上海市长宁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）已知一次函数y＝﹣x+1，当y＞0 时，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 2．（3分）已知点A（﹣1，y1）、B（100，y2）、C（2025，y3）是一次函数y＝﹣2x+b的图象上的三点，则在y1、y2、y3中最小的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．无法确定 3．（3分）下列方程中，有实数解的方程是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列事件中必然发生的是（　　） A．同时掷三枚相同的骰子，朝上一面的三个数字之和为19 B．一副洗好的扑克牌，从中任抽一张牌的点数是奇数 C．上海天天都是晴天 D．由三个数字1、2、3组成的任意一个三位数都是3的倍数 5．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．等腰梯形 6．（3分）下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　） A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线 B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 7．（3分）如函数y＝（k﹣1）x+1是一次函数，则k的取值范围是　 　 ． 8．（3分）将直线y＝﹣2x﹣5沿y轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为　 　 ． 9．（3分）用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于t的一元二次方程的形式是　 　 ． 10．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 　 　 度． 11．（3分）化简：　 　 ． 12．（3分）在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线AC长40，则四边形EFGH的周长为　 　 ． 13．（3分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，则菱形ABCD的面积为　 　 ． 14．（3分）如正方形ABCD的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形ABCD的对角线BD的长为 　 　 厘米． 15．（3分）如方程（3x+2）4﹣m＝0有一个解是x＝2，则这个方程的另一个实数解为 　 　 ． 16．（3分）已知a、b、c分别为 Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于Rt△ABC的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．如点在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积为4，则c的值为　 　 ． 17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交AE于F，如AE＝AD，，，则CD的长为　 　 ． 18．（3分）如图，已知C、D是线段AB上两点，且AC＝BD＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF若G为线段EF的中点，当点P由点C移动到点D时，则点G移动的路径长度y与线段AB的长x（x＞2）之间的函数关系式为 　 　 ． 三、解答题（本大题共7个题，共46分.第19、20、21、22题，每题5分；第23、24题，每题8分；第25题10分） 19．（5分）解方程：3x． 20．（5分）解方程组：． 21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E为AD中点，联结CE、OE．已知，设，． （1）用和表示、，并求； （2）在图中作出． 22．（5分）小杰、小明两人各持有四张分别写有数字1、2、3、4的相同卡片，他俩玩数字游戏，规则如下：两人同时随机各出一张卡片，若两张卡片上的数字之和是奇数，则小杰赢；若两张卡片上的数字之和是偶数，则小明赢．这时每人任出一张卡片，小杰、小明两人谁获胜的机会大？为什么？ 23．（8分）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测．若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短1.5小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早1.5小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 24．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）延长DE、BC交于点F，联结OE，请先按要求完善图形，再判断四边形OBFE是什么特殊四边形？并说明理由； （3）填空：联结BE，如∠AOB＝60°，AB＝2，则BE的长为　 　 ．（直接给出结果） 25．（10分）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线y＝﹣3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作CA⊥x轴，垂足为A，过点B作CB⊥y轴，垂足为B，两条垂线交于点C． （1）填空：线段AC、BC、AB的长分别是AC＝ 　 　 ，BC＝ 　 　 ，AB＝ 　 　 ； （2）折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE交AC于点D，交AB于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段BC交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形ADFP是以DF为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 2024-2025学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A D C C 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）已知一次函数y＝﹣x+1，当y＞0 时，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 【分析】根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+1中y＞0， ∴﹣x+1＞0， ∴x＜1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，解题时要能熟练掌握并能转化为解不等式是关键． 2．（3分）已知点A（﹣1，y1）、B（100，y2）、C（2025，y3）是一次函数y＝﹣2x+b的图象上的三点，则在y1、y2、y3中最小的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．无法确定 【分析】根据一次函数的解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B，C三个点横坐标的大小关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为一次函数解析式为y＝﹣2x+b， 所以y随x的增大而减小． 因为2025＞100＞﹣1， 所以y3＜y2＜y1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（3分）下列方程中，有实数解的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据解无理方程的步骤及算术平方根的非负性逐项判定即可． 【解答】解：由x得x+2＝x2， 解得x1＝﹣1，x2＝2， 经检验，x＝2是原方程的增根，x＝﹣1是原方程的解，故A符合题意； ∵0， ∴2≥2＞0， ∴2＝0无实数解，故B不符合题意； 由0得， 两边平方得：x﹣5＝x+5，方程无解， ∴0无解，故C不符合题意； 由由意义可知，x≤2， 此时0，而x﹣3≤﹣1， ∴x﹣3无实数解，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是掌握算术平方根的非负性． 4．（3分）下列事件中必然发生的是（　　） A．同时掷三枚相同的骰子，朝上一面的三个数字之和为19 B．一副洗好的扑克牌，从中任抽一张牌的点数是奇数 C．上海天天都是晴天 D．由三个数字1、2、3组成的任意一个三位数都是3的倍数 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此判定即可． 【解答】解：A．选项事件是不可能事件，不符合题意； B．选项事件是随机事件，不符合题意； C．选项事件是不可能事件，不符合题意； D．选项事件是必然事件，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了随机事件，掌握随机事件的定义是关键． 5．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．菱形 D．等腰梯形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后与自身重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误； B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后与自身重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误． 故选：C． 【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 6．（3分）下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（　　） A．联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线 B．联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C．三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D．梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 【分析】根据梯形中位线、三角形中位线的概念、梯形中位线定理、三角形中位线定理判断． 【解答】解：A、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意； B、联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，故本选项表述错误，不符合题意； C、三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分，表述正确，符合题意； D、梯形的中位线不能将该梯形分成面积相等的两部分，故本选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是梯形中位线定理、三角形中位线定理，掌握它们的概念和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 7．（3分）如函数y＝（k﹣1）x+1是一次函数，则k的取值范围是　k≠1　 ． 【分析】形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x+1是一次函数， ∴k﹣1≠0， ∴k≠1， 故答案为：k≠1． 【点评】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 8．（3分）将直线y＝﹣2x﹣5沿y轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为　﹣1或　 ． 【分析】根据“上加下减”的平移法则，求出平移后的直线解析式，再结合截距的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将直线y＝﹣2x﹣5沿y轴向上平移4个单位后，所得直线的函数解析式为y＝﹣2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1， 所以直线y＝﹣2x﹣1的纵截距为﹣1； 当y＝0时，x， 所以直线y＝﹣2x﹣1的横截距为， 综上所述，直线y＝﹣2x﹣1的截距为﹣1或． 故答案为：﹣1或． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则及截距的定义是解题的关键． 9．（3分）用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于t的一元二次方程的形式是　3t2+3t+2＝0　 ． 【分析】将原方程换元后再去分母即可． 【解答】解：已知方程， 设， 原方程化为3t3＝0， 整理得：3t2+3t+2＝0， 故答案为：3t2+3t+2＝0． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，换元法解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 10．（3分）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 　720　 度． 【分析】首先根据外角和与外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180（n﹣2）计算出答案． 【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°， ∴它的边数为：360°÷60°＝6， ∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°， 故答案为：720． 【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是正确计算出多边形的边数． 11．（3分）化简：　　 ． 【分析】利用线性向量的计算法则作答即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量的运算法则，解题的关键在于掌握向量的运算法则，为基础题． 12．（3分）在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线AC长40，则四边形EFGH的周长为　80　 ． 【分析】连接BD，根据三角形中位线定理分别求出四边形EFGH的各边长，计算即可． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴BD＝AC＝40， ∵E、F、G、H依次分别为各边中点， ∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线， ∴EFAC＝20，FGBD＝20，GHAC＝20，HEBD＝20， ∴四边形EFGH的周长为：20+20+20+20＝80， 故答案为：80． 【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 13．（3分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，则菱形ABCD的面积为　24　 ． 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分可得出对角线AC的长度，进而根据对角线乘积的一半可得出菱形的面积． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AOAC＝4，AC⊥BD，BO＝DO， ∴BO3， ∴BD＝6， ∴菱形ABCD的面积为8×6＝24． 故答案为：24． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 14．（3分）如正方形ABCD的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形ABCD的对角线BD的长为 　2　 厘米． 【分析】依题意得，根据x≠0得x，然后再根据勾股定理即可求出对角线BD的长． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为x厘米， ∴正方形ABCD的面积为x2平方厘米， 又∵正方形ABCD的面积为平方厘米， ∴， ∵x≠0， ∴x， ∴对角线BD2（厘米）． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 15．（3分）如方程（3x+2）4﹣m＝0有一个解是x＝2，则这个方程的另一个实数解为 　　 ． 【分析】把x＝2代入方程（3x+2）4﹣m＝0得m，从而求出这个方程，然后求出3x+2的值，解方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程（3x+2）4﹣m＝0得：m＝84， ∴这个方程为：（3x+2）4﹣84＝0， （3x+2）4＝4096， 3x+2＝±8， 3x+2＝8或3x+2＝﹣8， 解得：x＝2或， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了方程的解，解题关键是熟练掌握方程解的定义． 16．（3分）已知a、b、c分别为 Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于Rt△ABC的形如的一次函数称为“勾股一次函数”．如点在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积为4，则c的值为　4　 ． 【分析】依据题意，由一次函数的性质可得，根据勾股定理可得a2+b2＝c2，，然后根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【解答】解：由题意，∵点P（1， ）在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即． ∴． ∵a，b，c是直角△ABC 的三边，c为斜边， ∴a2+b2＝c2，， ∴ab＝8． ∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴． ∴c＝4（负值舍去）． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC交AE于F，如AE＝AD，，，则CD的长为　8　 ． 【分析】延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，求出∠DAG＝90°＝∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠AFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF+AG即可． 【解答】解：延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC， ∵AE⊥BC于点E， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝∠DAG＝90°， ∴∠DAG＝90°， 在△ABE和△DGA中， ， ∴△ABE≌△DGA（SAS）， ∴∠1＝∠2，DG＝AB，∠B＝∠G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠ADC， ∵∠B+∠1＝∠ADC+∠2＝90°，∠3＝∠4， ∴∠GDF＝90°﹣∠4，∠GFD＝90°﹣∠3， ∴∠GDF＝∠GFD， ∴GF＝GD＝AB＝CD， ∵GF＝AF+AG＝AF+BE， ∴CD＝AF+BE， ∵BE＝3，AF＝5， ∴CD＝AF+BE＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度． 18．（3分）如图，已知C、D是线段AB上两点，且AC＝BD＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF若G为线段EF的中点，当点P由点C移动到点D时，则点G移动的路径长度y与线段AB的长x（x＞2）之间的函数关系式为 　yx﹣1　 ． 【分析】延长AE和BF交于Q，连接QC，QD，PQ，取CQ的中点M，DQ的中点N，连接MN，由三角形中位线定理得到MNx﹣1，判定四边形PFQE是平行四边形，得到G是PQ的中点，因此点G移动的路径是MN，于是得到y＝MNx﹣1． 【解答】解：延长AE和BF交于Q，连接QC，QD，PQ，取CQ的中点M，DQ的中点N，连接MN， ∴MN是△CDQ的中位线， ∴MNCD， ∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝x﹣1﹣1＝x﹣2， ∴MNx﹣1， ∵△APE和△PBF是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠APE＝∠BPF＝60°， ∴PE∥BQ，PF∥AQ， ∴四边形PFQE是平行四边形， ∴PQ和EF互相平分， ∴G是PQ的中点， ∴点G移动的路径是MN， ∴y＝MNx﹣1． 故答案为：yx﹣1． 【点评】本题考查等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，函数关系式，关键是判定四边形PFQE是平行四边形，得到G是PQ的中点． 三、解答题（本大题共7个题，共46分.第19、20、21、22题，每题5分；第23、24题，每题8分；第25题10分） 19．（5分）解方程：3x． 【分析】根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案． 【解答】解：移项得 平方得2x﹣3＝9﹣6x+x2 x2﹣8x+12＝0 （x﹣2）（x﹣6）＝0 x1＝2，x2＝6 经检验x2＝6为增根，舍去； x1＝2为原方程的解． 原方程的解为x＝2． 【点评】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根． 20．（5分）解方程组：． 【分析】由x2+4xy+4y2﹣16＝0得x+2y＝4或x+2y＝﹣4，再和3x﹣2y＝8组成两个二元一次方程组，即可解得答案． 【解答】解：由x2+4xy+4y2﹣16＝0得：（x+2y）2＝16， ∴x+2y＝4或x+2y＝﹣4， ∴原方程组相当于和两个方程组， 解得和， ∴原方程组的解为，． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是把方程组降次化为两个二元一次方程组． 21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E为AD中点，联结CE、OE．已知，设，． （1）用和表示、，并求； （2）在图中作出． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，则，；由题意得OE为△ACD的中位线，则OE∥CD且CD＝2OE，可得5． （2）以点A为圆心，CE的长为半径画弧，以点E为圆心，AC的长为半径画弧，两弧相交于点F，作即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴， ． ∵E为AD中点， ∴OE为△ACD的中位线， ∴OE∥CD且CD＝2OE， ∴5． （2）如图，以点A为圆心，CE的长为半径画弧，以点E为圆心，AC的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接AF，EF，作， 此时四边形CEFA为平行四边形， ∴， ∴， 则即为所求． 【点评】本题考查平面向量、三角形中位线定理、平行四边形的性质、作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（5分）小杰、小明两人各持有四张分别写有数字1、2、3、4的相同卡片，他俩玩数字游戏，规则如下：两人同时随机各出一张卡片，若两张卡片上的数字之和是奇数，则小杰赢；若两张卡片上的数字之和是偶数，则小明赢．这时每人任出一张卡片，小杰、小明两人谁获胜的机会大？为什么？ 【分析】用列表法将所有可能的结果一一列举出来，进行判断即可． 【解答】解：根据题意列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由列表得：共16种情况，其中奇数有8种，偶数有8种， ∴和为偶数和和为奇数的概率均为， ∴两人获胜的机会一样大． 【点评】本题考查了可能性的大小，解题的关键是根据列表求出概率的方法来解答． 23．（8分）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测．若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短1.5小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早1.5小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【分析】设原计划每分钟检测x人，1.5小时＝90分钟，根据医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短1.5小时完成任务，列出分式方程，解得x＝15，则x+5＝20，再设现在每分钟多检测y人，根据现在要求“蓝天”医疗队再提早1.5小时完成任务，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设原计划每分钟检测x人，1.5小时＝90分钟， 根据题意得：90， 解得：x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意， ∴x+5＝20， 设现在每分钟多检测y人，1.5小时+1.5小时＝3小时＝180分钟， 由题意得：180， 解得：y＝10， 经检验，y＝10是所列方程的解，且符合题意， 答：“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）延长DE、BC交于点F，联结OE，请先按要求完善图形，再判断四边形OBFE是什么特殊四边形？并说明理由； （3）填空：联结BE，如∠AOB＝60°，AB＝2，则BE的长为　2　 ．（直接给出结果） 【分析】（1）根据矩形的性质可得AO＝CO＝DO＝BO，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DOCE是平行四边形，然后可证明四边形OCED为菱形； （2）先证明四边形OCFE是平行四边形，得OC＝EF，再根据矩形的性质即可解决问题； （3）连接EO并延长交AB于点G，证明EG⊥AB，然后证明△AOB是等边三角形，得OA＝OB＝AB＝2，所以AG＝BG＝1，证明四边形OEDA是平行四边形，得OE＝AD＝2，所以EG＝OG+OE，然后根据勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形DOCE是平行四边形， ∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴AO＝CO＝DO＝BO， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：如图1，即为完善的图形， 四边形OBFE是等腰梯形，理由如下： ∵四边形OCED是菱形， ∴CD⊥OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD⊥BC， ∴OE∥BC， ∵DE∥AC， ∴四边形OCFE是平行四边形， ∴OC＝EF， ∵OB＝OC， ∴OB＝EF， ∴四边形OBFE是等腰梯形； （3）解：如图2，连接EO并延长交AB于点G， ∵四边形OCED是菱形， ∴CD⊥OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴EG⊥AB， ∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AG＝BG＝1， ∴ADAB＝2，OGAG， ∵四边形OCED是菱形， ∴CD⊥OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥CD， ∴OE∥AD， ∵DE∥AC， ∴四边形OEDA是平行四边形， ∴OE＝AD＝2， ∴EG＝OG+OE＝23， ∴BE2． 故答案为：2． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定定理． 25．（10分）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线y＝﹣3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作CA⊥x轴，垂足为A，过点B作CB⊥y轴，垂足为B，两条垂线交于点C． （1）填空：线段AC、BC、AB的长分别是AC＝ 　6　 ，BC＝ 　2　 ，AB＝ 　2　 ； （2）折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE交AC于点D，交AB于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段BC交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形ADFP是以DF为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出A（2，0），B（0，6），由CA⊥x轴，CB⊥y轴，知四边形AOBC是矩形，故AC＝OB＝6，BC＝OA＝2，AB＝2； （2）①设D（2，t），由折叠的性质可知，DA＝DB，故t2＝4+（t﹣6）2，可解得D（2，）； ②把D（2，）代入y得k，有y，可得F（，6），故直线DF解析式为y＝﹣3x，可得直线AP解析式为y＝﹣3x+6，设P（m，﹣3m+6），由FP＝AD知，解出m的值可得答案． 【解答】解：（1）在y＝﹣3x+6中，令x＝0得y＝6，令y＝0得x＝2， ∴A（2，0），B（0，6）， ∴OA＝2，OB＝6， ∵CA⊥x轴，CB⊥y轴， ∴∠CAO＝∠CBO＝90°＝∠AOB， ∴四边形AOBC是矩形， ∴AC＝OB＝6，BC＝OA＝2， ∴AB2， 故答案为：6，2，2； （2）①设D（2，t）， 由折叠的性质可知，DA＝DB， ∵A（2，0），B（0，6）， ∴t2＝4+（t﹣6）2， 解得t， ∴D（2，）； ②在坐标平面内存在点P，使得四边形ADFP是以DF为底的等腰梯形，理由如下： 如图： 把D（2，）代入y得k， ∴y， 令y＝6得x， ∴F（，6）， ∵D（2，），F（，6）， ∴直线DF解析式为y＝﹣3x， 设直线AP解析式为y＝﹣3x+n， 把A（2，0）代入得：0＝﹣6+n， 解得n＝6， ∴直线AP解析式为y＝﹣3x+6， 设P（m，﹣3m+6）， ∵FP＝AD，F（，6），AD， ∴， 解得m（此时四边形ADFP是平行四边形，舍去）或m， ∴P（，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，矩形判定，折叠的性质，等腰梯形的概念等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$