以帮助优化交通网络的设计，提高交通效率．探究小组设计了一个数学活动，模拟了某个城市街道交汇点数量的最大值的问题． 【特例研究】如图1，若长方形内有2条直线，则最多可以得到1个交点． 如图2，若长方形内有3条直线，根据交点个数的不同，有如图四种情况，请在图中作出第四种情况． 【类比发现】 请类比上面的分析过程，将你得到的数据填入下表中． 长方形内直线的条数 2 3 4 5 … 最多的交点个数 1 … 【猜想分析】若该城市某片区有10条街道，假设10条街道为10条直线，则这10条直线最多有______个交汇点； 活动二： （1）探究小组用归纳分析的方法研究课本95页的第12题，题目如下：对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图3，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，，，…，也可以用手指直观的展示出来．用数学语言揭示原理：从左数起，设弯下的手指为第n根手指，便可以用一个含n的等式来表示这个规律，请填写这个等式：(______)+(______)； （2）探究小组还发现，用9根小木棒也能展示从，，，…，的乘法运算．如图4，往下移动第3根木棒，则左边的两根木棒可表示2个9，右边的6根表示6个1，则类似地，请用一个含未知数的等式来揭示原理，过程如下：设______，则表示这个规律的等式为______． 1．（2025·云南德宏·模拟预测）若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南文山·模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个．根据此规律可得，那么经过（为正整数）小时后可分裂成（    ）个细胞 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）对在整式、之间插入它们的平均数：记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第二个整式为：； ②若，经过次操作后，所有数之和为； ③经过次操作后，将得到个整式； ④第次操作后，从左往右第个整式为：      以上四个结论正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，正方形的边长为1，电子蚂蚁从点以1个单位长度/秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁从点以3个单位长度/秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁和第2025次相遇在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 6．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）已知下列各数：，按此规律第100个数是 ． 7．（2025·湖南怀化·模拟预测）现有长短、形状、质地完全相同的筷子，仅颜色不同，共有红、橙、黄、绿、蓝、紫六种颜色，每种颜色各根.闭上眼至少随机摸出 根筷子，才能保证摸出的筷子中至少有双.（同色两根为一双） 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）为筹办牡丹花展，植物园设计牡丹的摆放造型，如图是牡丹造型和牡丹盆数（圆点）的数量规律，那么按照此规律排列，第13个牡丹花造型有 盆牡丹花（圆点）． 9．（2025·浙江杭州·模拟预测）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 个． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）公元11世纪，北宋数学家贾宪（约）在其数学著作中给出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚失．世纪，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中引用了数学家贾宪的三角形图表，后来得以流传，人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．“杨辉三角”揭示了的展开式的项数及各项系数的有关规律如下：                                                                  … 根据上述规律，请计算的展开式中倒数第三项的系数是 ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）自然数的因数有，，，，这几个因数具有关系．像这样的数叫作完全数（也称完美数）．判断下列各数是否是“完全数”： (1)8； (2)28． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）佳佳在用等长的木棒设计图案探索规律： 图案标号 1 2 3 4 所需木棒根数 8 14 (1)请填写上表； (2)用含n的代数式表示图n所需木棒的根数 13．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）【观察】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ．．．．．． 【发现】请直接写出第5个等式； 【猜想】根据上述等式的规律猜想出第（为正整数）个等式（用含的式子表示）； 【论证】请证明你的猜想． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，将一张等边三角形纸片剪成4个大小、形状一样的小等边三角形，记为第1次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到7个等边三角形，记为第2次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去…． (1)第4次操作后共得到等边三角形的个数为______，第n次操作后共得到等边三角形的个数为______； (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如：，，求： （ⅰ）______； （ⅱ）______． 15．（2025·安徽阜阳·模拟预测）在数学探究课上，老师带着大家-起探究（n为正整数）的结果，如图1，2，3所示． (1)通过观察，得出的结果为_________． (2)在接下来的探究中，小明提出了探究（n为正整数）的结果的方案，如图4，5，6所示． 由图5可以写出，由图6可以写出． ①推算_________． ②根据以上结果，求解的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$