河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学模拟一试题

高二数学期末考试模拟一 一、单选题 1．已知直线与直线平行，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 2．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（    ）． A．55 B．70 C．85 D．100 3．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．我市在2024年7月22日晚普降大雨，全市多地受灾严重，多条河流水位超警戒水位.某水文观测站，测得某条河流的水深与观测时间的线性回归方程为及变量，之间的相关数据如下表所示： 4 6 8 10 12 3.4 2.6 2.5 2 则下列说法正确的是（    ） A． B．该回归直线方程恒过点 C．可以预测，当时， D．变量，之间呈正相关关系 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 10．已知A，B是两个随机事件，，下列命题正确的是（    ） A．若A，B相互独立，则 B．若事件，则 C．若A，B是对立事件，则 D．若A，B是互斥事件，则 11．设函数的定义域为，的导函数满足，且，则下列结论一定成立的是（    ） A．的最大值为1 B．在点处的切线为 C．若方程有两个不同的解，，则 D．若，，，则 三、填空题 12．椭圆可以看做是由圆经过“压缩”或“拉伸”而来.若将圆O：上各点横坐标“拉伸”到原来的2倍（纵坐标不变），得到椭圆C1．则C1的离心率为 . 13．已知奇函数及其导函数的定义域均为，，当时，，则使不等式成立的的取值范围是 . 14．设是给定的正整数，现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回）．则第三次取出白球的概率为 ． 四、解答题 15．甲、乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数y，如下表： 零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数y 甲 4 5 20 15 6 乙 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与1.03（cm）的误差不超过0.01（cm），其余零件为二等品． (1)试根据上述数据建立一个2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断加工后的零件是不是一等品与甲、乙有关？ (2)如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲、乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用，设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 16．如图，三棱锥中，底面ABC，，，，点M满足，N是PC的中点． (1)请写出一个的值使得平面AMN，并加以证明； (2)若二面角大小为45°，且，求点M到平面PAC的距离． 17．对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为．利用此结论解答下列问题．点是椭圆上的点，并且椭圆在点处的切线斜率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若动点在直线上，经过点的直线，与椭圆相切，切点分别为，．求证：直线必经过一定点． 18．已知函数. （1）若为上的单调函数，试确定实数的取值范围； （2）求函数在定义域上的极值； （3）设,求证：. 19．意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列. (1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明. (2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列； (3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和. 高二数学期末考试模拟一 1．B 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1， 当时，，，两直线平行， 当时，，，两直线重合， 所以实数a的值为. 故选：B. 2．C 【详解】数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、， 且，． 设，又都是公差为1的等差数列，所以数列也成等差， 则数列的前10项和等于， 又，， ∴， 故选：C． 3．A 【详解】甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法有种，而甲、乙两名同学任选2门课的选法有种， ∴甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率. 故选：A 4．C 【详解】的二项展开式为， 由题意，解得， 若要取到有理项，则需要能被3整除，则， 即在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项， 若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，可知的所有可能取值分别为0，1，2，3， ，， 所以. 故选：C. 5．D 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，则.    ，， 故在的投影为， 点到线的距离为. 故选：D. 6．C 【详解】由题意知，，，由于回归直线方程一定经过样本中心，故，解得，故A错误；回归直线方程一定经过样本中心，故B错误；当时，，故C正确；由于，故变量，之间呈负相关关系，故D错误. 故选：C. 7．C 【详解】令，则，令，则恒成立， 即在定义域上单调递增，且， 因此在区间上必然存在唯一，使得， 所以当时单调递减，当时单调递增，故，B均错误； 令，当时， 在区间上为减函数， ，即选项C正确，D不正确． 故选：C． 8．B 【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为 因为二者共焦点，所以， 如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知， 由此解得，由题意知， 所以， 故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，则，问题转化为求的最大值， 设，由可得， 当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为. 故选：B. 9．ACD 【详解】由题意设， 由，得，则， 所以， 若弦过焦点，显然直线斜率存在，设所在直线为，联立， 得， 则， 所以， 所以，故A正确； 以点A为切点的切线方程为，以点B为切点的切线方程为， 联立消去y得， 将代入， 得， 所以，故B错误； 设N为抛物线弦的中点，N的横坐标为，因此直线平行于y轴(或与y轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确； 设直线的斜率为， 故直线的方程为， 化简得，故C正确. 故选：ACD. 10．ABD 【详解】A：因为A，B相互独立，所以也互相独立，于是，正确； B：因为，所以，，正确； C：因类A，B是对立事件，所以，于是，不正确； D：因为A，B是互斥事件，所以，于是，正确, 故选：ABD 11．ABD 【详解】已知，可知. 可得（为常数）. 因为，将，代入，可得，即，解得. 所以，则，. 对求导，可得： . 对于选项A，令，即，解得. 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，，但当时，，所以没有最小值，A选项正确. 对于选项B，当时，. . 根据点斜式方程可得，即，所以在点处的切线为，B选项正确. 对于选项C，由前面分析可知在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，若，则，因为，且在上单调递减，所以只需证明，又因为，所以只需证明. 令，，则. 当时，，，，，所以，在上单调递增，则，即，所以，与矛盾，C选项错误. 对于选项D，因为，所以. . 令，则，所以. 对于二次函数，其对称轴为，开口向下，所以当时，取得最大值，. 则，D选项正确. 故选：ABD. 12． 【详解】易知圆C的半径为1，横向“拉伸”后，可知椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1，故半焦距为，所以离心率为. 故答案为：. 13． 【详解】因为当时，， 所以， 令，则，单调递增， 因为是奇函数，所以， 所以， 所以为偶函数，图象关于轴对称， 因为， 所以， 所以， 大致图象如图：    所以成立的的取值范围是， 故答案为：. 14． 详解】设选出的是第个袋子，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： （白，白，白）：取法数为， （白，红，白）：取法数为， （红，白，白）：取法数为， （红，红，白）：取法数为， 从而第三次取出的是白球的种数为： , 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，而选到第个袋子的概率为， 故所求概率为. 故答案为：. 15． 【详解】（1）2×2列联表为： 一等品零件数 二等品零件数 合计 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 零假设为：加工零件是否为一等品与甲、乙无关． 由列联表得：， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为加工后零件是否为一等品与甲、乙有关． （2）抽取出的7个一等品零件中，甲加工的4个，乙加工的3个． 的所有取值为：0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 16．【详解】（1） 当时，满足题意． 是的中点，又因为是的中点， 所以， 又平面，且平面， 所以∥平面． （2）由勾股定理得， 因为平面，平面ABC， 所以， 又，，平面， 所以平面， 而平面，故， 故就是二面角的平面角，所以， 所以为等腰直角三角形，且， 过作于，则平面，易得， 所以点到平面的距离等于，为． 17．【详解】（1）∵椭圆在点处的切线方程为，其斜率为， ∴，又点在椭圆上， ∴，解得，. ∴椭圆的方程为； （2）设，，， 则切线，切线. ∵都经过点， ∴，，即直线的方程为. 又， ∴，即. 令得 ∴直线必经过一定点. 18．【详解】（1）因为， 所以， 因为时，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增, 所以，实数的取值范围为； （2）①当时，，为定义域上的增函数, 所以没有极值； ②当时，由得；由得, 所以函数在上单调递增，上单调递减； 故当时，有极大值，但无极小值. （3）由（1）知时，在上单调递减， 所以，即， 令，得, 所以 , 即. 19．【详解】（1）. ； （2）因为， 所以 . ，即， 即，所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）得. 即， 令，化简得， ， 因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即； 法一： ； 法二：由得， ， ， ， ， 累加得，， 即， 所以，. 法三： 利用 .. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$