第01讲 代数式（6大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第01讲 代数式（6大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列代数式 典型例题二 代数式书写方法 典型例题三 单项式的系数、次数 典型例题四 多项式的项、项数或次数 典型例题五 整式的判断 典型例题六 程序流程图与代数式求值 典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值 典型例题八 已知式子的值，求代数式的值 典型例题九 多项式系数、指数中字母求值 典型例题十 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题十一 单项式规律问题 典型例题十二 用代数式表示数、图形的规律 知识点01 用字母表示数 定义： 认识到字母可以代表一个具体的、但暂时未知的数，或者代表一个可以变化的数（变量）。这是从具体算术思维迈向抽象代数思维的关键一步。 概括数量关系： 用简洁的式子表达普遍规律或公式。 例如： 路程 = 速度 × 时间 → s = v * t 长方形面积 = 长 × 宽 → S = a * b 单价 × 数量 = 总价 → c = p * n 表示运算律： 加法交换律：a + b = b + a 乘法分配律：(a + b) * c = a*c + b*c 表示数学结论/公式： 圆的周长：C = 2πr (其中 π 是常数) 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 【即时训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，和成反比例关系的是   A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例，掌握它们的乘积一定时，这两个量成反比例是解题的关键．根据当它们的乘积一定时，这两个量成反比例解答即可． 【详解】解：只有选项C中满足两种相关联的量的积一定，则这两种量成反比例． 故答案为：C． 【即时训练】 2．（2024七年级上·吉林·专题练习）学校组织运动会，小明参加百米赛跑，他跑步的时间和速度成 比例关系．（填“正”或“反”） 【答案】反 【分析】本题考查了代数式，反比例关系．熟练掌握乘积是定值时，变化的两个量成反比是解题的关键．根据反比例关系的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，路程一定，时间与速度成反比例关系， 故答案为：反． 知识点02 代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式定义，正确理解代数式的定义是解题的关键．利用代数式定义“代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子”逐个判定即可得到答案． 【详解】解：，，这个是代数式， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子：0，，a，其中代数式有 个． 【答案】5 【分析】本题考查代数式的识别，代数式是由数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有等符号． 【详解】解：0，是代数式；含有等号，不是代数式；含有小于号，不是代数式； 因此其中代数式有5个， 故答案为：5． 知识点03 代数式的值 定义： 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做这个代数式的值。 求代数式值的步骤： 写： 写出代数式。 代： 用具体的数值代替代数式里的字母。 注意： 如果字母取值是负数或分数，代入时必须加上括号。 如果字母取值是多个数，要一一对应代入。 算： 按照代数式指明的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），计算出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为（   ） A． B．7 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，将代入代数式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：D． 【即时训练】 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 ． 【答案】7 【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是将变形为整体代入求解． 先将变形为，然后根据整体方法代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 知识点04 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列代数式中，整式共有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查整式的概念，熟记整式的概念，区分整式和分式是解题的关键．单项式和多项式统称为整式，整式和分式区别在于分母中是否有字母，逐一判断即可． 【详解】解：①是多项式，所以①也是整式； ②是多项式，所以②也是整式； ③是单项式，即③也是整式； ④中分母中有字母，是分式，所以④不是整式； 所以整式有3个． 故选C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中，是整式的有 ．（填序号） 【答案】②③④⑥ 【分析】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键．根据单项式和多项式统称为整式，进而得出答案． 【详解】解：①；②；③；④2021；⑤；⑥中，是整式的有②；③；④2021；⑥． 故答案为：②③④⑥． 知识点05 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东韶关·期中）在代数式，，，中，不是单项式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义．根据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式中，单项式有，，，不是单项式的是． 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有 个． 【答案】4/四 【分析】单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式．据此判断即可． 【详解】解：在代数式，，，，0，中，，，，0是单项式，共有4个， 故答案为：4 【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 知识点06 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列代数式，，，，中，多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的定义，熟练掌握几个单项式的和为多项式，是解题的关键． 【详解】解：代数式，，，，中，多项式有，，，即多项式有3个， 故选B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·四川德阳·期中）下列整式：①；②；③；④0；⑤；⑥，其中单项式是 ，多项式是 （填序号）． 【答案】 ①③④ ②⑤⑥ 【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；进行判断即可． 【详解】解：属于单项式的：①；③；④0； 属于多项式的有：②；⑤；⑥， 故答案为：①③④；②⑤⑥． 【点睛】本题考查了单项式、多项式的定义，能熟记单项式、多项式的定义是解此题的关键． 【典型例题一 列代数式】 【例1】（24-25七年级上·山东济南·期末）某商品每件以盈利率出售，后产品滞销又在实际售价的基础上降价，则现在每卖出一件该商品（    ） A．赚钱 B．亏钱 C．不赚不亏 D．缺少条件无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，设该商品的成本价为元，先按盈利率定价，再降价，计算最终售价并与成本价比较即可判断盈亏． 【详解】解：设该商品的成本价为元， 第一次定价：盈利率，即售价为成本价的倍，故售价为元． 第二次降价：在实际售价基础上降价，即新售价为元． 再比较成本与售价：新售价元高于成本价元，每件盈利元，即盈利． 因此，现在每卖出一件该商品赚钱， 故选A． 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个长方形的宽是厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长是 厘米，周长是 厘米，面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，先用含a的式子表示长，然后根据长方形的面积公式即可表示，关键是掌握长方形的面积公式． 【详解】解：根据题意可得长方形的长是（厘米） 周长为（厘米） 面积为（平方厘米） 故答案为：；；． 【例3】（2025·辽宁大连·模拟预测）一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积为 （用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式．分别把Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域的面积表示出来，相加即可． 【详解】解：这所住宅的建筑面积为： ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）下面各项中，可以用表示的是（　　） A．线段的总长度： B．线段的总长度： C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积： 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，熟悉掌握代数式的列法是解题的关键． 根据选项的描述逐一列式即可． 【详解】：表示两个相加的和，再加上4，据此观察四个选项，解答此题． A．线段的长度：，故该选项不符合题意； B．线段的长度：，故该选项不符合题意； C．围长方形所用木料长度：，故该选项符合题意； D．长方形的面积是：，故该选项不符合题意． 故答案为：C． 2．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）某一齿轮组合需要由齿轮齿数；齿轮齿数，拟定齿轮与齿轮的转速比要达到，先需要增加两个齿轮（如图所示），若设齿轮齿数；齿轮齿数，则与的比值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例的应用，解题关键是结合‌齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系解题．设齿轮与齿轮的转速分别为，齿轮和齿轮的转速为，根据“齿轮传动过程中齿数与转速成反比关系”求得的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，拟定齿轮与齿轮的转速比要达到， 可设齿轮与齿轮的转速分别为，齿轮和齿轮的转速为， 则有，， 整理可得，， 所以，． 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）口算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2)0.9 (3) (4) (5)2.5 (6) (7)1 (8)100 【分析】本题考查分数，百分数，比值的计算，根据相应的运算法则进行计算即可． （1）百分数化成小数，进行计算即可； （2）把比变成除法运算即可； （3）通分，计算即可； （4）利用乘法法则计算即可； （5）利用乘法法则计算即可； （6）利用乘法法则计算即可； （7）除法变乘法，约分即可； （8）百分数化成小数，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 4．（2025七年级上·辽宁沈阳·专题练习）如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？ 【答案】圆环的面积是157平方厘米． 【分析】本题考查了圆的面积、列方程解含一个未知数的问题、圆环的面积．设大、小正方形的边长分别为2R、2r，则大、小圆的半径分别为R、r．分别求出大圆、小圆半径的平方，再结合圆环的面积，代入数据计算求解． 【详解】解：设大、小正方形的边长分别为、，则大、小圆的半径分别为R、r． （平方厘米） 圆环的面积： （平方厘米） 答：圆环的面积是157平方厘米． 【典型例题二 代数式书写方法】 【例1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）下列写法正确的是（   ） A． B． C．m D．元 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的写法：①两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以省略不写；②字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面；③代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式；④数字与数字相乘时，乘号仍应保留不能省略，或直接计算出结果．根据规则直接判断即可解决． 【详解】解：A、x与6的积表示为，所以该选项错误； B、相除关系要写成分数的形式，可表示为，所以该选项错误； C、系数不能为带分数，应化为假分数的形式，所以该选项错误； D、元书写正确，所以该选项正确． 故选：D． 【例2】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】 / 【分析】本题考查代数式的书写规范，熟练掌握代数式的书写规范是解题的关键. （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为/； 故答案为：/． （4）解：应写为； 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·重庆渝北·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的含义是a与4的差除以b的商；④a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了代数式的意义，代数式的书写方法，理解除和除以的区别，在解答的过程中要认真分析题意，搞清运算顺序是关键，代数式书写时带分数必须化为假分数． 【详解】解：a是代数式，1也是代数式，故①不正确； 表示数a，b，的积的代数式是，故②不正确； 代数式的含义是a与4的差除以b的商，故③正确； a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为，故④不正确． 综上，正确的有③， 故答案为：③． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 【答案】 5a 【分析】（1）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号即可得到结果． （2）根据代数式书写规范将除法算式写成分数形式即可得到结果． （3）根据代数式书写规范将数字因数写在代数式前省略乘号，同时将相同字母的乘积写成乘方形式即可得到结果． （4）根据代数式书写规范将数字因数的带分数化为假分数即可得到结果． 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 【点睛】本题考查代数式书写规范，熟知代数式的书写规范要求是解题关键． 3．（24-25七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)/ (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可． 【详解】（1）解：应写为； 故答案为：． （2）解：应写为； 故答案为：． （3）解：应写为； 故答案为：． （4）解：应写为； 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）用代数式表示： (1)的平方与的倍的差； (2)的倍的三分之一与的一半的差； (3)比除以的商的倍小的数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； （）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； （）根据题意列出代数式，同时注意书写规范即可； 本题考查了列代数式，代数式书写规范，理解题意，准确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由的平方与的倍的差得：； （2）解：由的倍的三分之一与的一半的差得：； （3）解：由比除以的商的倍小的数得：． 【典型例题三 单项式的系数、次数】 【例1】（2025·贵州毕节·模拟预测）单项式的系数和次数分别为（   ） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 【答案】C 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的次数是数字因数、次数是所有字母的指数和求解即可． 【详解】解：单项式的系数为、次数为6， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）单项式的次数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了单项式的基本概念，正确理解单项式的数是解题的关键．根据单项式的基本概念解答即可． 【详解】解：根据题意，得的次数是， 故答案为：6． 【例3】（24-25七年级上·河南新乡·期中）请你写出一个含有字母且系数为，次数为的单项式 ． 【答案】或（写一个即可） 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母且系数为，次数为的单项式可以写为或， 故答案为：或．（写一个即可） 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）单项式的次数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式的次数，熟练掌握单项式次数的定义是解题的关键； 直接利用单项式次数的定义，各字母的指数和，即可求解． 【详解】解：单项式的次数； 故选：D 2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 【答案】③⑤ 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．根据定义求解即可。 【详解】解：①是三次单项式；故不符合题意； ②单项式的系数是，次数6；故不符合题意； ③是四次三项式；故符合题意； ④不是多项式；故不符合题意； ⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式项数最多时为：；有六项．故符合题意； ∴正确的有：③⑤， 故答案为：③⑤ 3．（24-25七年级上·广西·单元测试）若是含有字母x和y的五次单项式，求的最大值． 【答案】9 【分析】根据单项式的概念即可求出答案． 【详解】解：∵是含有字母x和y的五次单项式， ∴，且m、n均为正整数． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为9. 【点睛】考查单项式的次数即单项式中所有字母的指数和，解题关键是运用单项式的概念和分类讨论的思想． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 【典型例题四 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2025·云南玉溪·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、3、5，……，y项的次数依次为2、4、6，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·青海西宁·期中）多项式的常数项是 ，次数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的次数和常数项，熟记“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”“不含字母的项称为常数项”．由此即可得出答案． 【详解】解：多项式的常数项是，次数是5； 故答案为：；5． 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）是 次 项式． 【答案】 四 四 【分析】本题考查了多项式的概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键； 几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此解答即可． 【详解】解：是四次四项式； 故答案为：四，四． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．常数项是4 C．次数是3 D．项数是2 【答案】C 【分析】本题考查多项式的项、次数，以及项的系数，解题的关键在于熟练掌握相关概念．根据多项式的项、次数、项的系数的定义，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、多项式，二次项系数是，选项说法错误，不符合题意； B、多项式，常数项是，选项说法错误，不符合题意； C、多项式，次数是3，选项说法正确，符合题意； D、多项式，项数是3，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024七年级上·云南·专题练习）已知是关于的二次多项式，且实数，，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，非负数的性质，解题的关键是掌握多项式的次数和非负数的性质是解题的关键． 根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质求得b、c，代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次多项式， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与单项式的相关概念，求代数式的值，根据题意可得，，即可求出、的值，代入计算即可得解，熟练掌握多项式与单项式的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：∵多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，， ∴． 4．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值． (2)求该多项式的各项的系数之和． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是单项式的次数与多项式的次数；熟记单项式与多项式的次数的概念是解本题的关键； （1）根据题意可得，，解方程可得答案； （2）本题考查的是多项式的各项的系数，先写出多项式中各单项式的系数，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得，； （2）解：因为， 所以多项式为， 所以该多项式的各项的系数分别是，，，， 所以该多项式的各项的系数之和为． 【典型例题五 整式的判断】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）代数式，，，，，，中，整式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称为整式．只含有数与字母的积的式子叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由几个单项式的和组成的代数式，单项式的分母中只允许出现数字，不能出现字母，是数字不是字母． 【详解】解：是单项式与的和，所以是多项式，所以是整式， 中的分母上有字母，所以不是整式， 是单项式，所以是整式， 的分母上有字母，所以不是整式， 是一个单独的数字是单项式，所以是整式， 是一个单独的数字是单项式，所以是整式， 是一个单项式，所以是整式， 整式的个数是． 故选：C． 【例2】 （24-25七年级上·四川德阳·期中）下列式子：，，，，，整式的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的概念，分母不含未知数的式子即为整式，单项式和多项式统称整式，据此即可作答． 【详解】解：依题意，整式有，，， ∴整式的个数是3个， 故答案为：3 【例3】（24-25七年级·江苏·假期作业）把下列代数式的序号填入相应的横线上 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ (1)单项式 ；(2)多项式 ；(3)整式 ． 【答案】 ③⑤⑦ ①② ①②③⑤⑦ 【详解】根据单项式，多项式，整式的定义即可求解． 【分析】(1)解：单项式 ③⑤⑦； 故答案为：③⑤⑦； (2)多项式 ①②； 故答案为：①②； (3)整式 ①②③⑤⑦． 故答案为：①②③⑤⑦． 【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 1．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断． 【详解】、分母中含字母，不是整式， 是多项式、、、是单项式，属于整式， 故整式有，共4个， 故选：． 【点睛】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，解答题的关键是正确理解：单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法；多项式是若干个单项式的和，有加减法． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期中）在代数式：，，，，，中，整式有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的概念，掌握整式是单项式与多项式的统称成为解题关键．根据整式的概念是单项式与多项式的统称逐个判断即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中的按整式有，，， ，共有5个． 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）观察下列各式：，，，，．回答下列问题： (1)单项式分别为：______________________________； (2)多项式分别为：_________________________________； (3)整式有___________个； (4)的系数为__________； (5)次数最高的多项式为__________________． 【答案】(1)， (2)， (3)4 (4) (5) 【分析】根据单项式的定义即可得出（1），根据多项式的定义即可得出（2），根据整式的定义即可得出（3），根据间项式的系数的定义即可得出（4），根据多项式的次数的定义即可得出（5）． 【详解】（1）解：单项式有，； 故答案为：，； （2）多项式有，； 故答案为：，； （3）整式有，，，共4个； 故答案为：4； （4）的系数为； 故答案为：； （5）次数最高的多项式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，多项式的项和次数等知识点，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式，多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列代数式，整式定义，判断单项式，多项式等． （1）先求出则之前面积，再求出增加后面积，再作减法即可列出代数式，继而再判断整式； （2）先表示出男生人数，再和女生的人数相加即可，继而再判断整式； （3）先表示出三支钢笔钱数，再加上一支圆珠笔钱数，再用100元减去花掉的钱即为结果，继而再判断整式． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ∴面积为：， ∵边长增加， ∴增加后面积为：， ∴面积增加：， ∴是整式也是多项式； （2）解：∵七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名， ∴男生人数：名， ∴全班共有名学生， ∴是整式也是多项式； （3）解：∵钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔， ∴三支钢笔花费的钱：， ∴小明共花元，售货员应找回元， ∴是整式也是多项式，是整式也是多项式． 【典型例题六 程序流程图与代数式求值】 【例1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为14，则第一次物出的结果为7，第2次输出的结果为10，…，则第2025次输出的结果为（   ） A．4 B．8 C．2 D．5 【答案】C 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是奇数， ∴，是偶数， ∴，是奇数 ∴，是偶数， ∴，是偶数， ∴，是偶数， ∴，是奇数， ∴，是偶数， ∴，是偶数， ∴，是奇数， 根据题意，得从第5次开始每3次的输出结果循环一次， 又， ∴2025次输出结果为2， 故选：C． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）按下面的程序计算，若开始输入m值为2，则输出的n的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查流程图，解题的关键是读懂流程图，按照流程图的顺序计算．把代入程序计算，进行判断按题目要求输入下一级运算即可． 【详解】解：已知， 第一次， 第二次循环，将代入， 则， 第三次循环，将代入， 则，输出， ． 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期中）小亮按如图所示的程序输入一个数等于8，最后输出的结果为 ． 【答案】206 【分析】本题主要考查了根据流程图与代数式求值，理解题意是解题的关键．代入x的值一步一步计算可得出最终结果． 【详解】解：当时，， ∴再输入41，， ∴输出的结果为206． 故答案为：206． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数为1，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值、有理数的乘方，理解程序框图的计算过程是解题的关键．由程序框图得，输入数后的计算过程为，再判断结果是否小于，是则输出结果，否则再重复一次计算过程，据此即可解答． 【详解】解：由程序框图得，输入数后的计算过程为，再判断结果是否小于，是则输出结果，否则再重复一次计算过程． 若输入的数为1，则计算结果为， ， 需要再重复一次计算过程， 若输入的数为，则计算结果为， ， 输出的结果为． 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是一个计算程序，当输出值时，则输入值 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程和利用程序图求代数式的值，熟练掌握求代数式的值是解题的关键； 利用计算程序得到，当时，，然后利用平方根求出即可． 【详解】解：根据题意得， 当时，， 所以， 解得或． 故答案为：或 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题的关键是正确理解题目所给运算程序的运算顺序． （1）根据题目所给的运算程序，列出代数式即可； （2）将代入（1）中得出的代数式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：输出的结果为， 故答案为：； （2）解：当时，． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 【答案】(1) (2)13，4，1，4，13 【分析】本题主要考查了代数式求值与程序流程图，正确列出对应的代数式是解题的关键． （1）根据程序流程图列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求，分别将x的值代入代数式即可得出输出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，； 当，； 当，； 当，； 当，； 填表如下 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 【典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）一个正方体的平面展开图如图，已知正方体相对两个面上的数互为相反数，则（    ） A．5 B． C．0 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的两个数互为相反数求出a、b，然后代入计算即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， ∵正方体相对两个面上的数互为相反数， ∴，， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是理解一个数的平方和一个数的绝对值都是非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0． 根据非负数的性质求出和的值，再代入计算结果． 【详解】根据题意可得： ，，解得：，， 把，代入，可得： ， 故答案为：． 【例3】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则，当时，U的值为 ． 【答案】220 【分析】本题考查了求代数式的值；把数值直接代入即可求解． 【详解】解：当时， ； 故答案为：220． 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）某窗户的形状如图所示，其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和（取）．则该窗户的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，先求出窗户的面积为，再将，代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：窗户的面积为， 将，代入得： 该窗户的面积为， 故选：． 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算和有理数的乘方，根据题意可得或或，分别求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式， ∴这两组的数分别对应相等， ①当时，则， 那么，，， ∴； ②当时，则， 此时，与三个互不相等的有理数矛盾； ③当时， 若，，则，与三个互不相等的有理数矛盾； 若，则不成立； 综上所述，． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，先根据非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ∴． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，已知长方形的宽，两个空白处圆的半径分别为、． (1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；（用含有，，的式子表示） (2)当，时，阴影部分的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，扇形的面积，利用长方形与扇形的面积之差表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）利用长方形的面积减去两个扇形的面积即可得出结论． （2）将字母的取值代入（1）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为：； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为：． 【典型例题八 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·四川广安·期末）若，则整式的值是（    ） A．9 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了求代数式的值，根据题意得出，再将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．由得到、，求得，将和先后代入即可得到答案． 【详解】解：由得、， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·辽宁本溪·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，，则的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数和绝对值的定义，互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数， ∴， ∵， ∴， ∴或 ， 故答案为：或3． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，根据题意，可知1的个数比的个数多25个，进而得到-1的个数为1000个，进而得到的值为1000个，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：1的个数比的个数多25个， 的个数为， ， ． 故选B． 2．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，理解新定义是解题关键．先根据“相伴数对”的定义得出关于m、n的等式，再化简所求代数式，然后代入求解即可． 【详解】解：由“相伴数对”的定义得： 解得 ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的代数式用记号的形式来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．例如时，代数式的值记为，则．根据上述材料，解答下面问题： 已知，且． (1)_____； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值．解决本题的关键是把的值代入代数式中进行计算求值． 把代入，可得，计算求出的值即可； 把代入，可得，整理可得； 把代入，可得，把代入，可得：原式，然后再把代入计算可得结果． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 整理得：， ， 解得：； （3）解：， ， 解得：， ． 【典型例题九 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（24-25七年级上·河南许昌·期中）如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中字母的指数总和的最大值即为多项式的次数．根据多项式的相关概念进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于，的五次三项式， ∴，， ∴． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数．根据五次二项式的定义得到，计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：4． 【例3】（2025·江西抚州·模拟预测）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：2． 1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键． 根据多项式的定义得且，求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． 根据题意，得出，由相同项的系数相等得出a，b，c，d的值，然后再分别代入计算即可． 【详解】解：∵（a、b是常数）与恒等， ∴ ∴，，，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值．熟练掌握整式加减中的无关型问题，代数式求值是解题的关键． （1）由题意知，，计算求出； （2）把、的值代入求解即可． 【详解】（1）解：关于的多项式不含三次项和一次项， ∴， 解得：， （2）解：∵， ∴， ∴的值为． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值． （2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论． 【详解】（1）因为， 当不含项和不含项时有和， 因为，， 所以． 因为，， 所以或（不符合题意）． 所以． （2）①∵|a|+4≥4， ∴a=0，b+3=0时， 即a=0，b=-3， ②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项， ∴a-1≠0，b+3=0， ∴a=-1，b=-3， ∴或 【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键． 【典型例题十 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了将多项式按某个字母降幂排列，熟练掌握多项式的项与次数的定义“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数”是解题关键．求出多项式的每一项中字母的次数，由此即可得． 【详解】解：在多项式中，中字母的次数是2，中字母的次数是0，中字母的次数是1，中字母的次数是4， 则这个多项式按字母的降幂排列为， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·重庆·期末）把多项式按的降幂排列可写成 ． 【答案】 【分析】按字母按x的降幂排列即可得答案． 【详解】按字母按x的降幂排列， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的定义，关键是要知道：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 【例3】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）多项式a3b - a2+3ab2－4a5+3是 次 项式，按a的降幂排列的结果 ． 【答案】 五 五 -4a5+a3b-a2+3ab2+3 【分析】根据每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数定义进行判断． 【详解】解：原多项式的最高次项是-4a5，次数是5次，一共有5项，因此是五项式； ∵a3b次数是4，3ab2次数是3，-a2次数是2， ∴按a的降幂排列的结果：4a5+a3ba2+3ab2+3； 故答案为：五、五、4a5+a3ba2+3ab2+3． 【点睛】本题考查了多项式，掌握多项式的项、多项式的次数的定义，把每个单项式的次数判断出是按a的降幂排列解题的关键． 1．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）下列说法①与的值相等，②多项式按升幂排列为：，③一定是负数，④单项式的次数是5，⑤已知，且，，则数，在数轴上距离原点较近的是．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据本题考查了绝对值，多项式升幂排列，单项式的次数，数轴上的点，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，①错误，故不符合要求； 多项式按降幂排列为：，②错误，故不符合要求； 一定非正数，③错误，故不符合要求； 单项式的次数是，④错误，故不符合要求； ∵，且，， ∴数，在数轴上距离原点较近的是，⑤正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，多项式升幂排列，单项式的次数，数轴上的点．熟练掌握绝对值，多项式升幂排列，单项式的次数，数轴上的点是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）把多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为 ，按b的降幂排列为 ． 【答案】 －5a3+5a2－3ab+2b2－2 2b2－3ab－5a3+5a2－2 【分析】按a的指数由大到小的顺序排列即可，按b的指数由大到小的顺序排列即可． 【详解】解：多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为－5a3+5a2－3ab+2b2－2． 按b的降幂排列为2b2－3ab－5a3+5a2－2． 故答案为：－5a3+5a2－3ab+2b2－2；2b2－3ab－5a3+5a2－2． 【点睛】本题考查了多项式的排列，注意：排列时带着项前面的符号． 3．（24-25七年级上·吉林通化·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式， (1)求该多项式的四次项； (2)将该多项式按y的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列，解题的关键是： （1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可； （2）将m值代入多项式并按y降幂排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x、y的八次四项式， ∴，， ∴， ∴原多项式为， ∴该多项式的四次项为； （2）解：按y的降幂重新排列为． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或 【分析】本题主要考查了多项式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次多项式． （1）将代入多项式，再根据多项式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的多项式求值即可； （3）根据齐次多项式的定义，由多项式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分两种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原多项式，并把该多项式按x的升幂排列即可． 【详解】（1）解：当时，该多项式为，此时该多项式是一个四次三项式，所以该多项式的次数为4，一次项为， 故答案为：4，； （2）解：当时，该多项式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该多项式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该多项式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该多项式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时，此时多项式为， 即， 所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ②当为六次项，时， 此时多项式为， 即，所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为． 【典型例题十一 单项式规律问题】 【例1】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式规律问题，分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【详解】解：：，，，，，…． ∵各单项式的系数的符号为：−，+，−，+，…， ∴各单项式的系数的符号可利用来确定； ∵各单项式的系数为：2，3，4，5， ∴各单项式的系数可利用来确定； ∵各单项式含字母的部分为：，，，， ∴ 各单项式含字母的部分规律为：； ∴第个单项式为：． 故选：． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）按照一定规律排列的式子：，，，，第n个式子是 【答案】 【分析】本题考查单项式有规律排列问题，观察可知，这一列单项式的分子的底数为x，指数是从2开始的连续的偶数，分母是从3开始的连续的奇数，据此即可求解． 【详解】解：按照一定规律排列的式子：，，，， 以此类推可得，第n个式子是， 故答案为：． 【例3】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，则这列单项式中的第个为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式和数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，即可求第个单项式． 【详解】由单项式， 可得第n个单项式是， 第个单项式为， 故答案为： 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． （1）观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可解决问题； （2）根据(1)中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解∶观察所给单项式可知， 单项式的系数依次为∶1，，4，，16，…， 所以第n个单项式的系数为∶ ， 单项式的次数依次为∶1，2，3，4，5，……， 所以第n个单项式的次数为∶n， 所以第n个单项式可表示为∶ ， 当时， 第10个单项式为， 故答案为∶，； （2）解∶由(1)知， 当时， 第2024个单项式为∶； 当时， 第2025个单项式为∶ 故答案为∶，． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (1)、、、，______； (2)试写出第2024个单项式； (3)试写出第个单项式． 【答案】(1) (2) (3)第个单项式为： 【分析】此题考查了找单项式规律．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，字母是a，a的指数比前面那个单项式的次数大的值，系数比前面那个单项式系数的绝对值大，奇数为正，偶数为负；由此可解出本题； （2）根据观察出的规律可以得到第2024个单项式即可； （3）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n的值；由此可解出本题． 【详解】（1）解：根据观察发现后面的单项式为：； （2）解：第2024个单项式为：； （3）解：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n， 故第n个单项式为． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【详解】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 4．（24-25七年级上·山西·期中）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的值， （1）①根据规律，即可求解； ②根据规律可得，再求次数，即可求解． （2）再根据题意和★所处表格位置可得，由，，为个不同的正整数，可得的值，从而得出的值，然后代入中，即可得最大值． 【详解】（1）解：①由表格可知，；． 故答案为：；． ②由①中的规律可知，的次数为， 故答案为：． （2）解：根据题意和★所处表格位置，可得多项式★：中的， ∴将代入中，即为 ∵为其中，，为个不同的正整数， ∴求的最大值时，最小即可， ∴， 又∵多项式的值为，即， ∴， 解得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 【典型例题十二 用代数式表示数、图形的规律】 【例1】（24-25七年级上·重庆南川·期末）如图所示，第1个图中有3个圆圈，第2个图中有5个圆圈，第3个图中有7个圆圈，…按照这种规律，则第7个图中圆圈的个数是（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律得到通项公式，最后求解即可． 【详解】解：第1个图中有圆圈， 第2个图中有个圆圈， 第3个图中有个圆圈， …， 按照这种规律，则第n个图中圆圈的个数是, ∴则第7个图中圆圈的个数是， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图是按规律排列的一组图形的前三个，观察图形解答下列问题： 则第个图形中点的数量为 个；第个图形中点的数量为 （用含的代数式表示）；第个图形中点的数量为 个． 【答案】 个 【分析】本题主要考查图形的规律探索，熟练地依次列出前面几个图形的点的数量，并从中找出规律是解题的关键．根据第一个图形中点的个数为，第二个图形中点的个数为，第三个图形中点的个数为，即可计算出第个图形中点的个数以及第个图形中点的个数，将代入代数式，即可得出答案． 【详解】解：第一个图形中，一共有点（个）； 第二个图形中，一共有点（个）； 第三个图形中，一共有点（个）； 第五个图形中，一共有点（个）； 则第个图形中点的数量为：个； 当时，， ∴第个图形中一共有个点， 故答案为：；；． 【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．下图是一张方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有 个格子被涂色． 【答案】4999 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是先求出白色的格子的数量，从而可求涂色的格子的数量．本题由图可得，白色的格子分别是2， 6， 10， 14， ．．．从而可得第n个数是，则其总数是结合方格纸的大小可求得白色格子的数量，从而可求涂色的格子的数量． 【详解】解∶由题意得白色的格子分别是2， 6， 10， 14， ．．． ∴第n个数是∶， ∴白色格子的总数是： ， ∵方格纸的规格是， ∴白色格子的行数是（行）， 即当时，其白色格子的总数是： （个）， ∴涂色的格子的数量为∶ （个）． 故答案为∶ ． 1．（24-25七年级上·广东东莞·期末）观察如图所示的四个点阵，s表示每个点阵中点的个数，按照图形中点的个数变化规律，猜想第6个点阵中点的个数s为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 找出前四个图形中点的个数的规律，进而求解即可． 【详解】解：∵第1个点阵中的点的个数， 第2个点阵中的点的个数， 第3个点阵中的点的个数， 第4个点阵中的点的个数， … ∴第6个点阵中的点的个数． 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的（如图1所示），小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的（如图2所示），小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的（如图3所示）．请代数式表示出第n个装饰物的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式找规律题型，做题的关键是找准规律求解． 依题意，找出装饰物的变化规律，第n个装饰物由个半圆和2个四分之一圆组成，进一步求解即可． 【详解】依题意，分析可得：第个装饰物由个半圆和 2 个四分之一圆组成，即合起来是个半圆组成，可得半径为， 所以，装饰物的面积为：（为正整数）， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·西藏拉萨·期中）如图，搭 1 个正方形需要 4 根小棒，搭 2 个正方形需要 7 根小棒，搭 3 个正方形需要 10 根小棒． （1）搭 n 个正方形需要多少根小棒？ （2）搭 2021 个正方形需要多少根小棒？ 【答案】（1）；（2）6064 【分析】本题考查图形类规律探究，列代数式，代数式求值，确定图形规律，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）根据已有图形，得到后一个图形比前一个图形多3根小棒，列出代数式即可； （2）将代入（1）中的代数式求值即可． 【详解】（1）解：由图可知：后一个图形比前一个图形多3根小棒， ∴搭个正方形（是正整数）需要小棒的根数是； （2）解：当时，（根）． ∴搭2021个正方形需要6064根小棒． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，用形状和大小一样的四边形图案摆出下列一组图形：    (1)摆出第1个图形要用4个四边形图案，摆出第2个图形要用______个四边形图案，摆出第3个图形要用________个四边形图案． (2)按照这种方式摆下去，第n个图形要用_____________（用含n的代数式表示）个四边形图案组成． (3)摆出第2024个图形要用多少个四边形图案？ 【答案】(1)7；10 (2) (3)6073 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律． （1）观察图形，进而求解即可． （2）观察图形，找到前三个图形的规律，即可写出代数式，表示第n个图形中心形的个数． （3）将代入（2）的代数式求值即可. 【详解】（1）解：根据图形可得：第1个图形要用个四边形图案， 第2个图形要用个四边形图案， 第3个图形要用个四边形图案； （2）解：第1个图形：， 第2个图形：， 第3个图形：， 第4个图形：， ； 第n个图形：； （3）解：第2024个图形中，即：时， 四边形图案的个数为（个）， 则第2024个图形要用6073个四边形图案. 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数，多项式的项以及定义，根据单项式的系数与次数，多项式的项以及定义依次逐项判断即可． 【详解】解：A．的系数是，此选项错误，不符合题意； B．的次数是4次，此选项错误，不符合题意； C．是多项式，此选项正确，符合题意；     D．的常数项是，此选项正确，符合题意；     故选：C． 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下图是一个计算机的运算程序，若开始输入的x为，则y为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，不符合题意， ∴时， ∴，也不符合题意； ∴时， ∴，也不符合题意； ∴时， ∴，符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）观察这列关于的单项式：，，，，，，，按照这种规律，第个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的有关概念和规律型探求，解决本题的关键是分别找出单项式的系数和次数的变化规律．当一列有规律的单项式的符号是正、负交替出现时，一般用解决． 【详解】解：，，，，，， 根据规律可知第个多项式为． 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，分解析图中五种情况，分别列式求出L的面积即可得到答案． 【详解】解：①如图， 的面积左边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故错误； 如图， 的面积上边竖着的长方形的面积下面横着的长方形的面积，故正确； 如图， 的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确； 如图， 的面积竖着的长方形的面积横着的长方形的面积重叠部分的正方形的面积，故错误； 如图， 的面积长方形的面积由辅助线构成的小长方形的面积，故正确， 综上可得：正确， 故选：B． 5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（   ） A． B． C．9 D．256 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得每个三角形各顶点上数字之和相等，则，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2025·吉林白山·模拟预测）单项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数的定义：所有字母的指数和，即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数为：， 故答案为：5． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）若，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了求代数式的值，利用整体代入法求值是解题的关键．由题意得，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：2025． 8．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）买一副羽毛球拍需要元，买一副乒乓球拍需要元.买3副羽毛球拍和5副乒乓球拍一共需要 元. 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，根据总价乒乓球拍的单价乒乓球拍的数量羽毛球拍的单价羽毛球拍的数量进行求解即可． 【详解】解：根据题意，买3副羽毛球拍和5副乒乓球拍一共需要：元； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式的规律探究，从符号规律可得以，循环，可以用表示，系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示，的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示，从而可得答案． 【详解】解：∵一组单项式：，，，，… ∴从符号规律可得以，循环，可以用表示， ∴系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示， ∴的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示， ∴得出第n个单项式是； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·黑龙江大·阶段练习）由图可以看出，摆一个三角形要3根小棒，每多摆一个三角形就要增加2根小棒，摆个三角形要( )根小棒． 【答案】 【分析】此题考查了找规律，根据图形找到规律即可得到答案． 【详解】解：看图可知，摆1个三角形需要3根小棒，； 摆2个三角形需要5根小棒，； 摆3个三角形需要7根小棒，， 即每多摆一个三角形就要增加2根小棒，小棒根数＝摆几个三角形就用几， 据此可得，根 即摆个三角形要（）根小棒． 故答案为： 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？与单项式有什么联系？ 【答案】每个式子都是多项式，都是几个单项式的和组成的 【分析】本题考查了单项式与多项式的定义，根据单项式与多项式的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察式子可以发现，每个式子都是多项式，都是几个单项式的和组成的， 故它们的共同点为：每个式子都是多项式； 与单项式的联系为：都是几个单项式的和组成的． 12．（24-25七年级上·海南·期中）求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题考查了求代数式的值． （1）将各字母的值代入即可求出答案． （2）将各字母的值代入即可求出答案． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当， ． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）△、□、〇、☆、◎各代表一个数． (1)已知，．求△和□的值． (2)已知，．〇是否等于◎？ 【答案】(1)△是18；□是6 (2)等于 【分析】本题考查了运用等量替换的方法解答问题，解答本题的关键是要先把不同的量转化成相同的量，进而求出这个相同量的大小，然后再进行解答． （1）根据，，可知，即，根据“因数积另一个因数”据此求出□表示的数，再把□表示的数代入中，求出△表示的数． （2）已知，，根据“加数和另一个加数”得出，，据此得出〇是否等于◎． 【详解】（1）解：由，，可得：； ， ， 答：△的值是18，□的值是6． （2）解：由可得：； 由可得：； 所以． 答：〇等于◎． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）甲乙两车相距s千米，两车同时出发相向而行，甲每小时行a千米，乙车每小时行b千米． (1)行驶2小时，两车共行多少千米？（用含有a、b的式子表示） (2)行驶3小时，如果两车还没相遇，两车相距多少千米？（用含有s、a、b的式子表示） (3)行驶4时，两车正好相遇，请写出s、a、b三者的数量关系式． 【答案】(1)千米 (2)千米 (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1 ）根据“路程速度时间”，用两车的速度和乘两车共同行驶的时间即可； （2 ）用S千米减去两车3小时行驶的路程，即可求出两车相距的路程； （3 ）S千米等于两车的速度和乘两车共同行驶的时间，据此解答． 【详解】（1）解：千米， 答：行驶2小时，两车共行千米； （2）解：（千米） 答：两车相距千米； （3）解：由题意得． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 代数式（6大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 列代数式 典型例题二 代数式书写方法 典型例题三 单项式的系数、次数 典型例题四 多项式的项、项数或次数 典型例题五 整式的判断 典型例题六 程序流程图与代数式求值 典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值 典型例题八 已知式子的值，求代数式的值 典型例题九 多项式系数、指数中字母求值 典型例题十 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 典型例题十一 单项式规律问题 典型例题十二 用代数式表示数、图形的规律 知识点01 用字母表示数 定义： 认识到字母可以代表一个具体的、但暂时未知的数，或者代表一个可以变化的数（变量）。这是从具体算术思维迈向抽象代数思维的关键一步。 概括数量关系： 用简洁的式子表达普遍规律或公式。 例如： 路程 = 速度 × 时间 → s = v * t 长方形面积 = 长 × 宽 → S = a * b 单价 × 数量 = 总价 → c = p * n 表示运算律： 加法交换律：a + b = b + a 乘法分配律：(a + b) * c = a*c + b*c 表示数学结论/公式： 圆的周长：C = 2πr (其中 π 是常数) 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 【即时训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式中，和成反比例关系的是   A． B． C． 【即时训练】 2．（2024七年级上·吉林·专题练习）学校组织运动会，小明参加百米赛跑，他跑步的时间和速度成 比例关系．（填“正”或“反”） 知识点02 代数式 代数式的概念：像a-1、a+6、40-m+n、0.015m(n-20)、和2a2这样的式子都是代数式。 注意：1、代数式不能有等号和不等号，有就不是代数式，而是等式或者不等式。 2、单独一个数字或者字母也是代数式。 3、代数式可以包含绝对值。 4、注意π并不是字母，而是一个数字。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子：0，，a，其中代数式有 个． 知识点03 代数式的值 定义： 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做这个代数式的值。 求代数式值的步骤： 写： 写出代数式。 代： 用具体的数值代替代数式里的字母。 注意： 如果字母取值是负数或分数，代入时必须加上括号。 如果字母取值是多个数，要一一对应代入。 算： 按照代数式指明的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内），计算出结果。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知，则代数式的值为（   ） A． B．7 C． D．10 【即时训练】 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 ． 知识点04 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式。 要点诠释： （1） 单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示。 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立。 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列代数式中，整式共有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即时训练】 2．（24-25七年级上·陕西汉中·期中）在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中，是整式的有 ．（填序号） 知识点05 单项式 1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 要点诠释： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母。 （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成。 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东韶关·期中）在代数式，，，中，不是单项式的是（  ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有 个． 知识点06 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号。 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式。 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 要点诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数。 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）在下列代数式，，，，中，多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即时训练】 2．（24-25七年级上·四川德阳·期中）下列整式：①；②；③；④0；⑤；⑥，其中单项式是 ，多项式是 （填序号）． 【典型例题一 列代数式】 【例1】（24-25七年级上·山东济南·期末）某商品每件以盈利率出售，后产品滞销又在实际售价的基础上降价，则现在每卖出一件该商品（    ） A．赚钱 B．亏钱 C．不赚不亏 D．缺少条件无法计算 【例2】（24-25七年级下·全国·假期作业）一个长方形的宽是厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长是 厘米，周长是 厘米，面积是 平方厘米． 【例3】（2025·辽宁大连·模拟预测）一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，则这所住宅的建筑面积为 （用含x的代数式表示）． 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）下面各项中，可以用表示的是（　　） A．线段的总长度： B．线段的总长度： C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积： 2．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）某一齿轮组合需要由齿轮齿数；齿轮齿数，拟定齿轮与齿轮的转速比要达到，先需要增加两个齿轮（如图所示），若设齿轮齿数；齿轮齿数，则与的比值为 ． ‌ 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）口算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4．（2025七年级上·辽宁沈阳·专题练习）如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？ 【典型例题二 代数式书写方法】 【例1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）下列写法正确的是（   ） A． B． C．m D．元 【例2】（2024七年级上·浙江·专题练习）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； （1）； （2）； （3）； （4）； 【例3】（24-25七年级上·重庆渝北·期中）下列说法：①a是代数式，1不是代数式；②表示数a，b，的积的代数式是；③代数式的含义是a与4的差除以b的商；④a，b两数的平方差与两数的积的4倍的和表示为．其中正确的有 ．（填序号） 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 3．（24-25七年级上·江西萍乡·期中）下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 4．（2024七年级上·全国·专题练习）用代数式表示： (1)的平方与的倍的差； (2)的倍的三分之一与的一半的差； (3)比除以的商的倍小的数． 【典型例题三 单项式的系数、次数】 【例1】（2025·贵州毕节·模拟预测）单项式的系数和次数分别为（   ） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）单项式的次数是 ． 【例3】（24-25七年级上·河南新乡·期中）请你写出一个含有字母且系数为，次数为的单项式 ． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）单项式的次数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 3．（24-25七年级上·广西·单元测试）若是含有字母x和y的五次单项式，求的最大值． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【典型例题四 多项式的项、项数或次数】 【例1】（2025·云南玉溪·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·青海西宁·期中）多项式的常数项是 ，次数是 ． 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）是 次 项式． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．常数项是4 C．次数是3 D．项数是2 2．（2024七年级上·云南·专题练习）已知是关于的二次多项式，且实数，，满足，则 ． 3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 4．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值． (2)求该多项式的各项的系数之和． 【典型例题五 整式的判断】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）代数式，，，，，，中，整式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】 （24-25七年级上·四川德阳·期中）下列式子：，，，，，整式的个数是 个． 【例3】（24-25七年级·江苏·假期作业）把下列代数式的序号填入相应的横线上 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ (1)单项式 ；(2)多项式 ；(3)整式 ． 1．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期中）在代数式：，，，，，中，整式有 个． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）观察下列各式：，，，，．回答下列问题： (1)单项式分别为：______________________________； (2)多项式分别为：_________________________________； (3)整式有___________个； (4)的系数为__________； (5)次数最高的多项式为__________________． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）根据题意列出代数式，并指出是不是整式，如果是整式，指明是多项式还是单项式． (1)已知正方形的边长为，若边长增加，则面积增加多少？ (2)七年级（2）班有x名女生，男生比女生多5名，则全班共有多少名学生？ (3)钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，小明买了三支钢笔和一支圆珠笔，共花多少钱？如果他拿一张100元面值的人民币购买，售货员应找回多少元？ 【典型例题六 程序流程图与代数式求值】 【例1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为14，则第一次物出的结果为7，第2次输出的结果为10，…，则第2025次输出的结果为（   ） A．4 B．8 C．2 D．5 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）按下面的程序计算，若开始输入m值为2，则输出的n的值为 ． 【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期中）小亮按如图所示的程序输入一个数等于8，最后输出的结果为 ． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图是小宇用计算机设计的一个有理数运算的程序框图．若输入的数为1，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是一个计算程序，当输出值时，则输入值 ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 【典型例题七 已知字母的值 ，求代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·云南曲靖·期末）一个正方体的平面展开图如图，已知正方体相对两个面上的数互为相反数，则（    ） A．5 B． C．0 D．12 【例2】（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则 ． 【例3】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，把三个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则，当时，U的值为 ． 1．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）某窗户的形状如图所示，其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和（取）．则该窗户的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则 ． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，求的值． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，已知长方形的宽，两个空白处圆的半径分别为、． (1)用含字母的式子表示阴影部分的面积；（用含有，，的式子表示） (2)当，时，阴影部分的面积是多少？（结果保留） 【典型例题八 已知式子的值，求代数式的值】 【例1】（24-25七年级上·四川广安·期末）若，则整式的值是（    ） A．9 B． C．12 D． 【例2】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若，则 ． 【例3】（24-25七年级上·辽宁本溪·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，，则的值为 ． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知是2025个由1和组成的数，且满足，则的值为（　　） A．2025 B．4000 C．4025 D．4050 2．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 4．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的代数式用记号的形式来表示，把等于某数时的代数式的值用来表示．例如时，代数式的值记为，则．根据上述材料，解答下面问题： 已知，且． (1)_____； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【典型例题九 多项式系数、指数中字母求值】 【例1】（24-25七年级上·河南许昌·期中）如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【例2】（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于x的五次二项式，则 ． 【例3】（2025·江西抚州·模拟预测）若关于的多项式的各项系数之和是1，则“●”代表的数是 ． 1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 3．（24-25七年级上·甘肃嘉峪关·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求、的值 (2)求的值． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）已知关于的多项式，． (1)若整式不含项和不含项，求、的值； (2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件． 【典型例题十 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例1】（24-25七年级上·山西长治·期末）多项式按字母的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·重庆·期末）把多项式按的降幂排列可写成 ． 【例3】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）多项式a3b - a2+3ab2－4a5+3是 次 项式，按a的降幂排列的结果 ． 1．（24-25七年级上·湖南郴州·阶段练习）下列说法①与的值相等，②多项式按升幂排列为：，③一定是负数，④单项式的次数是5，⑤已知，且，，则数，在数轴上距离原点较近的是．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）把多项式5a2－3ab+2b2－5a3－2按a的降幂排列为 ，按b的降幂排列为 ． 3．（24-25七年级上·吉林通化·期中）已知多项式是关于x、y的八次四项式， (1)求该多项式的四次项； (2)将该多项式按y的降幂重新排列． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【典型例题十一 单项式规律问题】 【例1】（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）按照一定规律排列的式子：，，，，第n个式子是 【例3】（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，则这列单项式中的第个为 ． 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (1)、、、，______； (2)试写出第2024个单项式； (3)试写出第个单项式． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 4．（24-25七年级上·山西·期中）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 【典型例题十二 用代数式表示数、图形的规律】 【例1】（24-25七年级上·重庆南川·期末）如图所示，第1个图中有3个圆圈，第2个图中有5个圆圈，第3个图中有7个圆圈，…按照这种规律，则第7个图中圆圈的个数是（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 【例2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图是按规律排列的一组图形的前三个，观察图形解答下列问题： 则第个图形中点的数量为 个；第个图形中点的数量为 （用含的代数式表示）；第个图形中点的数量为 个． 【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有些数学问题从正面入手求解比较繁琐，但如果从问题的反面思考，往往能开拓解题思路、简化运算过程．下图是一张方格纸的左上角的部分，用图中的方式从左上角的格子开始涂色，直到不能涂色为止，则在原方格纸上有 个格子被涂色． 1．（24-25七年级上·广东东莞·期末）观察如图所示的四个点阵，s表示每个点阵中点的个数，按照图形中点的个数变化规律，猜想第6个点阵中点的个数s为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）小红房间窗户的装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的（如图1所示），小兰房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的（如图2所示），小明房间窗户的装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的（如图3所示）．请代数式表示出第n个装饰物的面积为 ． 3．（24-25七年级上·西藏拉萨·期中）如图，搭 1 个正方形需要 4 根小棒，搭 2 个正方形需要 7 根小棒，搭 3 个正方形需要 10 根小棒． （1）搭 n 个正方形需要多少根小棒？ （2）搭 2021 个正方形需要多少根小棒？ 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，用形状和大小一样的四边形图案摆出下列一组图形：    (1)摆出第1个图形要用4个四边形图案，摆出第2个图形要用______个四边形图案，摆出第3个图形要用________个四边形图案． (2)按照这种方式摆下去，第n个图形要用_____________（用含n的代数式表示）个四边形图案组成． (3)摆出第2024个图形要用多少个四边形图案？ 1．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 2．（24-25七年级上·四川南充·期中）下图是一个计算机的运算程序，若开始输入的x为，则y为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期中）观察这列关于的单项式：，，，，，，，按照这种规律，第个多项式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图是L形钢材的截面，5个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（   ） A． B． C．9 D．256 6．（2025·吉林白山·模拟预测）单项式的次数是 ． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）若，则的值是 ． 8．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）买一副羽毛球拍需要元，买一副乒乓球拍需要元.买3副羽毛球拍和5副乒乓球拍一共需要 元. 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 10．（24-25七年级上·黑龙江大·阶段练习）由图可以看出，摆一个三角形要3根小棒，每多摆一个三角形就要增加2根小棒，摆个三角形要( )根小棒． 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子，它们都有哪些共同点？与单项式有什么联系？ 12．（24-25七年级上·海南·期中）求下列代数式的值： (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）△、□、〇、☆、◎各代表一个数． (1)已知，．求△和□的值． (2)已知，．〇是否等于◎？ 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）甲乙两车相距s千米，两车同时出发相向而行，甲每小时行a千米，乙车每小时行b千米． (1)行驶2小时，两车共行多少千米？（用含有a、b的式子表示） (2)行驶3小时，如果两车还没相遇，两车相距多少千米？（用含有s、a、b的式子表示） (3)行驶4时，两车正好相遇，请写出s、a、b三者的数量关系式． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 学科网（北京）股份有限公司 $$