第02讲 角与角的计算（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第02讲 角与角的计算（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 角的概念理解 典型例题二 方向角的表示 典型例题三 角度的四则运算 典型例题四 与方向角有关的计算题 典型例题五 角的单位与角度制 典型例题六 角的度数大小比较 典型例题七 三角板中角度计算问题 典型例题八 几何图形中角度计算问题 典型例题九 角平分线的有关计算 典型例题十 角n等分线的有关计算 典型例题十一 尺规作一个角等于已知角 典型例题十二 实际问题中角度计算问题 知识点01 角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 【即时训练】 1．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·北京海淀·阶段练习）如图所示，能用一个字母表示的角有 个，图中所有小于平角的角有 个． 【答案】 2 7 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【详解】能用一个字母表示的角有个：，； 小于平角的角有个：，，，，，，． 故答案为：； 【点睛】本题考查了角的概念：从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1．角个大写英文字母；2．角个大写英文字母；3．角小写希腊字母；4．角阿拉伯数字． 知识点02 角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了角度间的换算，根据角度间的换算即可，解题的关键熟练掌握度、分、秒之间是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．把化为用度表示的角度即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）度分秒换算： ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握是解题的关键，据此进行计算即可得到答案． 【详解】， ， 故答案为：． 知识点03角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【即时训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，大于的角有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较；观察图形，首先找出以为边的比大的角，再找出以为边的比大的角；最后找出最大的角是否比大，即可求解． 【详解】解：图中大于的角有，，，共个； 故选：D． 【即时训练】 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的大小比较，取点E，连接，由网格可知，根据可得． 【详解】解：如图，取点E，连接， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 【典型例题一 角的概念理解】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．周角就是一条直线 B．一条直线便是一个平角 C．由两条射线组成的图形叫作角 D．由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角 【答案】D 【分析】本题考查了角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、周角的两边重合成一条射线，而不能说周角就是一条直线，所以A选项错误； B、角有顶点，则一条直线不能说是一个平角，所以B选项错误； C、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，所以C选项错误； D、由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角，所以D选项正确． 故选：D． 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）将量角器按图方式放置，其中角度为的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键． 根据量角器分别得出每个角的度数即可． 【详解】解：由量角器可知，，，，． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了锐角的定义，锐角是指大于0度小于90度的角． 【详解】题图中的锐角有，共5个锐角 故答案为：5． 1．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题：    (1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角； (2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角； (3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角． 【答案】(1)3 (2)6 (3)66 【分析】（1）根据图①直接数出即可； （2）根据图②直接数出即可； （3）在图②的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数． 【详解】（1）解：图①中有，，共3个， 故答案为：3． （2）解：在内部画2条射线，，则图中有、、、、、， 共个不同的角； 故答案为：6． （3）解：按逆时针方向，以射线为角的始边，则题图①中分别以射线为角的终边共有两个角：，；以射线为始边，射线为终边有一个角：，所以题图①中角的个数是； 同理，题图②中角的个数是； 经过观察，可以发现角内部射线的条数总比第一个加数小1， ∴当内部有10条射线时，角的个数是：． 【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． 4．（2025七年级上·浙江·专题练习）完成以下各题． (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点的角； (3)图中共有几个角？ 【答案】(1)能用一个字母表示的角有2个：， (2)以为顶点的角有6个：，，，，， (3)图中所有的角有11个：，，，，，，，，，， 【分析】（1）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （2）根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案； （3）根据角的概念即可得到答案． 【详解】（1）能用一个字母表示的角有2个：，； （2）以为顶点的角有6个：，，，，，； （3）图中所有的角有11个：，，，，，，，，，，． 【点睛】本题主要考查了角的概念．从一点引出两条射线组成的图形就叫做角． 【典型例题二 方向角的表示】 【例1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的（   ）处 A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键． 直接利用方向角的定义得出结论． 【详解】解：若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的北偏东处， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东．甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通．从乙地测，所修公路的走向是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据方向角的表示方法以及甲乙之间是一条直线，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：从乙地测，所修公路的走向是南偏西； 故选B． 【例3】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提升机场运行能力，跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如下图，侧向跑道在点O的南偏东的方向上，则点在点的 方向上． 【答案】北偏西 【分析】本题考查方位角的定义，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．根据方位角的定义解答即可． 【详解】解：在点O的南偏东的方向上， 点A在点B的北偏西的方向上， 故答案为：北偏西． 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，下列说法中正确的是（　） A．方向是北偏东 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是东南方向 【答案】D 【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义． 根据方位角的定义即可求解； 【详解】A、方向是北偏东，该选项错误； B、方向是北偏西，该选项错误； C、方向是南偏西，该选项错误； D、方向是东南方向，该选项正确； 故选：D 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，射线OA所表示的方向是 ． 【答案】北偏东54° 【分析】根据互余先计算出OA与北方向线的夹角，后描述方位即可 【详解】∵OA与北方向线的夹角为90°-36°=54°， ∴射线OA所表示的方向是北偏东54°， 故答案为：北偏东54°． 【点睛】本题考查了方位角，正确理解方位角的意义是解题的关键． 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）请根据下面的描述，在平面图上标出各个建筑物的位置． (1)邮局在军校广场的西偏北方向320米处； (2)学校在军校广场的南偏东方向240米处． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键． （1）根据方向角的定义进行解答即可； （2）根据方向角的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：邮局在军校广场的西偏北方向320米处如图所示； （2）解：学校在军校广场的南偏东方向240米处如图所示． 【点睛】请根据下面的描述，在平面图上标出各个建筑物的位置． 邮局在军校广场的西偏北45°方向320米处； 学校在军校广场的南偏东30°方向240米处． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，公主楼位于正阳关路与宁武关路交汇点处的南偏西，且到点的距离为．图中，线段的长度表示．请你在图中作出点的位置． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了方向角，画线段等于已知线段，先用量角器画角，再在射线上截取，则点即为所求，掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【典型例题三 角度的四则运算】 【例1】（24-25七年级上·山西运城·期末）已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和与差、角度的计算．根据、、，可得：． 【详解】解：如下图所示，， ， ， ， ． 故选：D ． 【例3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）计算： ° ′ ″． 【答案】 19 8 12 【分析】本题主要考查了角的四则运算，根据度分秒的关系，结合有理数除法运算法则进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：19；8；12． 1．（24-25七年级上·吉林松原·期末）如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和度分秒的换算，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三等分线的定义可得，进而求得的度数，再根据即可求解． 【详解】 、是的三等分线， ， ， ， ； 故答案为：D 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）计算 ， ， ， ． 【答案】 /0.2 4 / 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数除法运算、合并同类项、角的运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 分别根据有理数的加减运算、有理数除法运算、合并同类项、角的运算逐个计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：，，，． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算：， 【答案】 【分析】此题考查的是度、分、秒的加减法计算．根据两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若满60，则转化为度，注意以60为进制即可得出结果． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，． (1)若平分，求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是角的和差关系以及角平分线的性质，熟练掌握角的和差运算以及角平分线的性质是解答本题的关键； （1）根据角平分线的性质求出，然后即可求解； （2）本题根据，即可求解 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴ 【典型例题四 与方向角有关的计算题】 【例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）国庆期间，依依一家去湄洲岛游玩．在游玩过程中，爸爸去超市买水，让依依和妈妈在原地等候．已知爸爸向东偏南方向走了到达超市，爸爸若按原路返回，应该向（   ）方向走． A．东偏南 B．西偏北 C．北偏东 D．东偏南 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的计算以及表示，东偏南对西偏北，角度不变，若爸爸若按原路返回，应该向西偏北方向走或北偏西方向走．据此选择即可． 【详解】解：， 已知爸爸向东偏南方向走了到达超市，爸爸若按原路返回，应该向西偏北方向走或北偏西方向走． 故选：B 【例2】（24-25六年级下·山东泰安·期中）一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，涉及方位角的概念，根据题意，准确由方位角得到图中各个角度求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， ∴， 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码0245来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ． 【答案】0766 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解代码的各位数字的实际意义是解题的关键．根据代码编写要求，第1、2位数字表示时间，第3、4位数字表示距离，再根据南偏西方向方向与对应，然后写出即可． 【详解】解：南偏西方向的时刻是， 南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为0766． 故答案为：0766． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（   ）    A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 根据题意求得的度数，根据角的和差以及，可得的度数，即可得出结论． 【详解】解：是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，   ， ， ， ， 表示的方向是：北偏东， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，某市有三所中学A，B，O，中学A在中学O的北偏东的方向上，中学B在中学O的南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】/79度 【分析】本题考查方位角、度分秒的换算，结合已知条件列出正确算式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 【答案】此时灯塔在处的北偏西方向上． 【分析】本题考查方向角的计算，掌握方向角的相关知识是解题的关键．先求出的度数，再求解即可得到答案. 【详解】解：根据题意，得 ， ， 此时灯塔在处的北偏西方向上． 4．（24-25七年级上·广东中山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．    (1)求射线的方向； (2)射线是射线的反向延长线．若，射线是的平分线吗？若是，请说明理由． 【答案】(1)射线的方向为北偏东； (2)射线是的平分线．理由见解析 【分析】此题主要考查了方向角，角的和差计算． （1）先求得，再求得，，据此求解即可； （2）先求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴，， ∴射线的方向为北偏东； （2）解：射线是的平分线．理由如下， ∵，， ∴， ∵射线是射线的反向延长线， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． 【典型例题五 角的单位与角度制】 【例1】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键，根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）用度、分、秒表示为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，度化成分乘以60，分化成秒乘以60．根据度分秒的进率，可得答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）把化成用度表示的角，应该是 ：把化成用度、分、秒表示的角，应该是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的转化，熟练掌握角度间变换的进率是解题的关键．根据，直接根据角度的转化计算即可． 【详解】解： ∴， 故答案为：；． 1．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角．用乘以两针相距的份数的占比是解题关键． 根据钟面的特点，钟面平均分成12份，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：． 故选：A． 2．（2024七年级上·河南·专题练习）如图，已知，则 °．    【答案】 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，正确理解图形中各角度的关系及角的运算法则是解题的关键． 根据，计算即可求出答案． 【详解】解：由图可知：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （）根据度分秒的加法法则计算即可求解； （）先算乘法，再算加法； （）先算乘除法，再算加法； 本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如图，点在的边上，是内部的一条射线． (1)在射线上取一点，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据：_____； (4)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间，线段最短 (4) 【分析】此题考查了作线段，两点之间，线段最短，度分秒的转化，解题的关键是掌握以上知识点． （1）用圆规在射线截取与射线的交点即为点D； （2）连接与的交点即为点P； （3）根据两点之间，线段最短求解即可； （4）根据度分秒的转化求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； ； （3）解：∵ ∴当点C，P，D三点共线时，最小， ∴依据是两点之间，线段最短； （4）解：∵， ∴，， ∴． 【典型例题六 角的度数大小比较】 【例1】（24-25七年级上·湖南永州·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，需要熟练掌握度数与度分秒形式之间的转化．将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中三角尺为等腰直角三角形， ，． ． 故选：D． 【例3】（23-24七年级下·山东淄博·期末）比较大小： （填“>”或“<”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的大小比较； 根据角度的换算求出，然后再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 2．（24-25七年级上·天津·期末）比较大小： ；若，， 则 ；若 ，，则 （填“”、“”或“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，角的度数大小比较，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据“两个负数，绝对值大的反而小”可比较与的大小；统一单位后可比较与的大小；利用作差法可比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：，，． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是，我应该和一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】，见解析． 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解决本题的关键是先统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算、，将、、的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：， 又，， ， 最大． 4．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，点O是圆心，A，B，C是圆上三点，我们称为圆心角，为圆周角． (1)请在圆上（直线的上部）任意取两点，，画出，，测量，，的度数，你能发现什么规律？ (2)请测量的度数，与（1）中的角度相比较你有什么发现？ 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】本题考查了角度的测量； （1）根据题意画出，，并测量，即可求解； （2）测量的度数，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 发现 （2）解：测量的度数为， 发现 【典型例题七 三角板中角度计算问题】 【例1】（24-25六年级下·山东青岛·期中）用一副三角板可以画出的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了三角板的特征，根据三角板原有的30度、45度、60度、90度四种角，分别加减计算即可． 【详解】解：三角板中有30度、45度、60度、90度四种角，而， 所以C是可以用三角板画出的角． 故选：C． 【例2】（2025·四川南充·模拟预测）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 【例3】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将一副三角板重叠放在一起，，，与的顶点重合于点．若，则的度数为 °． 【答案】132 【分析】本题考查了角的和差运算，由，得出，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       【答案】C 【分析】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，根据题意，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴； ∵， ∴， ②当在上方时， ∵，，， ∴； （2）当与边的夹角为时， ①当在下方时， ∵，， ∴， ∴， ②当在上方时， ∵，， ∴， 综上：另一条直角边与边的夹角可能是，，，， 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角，角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，利用正方形的角都是直角，即可求得和的度数从而求解． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若，求 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算问题．根据三角板含有的特殊角，由角的和差即可解得，继而可解得的度数． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)，过程见解析 (2)①甲，乙；②丙同学的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握三角板的相关度数是解题的关键． （1）先根据求得，然后根据求得； （2）①由（1）可知，甲，乙错误；②先求得，再利用得到，从而知道，从而得证． 【详解】（1）解：，              （2）解：①甲，乙，理由如下 由（1）可知， ， 故甲，乙的猜想错误； ②正确，理由如下： ∴丙同学的猜想正确． 【典型例题八 几何图形中角度计算问题】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，过点作射线，使，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据题意，分在上方和在下方，两种情况，画出图形进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ①当在下方时，如图： 则：； ②当在上方时，如图： 则：； 故答案为：或． 【例3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 【答案】/52度 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴； 故答案为． 1．（2025·北京·模拟预测）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 ； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是，则这两个角的平分线的夹角度数为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了新定义，以及角平分线的有关计算，画出图形，分类讨论是解答本题的关键． （1）分的角在的内部和外部两种情况求解即可； （2）分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）如图1， ， 则； 如图2， ， 则； 故答案为：或； （2），分别是，的平分线，， 如图3， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图4， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图5， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，已知，画射线，试求． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，垂线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先进行分类讨论以及作图，根据垂线的定义，得出，再运用数形结合思想以及角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：当在的上方时， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； 当在的下方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 综上：的度数为或． 4．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)在图1中，若，求的度数； (2)通过问题1的解答，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变其中一个三角板的位置，如图2，则第（2）小题的结论还成立吗？若仍成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由计算即可得解； （2）根据图形计算即可得解； （3）根据周角等于计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴； （3）额：成立，理由如下： ． 【典型例题九 角平分线的有关计算】 【例1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直接根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，恰好平分， ∴， 故选：B． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上一点，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，先根据补角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数，即可求解；能熟练利用角平分线进行有关角度计算是解题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 1．（23-24七年级上·山西大同·期末）如图，射线的方向为南偏东，且平分，则射线的方向为（    ） A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．南偏西 【答案】D 【分析】本题考查了方向角的定义，角平分线的定义．解决本题的关键是计算出的度数．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 根据方向角的定义和角平分线的定义，得到的度数，即可解答． 【详解】解：如图， ∵射线的方向为南偏东，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为南偏西． 故选：D． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查角平分线的定义、方向角的表示方法、角的运算，记正北方为，根据题意算出，利用角平分线性质得到，进而计算出，即可解题． 【详解】解：由题知，， 因为平分， 所以， 记正北方为， 因为， 所以的方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）先根据角平分线定义得到，，再求出； （2）先根据角平分线定义得到，再求出，然后根据角平分线定义得出． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)①，理由见详解 ② 【分析】本题考查了动角问题，角平分线的有关计算，角的和差； （1）由角的和差得，即可求解； （2）由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； （3）①由角的和差得，，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； ②由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解． 能熟练利用角平分线及角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； （3）解：①， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； ②如图， ， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ． 【典型例题十 角n等分线的有关计算】 【例1】（24-25七年级上·广西防城港·期末）如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【答案】D 【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角的倍分关系，正确得到∠AOC与∠AOB 的关系是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·北京昌平·阶段练习）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义和三等分线分析求解即可. 【详解】解：∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB， ∴ 又∵射线OD，OE三等分∠AOB， ∴ ∴,共3个 故选C. 【点睛】利用角平分线和角的三等分点证明角的等量关系是本题的解题关键. 【例3】（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，，，，则的度数为 ° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 【详解】解∶∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法： ①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若，则n的倒数是，其中正确的有（      ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据方位角的定义，以及角平分线的定义，分别求出所需角的度数，然后分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵∠AOE＝m°， ∴∠EOD=90°m°， ∴点E位于点O的北偏西90°m°；故①错误； ∵∠EOF＝90°， ∴∠EOD+∠DOF＝90°，∠AOE+∠BOF=90°， ∵∠AOD=∠BOD=90°， ∴∠AOE+∠EOD=90°，∠DOF+∠FOB=90°， ∠AOM+∠MOD=90°，∠BON+∠DON=90°， ∵OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF， ∴∠AOM=∠EOM，∠BON=∠FON， ∴∠EOM+∠MOD=90°，∠FON+∠DON=90°， ∴图中互余的角共有8对，故②错误； ∵∠BOF＝4∠AOE，∠AOE+∠BOF=90°， ∴∠BOF=72°， ∴∠BON=36°， ∴∠DON=90°36°=54°；故③正确； ∵∠AOE+∠BOF=90°， ∴∠MOE+∠NOF=， ∴， ∴， ∴n的倒数是，故④正确； ∴正确的选项有③④，共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，方位角的表示，以及角度的和差关系，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出图中角的关系进行判断． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，若OC、OD三等分，则 ， ， ． 【答案】 3 AOD 【分析】根据OC、OD三等分可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵OC、OD三等分， ∴， ∴3，， ∴， ∴， 故答案为：3；；；AOD． 【点睛】本题考查了角的三等分线及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． 3．（24-25七年级下·山东青岛·单元测试）如图，射线和把平角三等分，平分，平分．    (1)求的度数； (2)写出图中所有的直角； (3)写出的所有余角． 【答案】(1) (2)、 (3)、、、 【分析】（1）由已知得出即可； （2）求出即可； （3）由余角的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：射线和把平角三等分， ； 即； （2）图中所有的直角为、；理由如下： ，平分，平分， ，， ； （3），，，， 的所有余角为、、、． 【点睛】本题考查了余角和补角、角平分线定义等知识；熟练掌握余角的定义和角平分线定义是解题的关键． 4．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）；（3）小明的说法正确，见解析 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个即可）； （2）解：， ， ， ∵， ， ， 故答案为：； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 【典型例题十一 尺规作一个角等于已知角】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（   ） A．以点B为圆心，长为半径作的弧 B．以点B为圆心，长为半径作的弧 C．以点E为圆心，长为半径作的弧 D．以点E为圆心，长为半径作的弧 【答案】D 【分析】根据作一个角等于已知角作图解答即可． 本题考查了基本作图，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得以点E为圆心，长为半径作的弧． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角等于已知角，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．根据尺规作图可知，然后确定的度数即可． 【详解】解：根据作图可知，， 所以． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）下列语句：①作；②以点O为圆心作弧；③以点A为圆心，线段a的长为半径作弧；④作，使．其中错误的为 ．（填序号即可） 【答案】② 【分析】利用作一个角等于已知角可对①④进行判断；利用作一条线段等于已知线段可对②③进行判断． 本题考查了尺规作图：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．也考查了基本作图． 【详解】解：作，所以①正确； 以点O为圆心，线段a的长为半径作弧，所以②错误； 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，所以③正确； 作，使，所以④正确． 故答案为：②． 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C正确； ∵， ∴，则选项D正确； ∵， ∴，则选项B正确； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A不正确； 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点E、点F、点G；画射线，反向延长至点H；画出的角平分线．则 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查作一个角等于已知角，角平分线的定义，先根据作图求出，即可求出邻补角的度数，然后根据角平分线的定义解题即可． 【详解】解：由作图可得， ∴， 又∵平分 ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，点B、E在直线上，是一条射线，请在上方作射线，使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角的补角相等、尺规作图—作一个角等于已知角，由于，，因此只需要作即可． 【详解】解：如图所示，射线即为所求．（作法不唯一）． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段a、b及，用直尺和圆规画图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画一条线段AC，使它等于； (2)求作：使 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，属于基础题，熟练掌握尺规作图的相关方法是解决本题的关键． （1）根据题意，作一条长射线，在射线上连续截取和即可； （2）根据作一个角等于已知角的知识进行尺规作图，进行作答，即可求解． 【详解】（1）解：作出线段， 先在纸上任取一直线，在其上截取线段，使和给定线段相等； 再以相同方法在上截取线段，使和给定线段相等； 则，如图： 故线段即为所求； （2）解：作得到 (使)， 用圆规以为圆心，截取同一半径分别与、相交于、， 在另一直线上取一点，以同样的半径在处作弧，与该直线相交于， 调整圆规使两脚分别跨在、间的弧长上，再以为一脚，在刚才的弧上截出， 连接与，得到的即与相等，如图： 故即为所求； 【典型例题十二 实际问题中角度计算问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南娄底·期中）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【答案】A 【分析】分别求出平面镜转动前后反射光线与入射光线的夹角，再对两者进行比较即可得到解答．　 【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是40°，所以入射角为90°−40°=50°． 根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°， 所以入射光线与反射光线的夹角是100° ． 入射角减小20°，变为50°−20°=30°，所以反射角也变为30°， 此时入射光线与反射光线的夹角为60°． 则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小40°． 故选：A． 【点睛】本题考查角度与光反射的综合应用，熟练掌握光的反射规律及角度的计算方法是解题关键． 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·山西朔州·期末）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键．利用360度除以平分的份数就是每份的圆心角度数． 【详解】解：每份的圆心角度数是， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】时针走一分钟是0.5°，分针走一分钟是6°，利用角度之间数量关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得 （6-0.5）×20°-90°=110°-90°=20°， 故选：A． 【点睛】本题考查钟面角问题，熟知时针和分针所走的度数，找出角度之间的关系是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？ 【答案】把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份． 【分析】利用360度除以平分的份数就是每份的度数，除以每份的度数就可以得到份数． 【详解】解：360°÷8=45°； 360°÷15°=24． 答：把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键． 4．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1中，_______，_______； （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，求的度数 （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 【答案】（1）120°，60°；（2）30°；（3）30°． 【分析】（1）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，可以求得∠AOC和∠BOC的度数； （2）根据∠AOC的度数和∠MON的度数可以得到∠CON的度数； （3）根据∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM，可以得到∠BON-∠COM的度数． 【详解】解：（1）∵点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠AOC=120°，∠BOC=60° 故答案为：120°，60°； （2）∵由（1）可知：∠AOC=120°，∠MON=90°，∠AOC=∠MON+∠CON， ∴∠CON=∠AOC-∠MON=120°-90°=30°， 故答案为：30°； （3）由图可知：∠BOC=60°，∠MON=90°，∠BON=∠MON-∠BOM，∠COM=∠BOC-∠BOM， 则，∠BON-∠COM=90°-∠BOM-（60°-∠BOM）=30°， 即∠BON-∠COM的度数是30°． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了钟面角，先求出分针转动的时间，再乘以分钟每分钟转动的角度即可得到答案． 【详解】解：， ∴从到，钟表的分针转动的角度是， 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【分析】本题考查了仰角与方向角；过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为北偏东方向上． 故意选：D． 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中的角度计算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，，再求出，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：①，②，③， 由②③得：， ∴④， 将④代入①得：， ∴， 故选：C． 4．（2025·广东江门·模拟预测）光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据周角的定义可求出的度数，再根据入射角等于反射角，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为， ∴， ∴， ∵入射角等于反射角， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在下午时整，时针和分针构成的角度是 度． 【答案】150 【分析】本题考查求钟面角，根据钟面上分为12格，每一格的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：下午时整，时针和分针构成的角度是； 故答案为：150． 7．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，图中角的顶点是 ，边是 ．用三种不同的表示方法表示这个角为 ． 【答案】 O点 和 ，， 【分析】根据角的概念，观察图形，顶点处只有一个角，故可用多种方法表示该角． 【详解】解：图中角的顶点是点，边是和．用三种不同的表示方法表示这个角为，，． 故答案为：点，和，，，． 【点睛】此题考查了角的表示方法，解题的关键是掌握一般有以下几种：①一个大写字母，②一个希腊字母，③一个阿拉伯数字，④三个大写字母．要注意，当顶点处有多个角时，不能用一个大写字母表示，以免混淆． 8．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么    【答案】> 【分析】本题主要考查了角的大小比较，关键是掌握叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．取格点E，作射线，则，依据叠合法即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则，    由图可得，， ∴， 故答案为：>． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 10．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知，，三点在同一直线上，且平分，平分，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，邻补角性质，掌握角的和差计算，角平分线定义，邻补角性质是解题的关键．由角平分线定义可得：，，即可得出，再根据邻补角性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·青海黄南·开学考试）任意作一个直角、一个大于的锐角和一个小于120的钝角． 【答案】图见解析 【分析】本题考查角的分类，根据题意，画出相应的角即可． 【详解】解：如图，是直角，是大于的锐角，一个小于的钝角． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25七年级上·广东江门·期末）将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放，图②是依据图①而作出的几何图形，试依据图②回答下列问题． (1)若，求度数； (2)设，试探究之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与三角板有关的计算： （1）根据，，可得到的度数； （2）根据同角的余角相等，得到． 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵，， ∴，， ∴． 14．（24-25七年级上·江西南昌·期末）一副三角板与中，，，，． (1)将这副三角板的点A与E重合，拼成如图1所示的图案，则______°；______°；______°； (2)将这副三角板的点C与点F重合，拼成如图2的图案，平分，平分，若，求的度数； 【答案】(1)135，60，105 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）根据直角三角板的角度特征可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解 【详解】（1）解：由题意得： 故答案为：135，60，105． （2）解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 角与角的计算（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 角的概念理解 典型例题二 方向角的表示 典型例题三 角度的四则运算 典型例题四 与方向角有关的计算题 典型例题五 角的单位与角度制 典型例题六 角的度数大小比较 典型例题七 三角板中角度计算问题 典型例题八 几何图形中角度计算问题 典型例题九 角平分线的有关计算 典型例题十 角n等分线的有关计算 典型例题十一 尺规作一个角等于已知角 典型例题十二 实际问题中角度计算问题 知识点01 角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 【即时训练】 1．（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·北京海淀·阶段练习）如图所示，能用一个字母表示的角有 个，图中所有小于平角的角有 个． 知识点02 角的度量 （1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. （3）角度制及角度的换算 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60. （4）角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° （5）画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知，，，则相等的两个角是（   ） A． B． C． D．无法确定 【即时训练】 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）度分秒换算： ． 知识点03角的比较与运算 （1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法. （2）角的平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 【即时训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，大于的角有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即时训练】 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小正方形网格如图所示，点、、、、均为格点，那么 （填“”、“”或“”）． 【典型例题一 角的概念理解】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．周角就是一条直线 B．一条直线便是一个平角 C．由两条射线组成的图形叫作角 D．由一条射线绕其端点旋转，始边与终边重合而成的图形叫作周角 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）将量角器按图方式放置，其中角度为的角是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直角，则图中的锐角共有 个． 1．（23-24七年级下·浙江杭州·开学考试）如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，总共有 个角． 3．（23-24七年级上·全国·课堂例题）观察图，完成下列问题：    (1)如图①，内部有一条射线，则图中有 个角； (2)如图②，内部有两条射线，，则图中有___________个角； (3)如果内部有10条射线，那么图中有________________个角． 4．（2025七年级上·浙江·专题练习）完成以下各题． (1)写出图中能用一个字母表示的角； (2)写出图中以为顶点的角； (3)图中共有几个角？ 【典型例题二 方向角的表示】 【例1】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）若点A在点B的南偏西处，则点B在点A的（   ）处 A．南偏西 B．北偏东 C．南偏东 D．北偏西 【例2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东．甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通．从乙地测，所修公路的走向是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．北偏东 【例3】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提升机场运行能力，跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如下图，侧向跑道在点O的南偏东的方向上，则点在点的 方向上． 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，下列说法中正确的是（　） A．方向是北偏东 B．方向是北偏西 C．方向是南偏西 D．方向是东南方向 2．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，射线OA所表示的方向是 ． 3．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）请根据下面的描述，在平面图上标出各个建筑物的位置． (1)邮局在军校广场的西偏北方向320米处； (2)学校在军校广场的南偏东方向240米处． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，公主楼位于正阳关路与宁武关路交汇点处的南偏西，且到点的距离为．图中，线段的长度表示．请你在图中作出点的位置． 【典型例题三 角度的四则运算】 【例1】（24-25七年级上·山西运城·期末）已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）计算： ° ′ ″． 1．（24-25七年级上·吉林松原·期末）如图，若、是的三等分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期末）计算 ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算：， 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，． (1)若平分，求的度数． (2)求的度数． 【典型例题四 与方向角有关的计算题】 【例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）国庆期间，依依一家去湄洲岛游玩．在游玩过程中，爸爸去超市买水，让依依和妈妈在原地等候．已知爸爸向东偏南方向走了到达超市，爸爸若按原路返回，应该向（   ）方向走． A．东偏南 B．西偏北 C．北偏东 D．东偏南 【例2】（24-25六年级下·山东泰安·期中）一艘轮船行驶在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是2时，那么这个地点就用代码0245来表示，按这种表示的方式，南偏西方向66千米的位置，可用代码表示为 ． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（   ）    A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 2．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，某市有三所中学A，B，O，中学A在中学O的北偏东的方向上，中学B在中学O的南偏东的方向上，则的度数是 ． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 4．（24-25七年级上·广东中山·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，．    (1)求射线的方向； (2)射线是射线的反向延长线．若，射线是的平分线吗？若是，请说明理由． 【典型例题五 角的单位与角度制】 【例1】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）将化成度、分、秒的形式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）用度、分、秒表示为（） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·甘肃天水·期末）把化成用度表示的角，应该是 ：把化成用度、分、秒表示的角，应该是 ． 1．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·河南·专题练习）如图，已知，则 °．    3．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）如图，点在的边上，是内部的一条射线． (1)在射线上取一点，使得（尺规作图）； (2)在射线上确定一点，使得最小； (3)写出你完成（2）的作图依据：_____； (4)若，则______． 【典型例题六 角的度数大小比较】 【例1】（24-25七年级上·湖南永州·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（　　） A． B．没有量角器，无法确定 C． D． 【例3】（23-24七年级下·山东淄博·期末）比较大小： （填“>”或“<”号）． 1．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 2．（24-25七年级上·天津·期末）比较大小： ；若，， 则 ；若 ，，则 （填“”、“”或“”号）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是，我应该和一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 4．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，点O是圆心，A，B，C是圆上三点，我们称为圆心角，为圆周角． (1)请在圆上（直线的上部）任意取两点，，画出，，测量，，的度数，你能发现什么规律？ (2)请测量的度数，与（1）中的角度相比较你有什么发现？ 【典型例题七 三角板中角度计算问题】 【例1】（24-25六年级下·山东青岛·期中）用一副三角板可以画出的角是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·四川南充·模拟预测）如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将一副三角板重叠放在一起，，，与的顶点重合于点．若，则的度数为 °． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数全部正确的（    ） A．       B．       C．       D．       2．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为 ． 3．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若，求 4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一副三角尺按如图方式叠放，，，点，重合．为探索与的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设，求得，于是三位同学得出不同猜想，甲：；乙：；丙：． (1)为验证猜想，他们再次假设，并求出的度数．请写出求解过程； (2)①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是________； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由．  【典型例题八 几何图形中角度计算问题】 【例1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，过点作射线，使，则的度数为 ． 【例3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 1．（2025·北京·模拟预测）如图，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·山东淄博·期中）我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． （1）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角为 ； （2）若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是，则这两个角的平分线的夹角度数为 ． 3．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，已知，画射线，试求． 4．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)在图1中，若，求的度数； (2)通过问题1的解答，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)若改变其中一个三角板的位置，如图2，则第（2）小题的结论还成立吗？若仍成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【典型例题九 角平分线的有关计算】 【例1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北唐山·模拟预测）在学校可以看到一种现象，有同学不由自主地转动手中的笔．同学的转笔过程可以看成一条直线绕一个点旋转，其示意图如图所示，若，恰好平分，则（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上一点，，平分，，则的度数为 ． 1．（23-24七年级上·山西大同·期末）如图，射线的方向为南偏东，且平分，则射线的方向为（    ） A．南偏西 B．西偏南 C．南偏西 D．南偏西 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，平分，则的方向是 ． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 【典型例题十 角n等分线的有关计算】 【例1】（24-25七年级上·广西防城港·期末）如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【例2】（24-25七年级上·北京昌平·阶段练习）如图，已知射线OC平分∠AOB，射线OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，图中等于∠BOE的角共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，，，，则的度数为 ° 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，∠AOE＝m°，∠EOF＝90°，OM、ON分别平分∠AOE和∠BOF，下面说法： ①点E位于点O的北偏西m°；②图中互余的角有4对；③若∠BOF＝4∠AOE，则∠DON＝54°；④若，则n的倒数是，其中正确的有（      ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，若OC、OD三等分，则 ， ， ． 3．（24-25七年级下·山东青岛·单元测试）如图，射线和把平角三等分，平分，平分．    (1)求的度数； (2)写出图中所有的直角； (3)写出的所有余角． 4．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【典型例题十一 尺规作一个角等于已知角】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，用尺规作图作出，则作图痕迹弧是（   ） A．以点B为圆心，长为半径作的弧 B．以点B为圆心，长为半径作的弧 C．以点E为圆心，长为半径作的弧 D．以点E为圆心，长为半径作的弧 【例2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·期中）下列语句：①作；②以点O为圆心作弧；③以点A为圆心，线段a的长为半径作弧；④作，使．其中错误的为 ．（填序号即可） 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点；依次截取，分别交前弧于点E、点F、点G；画射线，反向延长至点H；画出的角平分线．则 ．（结果用含的代数式表示） 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，点B、E在直线上，是一条射线，请在上方作射线，使得． 4．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段a、b及，用直尺和圆规画图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画一条线段AC，使它等于； (2)求作：使 【典型例题十二 实际问题中角度计算问题】 【例1】（24-25七年级上·湖南娄底·期中）入射光线和平面镜的夹角为40°，转动平面镜，使入射角减小20°，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（　　） A．减小40° B．增大40° C．减小20° D．不变 【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·山西朔州·期末）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是 ． 1．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）钟面上3点20分时，时针与分针的夹角度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？ 4．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． （1）在图1中，_______，_______； （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得在射线上，求的度数 （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得在的内部，求的度数． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）从到，钟表的分针转动的角度是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 3．（24-25七年级下·山东青岛·期中）将三张直角三角形纸片按如图所示的方式放置，使它们的直角顶点重合，则，，三个角的数量关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东江门·模拟预测）光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·天津宁河·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在下午时整，时针和分针构成的角度是 度． 7．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图，图中角的顶点是 ，边是 ．用三种不同的表示方法表示这个角为 ． 8．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图所示的网格是正方形网格，点 A，B，C，D，O 是网格线交点，那么    9．（24-25七年级上·河南郑州·期末）一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 10．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知，，三点在同一直线上，且平分，平分，则 ． 11． （24-25七年级下·青海黄南·开学考试）任意作一个直角、一个大于的锐角和一个小于120的钝角． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级上·广东江门·期末）将一副三角板的直角顶点重合按图①方式摆放，图②是依据图①而作出的几何图形，试依据图②回答下列问题． (1)若，求度数； (2)设，试探究之间的数量关系． 14．（24-25七年级上·江西南昌·期末）一副三角板与中，，，，． (1)将这副三角板的点A与E重合，拼成如图1所示的图案，则______°；______°；______°； (2)将这副三角板的点C与点F重合，拼成如图2的图案，平分，平分，若，求的度数； 15．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． AOBCOAAOBOACOA 学科网（北京）股份有限公司 $$